四川省泸州市天立学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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这是一份四川省泸州市天立学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数z=2+im-i的实部与虚部相等，则实数m的值为（）
A.-3B.-1C.1D.3
2. 已知向量 a=(x+1,-2),b=(-2x,3)，若a//b, 则实数x的值为（）
A.1 B.3 C.-3 D.-37
3. 某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）
A.57周岁以上参保人数最少
B.18~30周岁人群参保总费用最少
C.C险种更受参保人青睐
D.31周岁以上的人群约占参保人群80%
4．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
5. 某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为 9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是（）
A.0.2,0.127B.0.3,0.016C.9.4,0.080D.0.3,0.216
6. “a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行” 的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 在正方体ABCD-A1B2C3D4中，AC交BD于点O，则异面直线B1C与A1O所成角的余弦值为（）
A．36 B．34 C．32 D．33
8. 在△ABC中,有AC∙(AB-BC)=2CB∙(CA-AB),则tanC的最大值是（）
A.27 B.23 C.147 D.142
9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）
A．极差变大 B．中位数不变 C．平均数变小 D．方差变大
10.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（）
A．点在复平面上的坐标为
B．
C．的最大值为
D．的最小值为
11. 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3 , 动点P在△AB1C内, 满足D1P=14，则下列说法正确的是（）
A.PD1⊥BC
B.PD1与平面ACB1所成的角的正弦值为427
C.△PBD1始终为钝角三角形
D.点P的轨迹长度为2π
已知直线l过两条直线与的交点，且点到直线l的距离为1，则直线l的方程为．
在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC,BC=2PA=2AB=4,PC=26，点M，N分别是PB，BC的中点，且AM⊥PC，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是．
15. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准 x(单位: 吨), 月用水量不超过x的部分按平价收费, 超出x的部分按议价收费. 为了了解全市居民用水量分布情况, 通过抽样, 获得了n户居民某年的月均用水量 (单位: 吨), 其中月均用水量在(9,12]内的居民人数为 39 人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1) 求a和n的值;
(2) 若该市政府希望使 80\% 的居民月用水量不超过标准x吨，试估计x的值;
(3) 在(2) 的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时,按3元/吨计算，超出x吨的部分，按5元/吨计算. 现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元, 则该市居民月用水量最多为多少吨?
16．在中；内角所对的边分别为.已知.
(1)求角.
(2)从以下三个条件中任选一个，求的面积.
①边上的中线；②；③角的平分线，点在线段上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按比例得分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，，在上的投影向量的模为10，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点．
(1)若，求证：平面；
(2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由
18．如图，已知四棱锥中，，，，且，
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积．
19．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．
（1）已知直线 l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程。
(2)求点的轨迹方程；
(3)当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点．
泸州天立学校2024年秋高二三分之一考试答案
1. 【答案】D
【解析】
由题意可得 z=2+im-i=(m+i)(2+i)(m+i)(m-i)=2m-1+(m+2)im2+i，
故 2m-1m2+1=m+2m2+1，解得m=3，
2. 【答案】B
【详解】因为 a=(x+1,-2),b=(-2x,3),a//b,
所以 3(x+1)-(-2x)(-2)=0, 则x=3,
3. 【答案】B
【解析】
A选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A选项正确.
B选项，“18~30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18~30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例0.358，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%+40%+10%=80%，D选项正确.
4．D
依题意，直线经过点，
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
5. 【答案】B
【解析】
由题意得, 该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为 9.7-9.4=0.3,
平均值为 15×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,
所以该射手成绩的方差 s2=15×(9.4-9.5)2×3+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.
6. 【答案】A
【解析】a=b=1时, 两条直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,
反之由 ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行, 可得:ab=1, 显然不一定是a=b=1,所以，必要性不成立,
∴a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的充分不必要条件.
7.【答案】C
【解析】延长 AA1,BB1,CC1,DD1交于一点P, 取PB中点Q, 连接AQ,CQ, 如图所示:
因为正四棱台 ABCD-A1B1C1D1, 所以P-A1B1C1D1为正四棱锥,
因为 AB=6,A1B1=4,BB1=2, 且△PA1B1~△PAB,
所以 A1B1AB=PB1PB, 即46=PB1PB1+2, 解得PB1=4,
所以 PB=PA=AB=6, 即△PAB为等边三角形,
因为 Q为PB中点, 所以AQ⊥PB, 且QB=3, 同理可得CQ⊥PB,
因为 BB1=2, 所以QB1=1, 即QB1QB=13,
因为 M,N为A1B1,B1C1中点, 所以MB1=NB1=2,
故 QB1MB1=12=QBAB,QB1NB1=12=QBCB,
因为 ∠QB1M=∠QBA,∠QB1N=∠QBC,
所以 △QB1M~△QBA,△QB1N~△QBC,
所以 ∠QMB1=∠QAB,∠QNB1=∠QCB,
因为 MB1//AB,NB1//CB,
所以 M在AQ上,N在CQ上,
因为 AQ⊥PB,CQ⊥PB, 所以AM⊥PB,CN⊥PB,
即 AM⊥BB1,CN⊥BB1, 因为AM⊂平面AMCN,CN⊂平面AMCN,
AM∩CN=Q, 所以BB1⊥平面AMCN.
8. 【答案】D
【解析】
因为AC∙(AB-BC)=2CB∙(CA-AB),
所以AC∙AB-AC∙BC=2CB∙CA-2CB∙AB,
又AC∙BC=CA∙CB,
CB∙AB=BC∙BA,
所以AC∙AB+2BC∙BA=3CB∙CA,
又AB∙AC=bccsA=b2+c2-a22,
BA∙BC=accsB=a2+c2-b22,
CA∙CB=abcsC=a2+b2-c22,
所以b2+c2-a22+a2+c2-b2=3a2+b2-c22,
即a2+2b2=3c2,
∴csC=a2+b2-c22ab=a2+b2-13a2+2b22ab=a3b+b6a⩾2a3b∙b6a=23,
当且仅当a3b=b6a,即b=2a时取等号,显然C为锐角,
要使tanC取最大值,则csC取最小值23,
此时sinC=1-cs2C=73,
所以tanC=sinCcsC=7323=142,
即tanC的最大值是142,
9. 答案：BC
解：由于10个数据已经确定，
故不妨设，由题意不妨取，
A项，原极差为，
去掉最高与最低分后，极差为，
所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误；
B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确；
C项，由题意原平均数，
则，则去掉最高与最低分后，
平均数变为，平均数变小，故C正确；
D项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，
故方差会变小，故D项错误.
10.【答案】ABC
【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；
复数，所以复数，故B正确；
设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.

而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：ABC．
11. 【答案】BCD
【解析】
对于 A , 正方形 ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面DD1C1C,
因为 D1C⊂平面DD1C1C, 所以BC⊥D1C,D1C=32>14=D1P,
动点 P在△AB1C内, 当P不可能与点C重合时,PD1⊥BC不成立, A 错误;
对于 B , 正方形 ABCD-A1B1C1D1中,D1B⊥AB1,D1B⊥B1C,AB1,B1C是平面ACB1内两条相交直线,D1B⊥平面ACB1,D1B=32+32+32=33, 设点D1C交平面ACB1于点H,
所以点 D1到平面ACB1的高为D1H=23, 则∠D1PH为PD1与平面ACB1所成的角,
且 sin∠D1PH=2314=427, 所以PD1与平面ACB1所成的角的正弦值为427,B 正确;
对于 C , 由选项 B 可知 PH=D1P2-D1H2=14-12=2,
进而在直角三角形 BHP中,BP=HB2+HP2=3+2=5,
在 △PBD1中, 由余弦定理可得
cs∠D1PB=D1P2+BP2-D1B22×D1P×BP=14+5-272×14×5=-27035<0,
所以 ∠D1PB为钝角, C 正确;
对于 D . 根据选项 B 可知, 点 P的轨迹为以H为圆心,2为半径的圆的一部分,
又因为 △AB1C是等边三角形, 且AB1=32, 可知点P的轨迹为以H为圆心,2为半径的圆的一半,
则点 P的轨迹为长度为12×2π×2=2π, D 正确;
13.或
【详解】联立，解得：，，
所以直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
点到直线l的距离，解得：，
此时直线方程为，
当直线的斜率不存在时，方程为，点到直线l的距离为，满足条件，
综上可知，直线l的方程为或.
故答案为：或.
14. 【答案】14π3
【解析】
因为 PA=AB，M是PB的中点，所以AM⊥PB，
又AM⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，
所以AM⊥BC，
又PA⊥BC,PA∩AM=A,PA,AM⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥AB,BC⊥PB.
在△ABC中，AB=2,BC=4,BC⊥AB，
所以AC=AB2+BC2=25，
在△PAC中，AC=25，PA=2，PC=26，所以AC2+PA2=PC2，所以AC⊥PA，
取PC的中点O，又BC⊥PB,AC⊥PA，
所以OA=OB=OC=OP，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，
因为PC=26，故外接球半径为R=6，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故VO-AMN=VB-AMN=VN-AMB，即13×12×2×6×h=13×2×12×2×2，得h=233，
所以r2=R2-h2=143，
所以截面圆的面积为S=πr2=143π．
故答案为：143π.
15.
【答案】
(1) a=1300,n=200; (2) 16.6吨; (3) 20.64 吨.
【解析】
(1) ∵(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a)×3=1,
∴a=1300.
∵用水量在(9,12]的频率为0.065×3=0.195,
∴n=390.195=200(户) .
(2) ∵(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)×3=0.72<0.8,(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)×3=0.87>0.8,
∴15+3×0.80-(吨).
(3) 设该市居民月用水量最多为 m吨,
因为 16.6×3=49.8<70, 所以m>16.6,
则 w=16.6×3+(m-16.6)×5≤70,解得m≤20.64,
答：该市居民月用水量最多为 20.64 吨.
16．【详解】（1）由已知，，夹角为，可得．
因为，所以可得．
所以；
（2）因为，
则
，所以.
17.
（1）证明：平面，平面，
，
底面为菱形，为的中点，，
，
又，平面，
平面.
（2）棱上存在点，使得平面，
理由如下：
取的中点为，的中点为，连接，
底面为菱形，为的中点，分别为的中点，
，
，平面，平面，
平面，
同理，平面，平面，
平面，
又，平面，
平面平面，
平面，
棱上存在中点，使得平面.
18．
取中点，连接，
由，则，
因此可得，
又为中点，则在等腰和等腰中，可得，，
又，平面，
平面，
又平面，
.
（2）
过作垂直的延长线于一点，
由（1）知平面，平面,
则平面平面，
又平面平面，平面，,
平面，故即为直线与平面所成角，
又在等腰直角中，，则，，
又在中，，
则，
在中，，
则在中，，
因此可得，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）
由（2）知平面平面，又平面平面，
则平面与平面重合，即四点共线，
在中，，
，
在中，,
又,
又四边形的面积
,
又（2）知平面，故为四棱锥的高，
所以四棱锥的体积.
19．
（1）2m+1x+m+1y+m=0可变形为x+y+m2x+y+1=0，
解x+y=02x+y+1=0得x=-1y=1，即P点坐标为-1,1.（答案未完）
（2）设，则，
所以从而
因为，所以，即．
则，化简得．
所以点的轨迹方程为．
（3）设，则，
当直线的斜率存在，易得
且，
则直线的方程为，
注意到，化简得．
点与关于直线AB对称，
设，则由，
解得，
又，所以
，
从而，
令，得，因此直线过定点．
12. 3
在上的投影向量的模为.
解得：
故答案为：3