四川省绵阳市2024届高三数学上学期10月月考试题理试题含解析

这是一份四川省绵阳市2024届高三数学上学期10月月考试题理试题含解析，共19页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知，则， 已知命题p， 函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出集合中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.
【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，
对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，
对于C，若，显然满足，，故C错误，
对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，
当，则，函数在上单调递增，所以，
当，则，综上可知D正确，
故选：D
3. 设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）
A. 2B. C. 2或D. 2或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.
【详解】由，有，即．
由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．
故选：A
4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
5. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：，.
A. 3.048分钟B. 4.048分钟C. 5.048分钟D. 6.048分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.
【详解】依题意，，，，代入公式得：
（分钟），
故选：C.
6. 已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出为真命题时的范围，进而根据 中一真一假分两类情况讨论即可求解.
【详解】若命题p为真，则，若为真，则 ，
由于为真命题，为假，则 中一真一假
若 真 假，则满足： ；
若 真 假，则满足： ，此时 无解，
综上
故选：A
7. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图像利用排除法进行求解：
先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D.
即可得到答案.
【详解】对于，定义域为关于原点对称.
因为，
所以是偶函数，排除B.
当时，，排除C；
当时，，，；排除D.
故选：A.
8. 已知，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
9. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
10. 若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为，则有，
∵，∴，
，（当且仅当时取等）
故选：A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上所有根的和为（）
A. 32B. 48C. 64D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以由
，
因此函数的周期为，
当时，，
所以当时，，
当时，由，
所以，
所以当时，，
于当时，，该函数关于点对称，而函数也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：
由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于对称的点，
所以方程在上所有根的和为，
故选：C
【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.
12. 若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.
【详解】依题意得，
，即，，
，即，，
，
，
又，
同构函数：，，
则，
又，
，，，又，
，单调递增，
，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
（1）函数零点即为函数的取值；
（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；
（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；
（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作目标函数对应的直线：，
在直线中，纵截距为，向下平移直线时，减小，
由，得，即，
因此向下平移直线，当过点时，为最小值．
故答案为：．
14. 已知向量，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，
所以，解得，所以，故.
故答案为：.
15. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．
【详解】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据图象求出函数解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值．
【答案】（1）单调递增区间是；，
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；
（2）由两角差的余弦公式计算．
【小问1详解】
由题意得：
，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为，
所以对称中心为，．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
18. 在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;
（2）用裂项相消法进行求解即可
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，
因为，，成等差数列，所以即，
因为，，所以，解得或（舍去），
所以，，
由可得，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以
19. 在中，角的对边分别为，其中，且.
（1）求角的大小；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；
【小问1详解】
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
【小问2详解】
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
20. 已知函数，其中a是正数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；
（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．
【小问1详解】
因为，
所以．
①当时，，在上严格递增；
②当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
③当时，由得或，由得，
所以单调递增，在上单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知①当时，，
在上严格递增，此时在上的最大值为；
②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值只有可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
解得，此时；
③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
解得，此时，
由①②③得，，
∴满足条件的a的取值范围是．
21. 已知函数（为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.
（2）先利用参数放缩转变成恒成立，再通过参变分离转化成最小值问题.
【小问1详解】
有两个零点，
关于的方程有两个相异实根，
，
有两个零点即有两个相异实根.
令，
则，
得，得
在单调递增，在单调递减，
，
又
当时，，当时，，当时，
有两个零点时，实数的取值范围为；
【小问2详解】
，所以
原命题等价于对一切恒成立，
对一切恒成立，
令，
令，
则
在上单增，
又，
使，即①，
当时，，即在递减
当时，，即在递增，
由①知，
，
函数在单调递增，
即
实数的取值范围为.
【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.
(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.
（二）选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【小问1详解】
由（为参数），得，
故曲线C的普通方程为．
由，得，
故直线l的直角坐标方程为．
【小问2详解】
由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设A，B对应参数分别是，，
则，，
故．
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以等价于，或，或，
解得或或，所以，即不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，当且仅当时等号成立；
所以函数的最小值为，
由已知可得，所以或，
解得或，即a的取值范围．