四川省成都市简阳市成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

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【详解】点在平面上的射影为，，
故，
故选：D
2．C
3. A
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，所以，
又因为，且∥，所以，所以，
所以，所以.故选：A.
4.【答案】B
【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确；
对于选项D,由于事件B,D不能同时发生,故,故B正确；
对于选项C,由题意知C正确；
对于选项B,由于＝D＝{至少有一次击中目标},不是必然事件；
而为必然事件,所以,故D不正确.
5. D x的点数只能为5，或者6，故概率为
6．C
【详解】因为，因此平均数不变，即，
设其他48个数据依次为，
记录数据：，
更正数据：，
∴，故选：C．
7.【答案】C
8.【答案】B
9．BCD
【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案.
【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；
1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。
【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；
对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；
对于C，由可得，即,
所以A，B，C三点共线，故正确；
对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.
11. 【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.
【详解】对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A对；
对于B，因，，则，
因为，所以事件与相互独立，故B对；
对于C，若A与B互斥，则，故C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．
故选：ABD
12.（2，2，4）或者倍数均可
13. 54
14【详解】，由于，所以，
问题等价于当且仅当时取到最小值，
.
则，解得.
15. 【详解】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；
（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”
,，,，,，,，,，,，
，
；
记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
, , ,，,，,，,，
，
，
（3）记“取出的鞋不成双”，
由（1）得，
，,，,，，
，
；
16．(1)，(2)
详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是，
（2）∵与的党员人数的比值为，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
17．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得；
（2）利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为为矩形，所以，
又因为平面平面，所以，
所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
所以，
则有，
所以，
所以点到直线的距离．
（2）因为，
所以，
所以异面直线所成角的余弦值．
18. 【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
小问1详解】
连接，因为为等边三角形，为中点，则，
由题意可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
且，，平面，所以平面.
【小问2详解】
在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，
由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，为中点，所以，
则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
因为，
设，，则，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
令，则，
可得，
因为，则，可得，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；
（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；
（3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角.
【详解】（1）由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．