四川省绵阳市2024届高三数学上学期10月月考试题理试题含解析

这是一份四川省绵阳市2024届高三数学上学期10月月考试题理试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出集合中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.
【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，
对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，
对于C，若，显然满足，，故C错误，
对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，
当，则，函数在上单调递增，所以，
当，则，综上可知D正确，
故选：D
3. 设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）
A. 2B. C. 2或D. 2或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.
【详解】由，有，即．
由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．
故选：A
4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
5. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：，.
A. 3.048分钟B. 4.048分钟C. 5.048分钟D. 6.048分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.
【详解】依题意，，，，代入公式得：
（分钟），
故选：C.
6. 已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出为真命题时的范围，进而根据 中一真一假分两类情况讨论即可求解.
【详解】若命题p为真，则，若为真，则 ，
由于为真命题，为假，则 中一真一假
若 真 假，则满足： ；
若 真 假，则满足： ，此时 无解，
综上
故选：A
7. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图像利用排除法进行求解：
先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D.
即可得到答案.
【详解】对于，定义域为关于原点对称.
因为，
所以是偶函数，排除B.
当时，，排除C；
当时，，，；排除D.
故选：A.
8. 已知，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
9. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
10. 若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为，则有，
∵，∴，
，（当且仅当时取等）
故选：A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上所有根的和为（）
A. 32B. 48C. 64D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以由
，
因此函数的周期为，
当时，，
所以当时，，
当时，由，
所以，
所以当时，，
于当时，，该函数关于点对称，而函数也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：
由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于对称的点，
所以方程在上所有根的和为，
故选：C
【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.
12. 若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.
【详解】依题意得，
，即，，
，即，，
，
，
又，
同构函数：，，
则，
又，
，，，又，
，单调递增，
，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
（1）函数零点即为函数的取值；
（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；
（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；
（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作目标函数对应的直线：，
在直线中，纵截距为，向下平移直线时，减小，
由，得，即，
因此向下平移直线，当过点时，为最小值．
故答案为：．
14. 已知向量，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，
所以，解得，所以，故.
故答案为：.
15. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．
【详解】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据图象求出函数解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值．
【答案】（1）单调递增区间是；，
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；
（2）由两角差的余弦公式计算．
【小问1详解】
由题意得：
，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为，
所以对称中心为，．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
18. 在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;
（2）用裂项相消法进行求解即可
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，
因为，，成等差数列，所以即，
因为，，所以，解得或（舍去），
所以，，
由可得，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以
19. 在中，角的对边分别为，其中，且.
（1）求角的大小；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；
【小问1详解】
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
【小问2详解】
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
20. 已知函数，其中a是正数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；
（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．
【小问1详解】
因为，
所以．
①当时，，在上严格递增；
②当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
③当时，由得或，由得，
所以单调递增，在上单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知①当时，，
在上严格递增，此时在上的最大值为；
②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值只有可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
解得，此时；
③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
解得，此时，
由①②③得，，
∴满足条件的a的取值范围是．
21. 已知函数（为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.
（2）先利用参数放缩转变成恒成立，再通过参变分离转化成最小值问题.
【小问1详解】
有两个零点，
关于的方程有两个相异实根，
，
有两个零点即有两个相异实根.
令，
则，
得，得
在单调递增，在单调递减，
，
又
当时，，当时，，当时，
有两个零点时，实数的取值范围为；
【小问2详解】
，所以
原命题等价于对一切恒成立，
对一切恒成立，
令，
令，
则
在上单增，
又，
使，即①，
当时，，即在递减
当时，，即在递增，
由①知，
，
函数在单调递增，
即
实数的取值范围为.
【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.
(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.
（二）选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【小问1详解】
由（为参数），得，
故曲线C的普通方程为．
由，得，
故直线l的直角坐标方程为．
【小问2详解】
由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设A，B对应参数分别是，，
则，，
故．
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以等价于，或，或，
解得或或，所以，即不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，当且仅当时等号成立；
所以函数的最小值为，
由已知可得，所以或，
解得或，即a的取值范围．