2023-2024学年北京市东北师大朝阳学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市东北师大朝阳学校高二（上）期中数学试卷，共4页。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．120°B．60°C．30°D．150°
2．设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．P是椭圆x2+4y2＝16上一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝（ ）
A．1B．3C．5D．9
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l：y＝x被圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）截得的弦长为2，则r＝（ ）
A．B．C．3D．4
6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P在A1C上，且A1P：PC＝3：2，则＝（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．外离
8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米B．14米C．15米D．16米
10．已知椭圆M：＝1（a＞b＞0），双曲线N：＝1（m＞0，n＞0）．设籿圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|＝2|PF1|，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．过点A（3，2）且与直线x+y+1＝0平行的直线方程为 ．
12．椭圆的一个焦点是（0，﹣1），那么k等于 ．
13．已知点P（2，a）在抛物线C：y2＝4x上，则点P到抛物线C的焦点的距离为 ．
14．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则＝ ．
15．已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点N（x，y）的轨迹方程为 ．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是 ；最大值是 ．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BC的中点，点F是CD中点．
（Ⅰ）证明：D1E⊥平面AB1F；
（Ⅱ）求D到面AB1F的距离．
18．已知椭圆C：＝1，左右焦点分别为F1，F2，直线y＝﹣x+1与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）求△ABF1的面积．
19．在如图所示的多面体中，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2，M，N分别为棱FC，EG的中点．
（Ⅰ）求点F到直线EC的距离；
（Ⅱ）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
（Ⅲ）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ∥平面EDC？若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．
20．已知椭圆C：＝1过点，且离心率e＝．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点F为椭圆C的左焦点，点T（﹣3，m），过点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q，连接OT与PQ交于点H．求的值．
21．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a1＝0，且nan＝2（a1+a2+…+an）；
（Ⅲ）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．
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