河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟试卷2

这是一份河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟试卷2，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共12题，共36.0分)
1．(3分)下列函数是二次函数的是（ ）
A. y=3x B.
C. y=3x2 D.
2．(3分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A. B.
C. D.
3．(3分)如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（ ）
A. 50° B. 60° C. 100° D. 120°
4．(3分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 60°
5．(3分)如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，CD=2，则弦AC的长为（ ）
A. B.
C. 4 D.
6．(3分)已知⊙O的半径为5cm,当线段OA=5cm时，则点A在（ ）
A. ⊙O内 B. ⊙O上 C. ⊙O外 D. 无法确定
7．(3分)若（a2+b2）（a2+b2-3）=4，则a2+b2的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. -1 D. 4或-1
8．(3分)实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
9．(3分)如图，已知∠P=45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC=，则AB的长度为（ ）
A. B. 6
C. D. 5
10．(3分)如图，在矩形ABCD中AB=10，BC=8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（ ）
A. B. 2
C. D.
11．(3分)如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A. 4+3 B. 2
C. 2+6 D. 4
12．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A. 7 B. 7
C. D.
二、填空题(共4题，共12.0分)
13．(3分)如图所示，已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条小路，宽为1米（即圆环的宽度），那么这条小路的面积等于 _____平方米．
14．(3分)若关于x的一元二次方程ax2-3x+2=0有两个实数根，那么a的取值范围是 _____．
15．(3分)如图，在正方形ABCD中，AD=6，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=4，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：
①DE+BF=EF；
②BF=3；
③FM：FA=3：7；
④．
其中正确的是 _____．
16．(3分)在直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+2（a＞0）交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，则：
（1）抛物线的对称轴为直线x=_____；
（2）若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为_____．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围．
（1）⊙C与斜边AB有1个公共交点；
（2）⊙C与斜边AB有2个公共交点；
（3）⊙C与斜边AB没有公共交点．
18．(9分)如图，直角△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，直角△ABC将沿着它的一条边AB旋转一周，得到一个什么图形？试求出其表面积和点C运动的路程．
19．(9分)已知抛物线y=x2-2x（x≥0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可得m=_____；
（2）利用描点法在图中画出抛物线y=x2-2x（x≥0）的图象；
（3）将y=x2-2x（x≥0）的图象绕点O旋转180°，画出旋转后的图象；
（4）设两图象合并后对应的函数为y0，则y0=.
20．(9分)把一副三角板按如图1的方式放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=CD=10，将三角板DEC绕点C逆时针旋转，得到△MNC（如图2），点A恰好落在MN上．
（1）求∠CAN的度数；
（2）计算点D旋转至点M的路径长．
21．(9分)如图所示，已知Rt△ABC中，AH为斜边BC上的高，M为BC中点，O为△AMC外心，OB交AH于D．求证：AD=2DH．
22．(9分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（1，4）和点（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式，并画出该二次函数的图象；
（2）请判断点P（-2，-6）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
23．(9分)已知函数y=，将此函数的图象记为G．
（1）当m=2时，
①直接写出此函数的函数表达式．
②点P（-1，a）在图象G上，求点P的坐标．
③点Q（b,3）在图象G上，求b的值．
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0．当y0=-2时，直接写出m的值．
（3）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（-4，1）、B（-4，-4）、C（3，-4）、D（3，1），若函数y=，在m-1≤x≤m+1范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，直接写出此时m的取值范围．
24．(9分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；
（2）若∠DAC=45°，DC=8，求图中阴影部分的面积（保留π）．
试卷答案
1．【答案】C
【解析】利用二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
解：A、y=3x是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、y=3x2符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．【答案】D
3．【答案】C
【解析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
解：∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数=2∠C=100°．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，
∴，，
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，
∴，
故选：C．
5．【答案】A
【解析】首先连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，根据切线的性质，可得AE⊥AB，又由CD∥AB，可得AE⊥CD，然后由垂径定理与勾股定理，求得OE的长，继而求得AC的长．
解：连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴EA⊥AB，
∵CD∥AB，
∠CEA=90°，
∴AE⊥CD，
∴CE=CD=×2=，
在Rt△OCE中，OE==1，
∴AE=OA+OE=3，
在Rt△ACE中，AC==2．
故选：A．
6．【答案】B
【解析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵⊙O的半径为5cm,OA=5cm,
∴点A在⊙O上．
故选：B．
7．【答案】A
【解析】设y=a2+b2，用十字相乘法因式分解，解关于y的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去．
解：设y=a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y-3）=4．
整理，得（y-4）（y+1）=0．
解得y=4或y=-1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
8．【答案】C
【解析】根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：32，35，36，23，53，63，共6种结果，
其中是奇数的结果有：35，23，53，63，共4种，
∴实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为=．
故选：C．
9．【答案】B
【解析】由弦切角定理，相似三角形的判定和性质可以解决问题．
解：连接OA，OC，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，
∵OA=OC，
∴∠AOD=∠AOC，AD=DC=，
∴OD==2，
∵PA切⊙O于A，
∴∠CAE=∠B，
∵∠B=∠AOC，
∴∠CAE=∠AOD，
∵∠AEC=∠ADO=90°，
∴△ACE∽△OAD，
∴==，
∴==，
∴CE=，AE=，
∵∠P=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE=CE=，PC=，
∵PA=AE+PE，
∴PA=，
∵∠CAE=∠B，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴AC：AB=PC：PA，
∴2：AB=：，
∴AB=6．
故选：B．
10．【答案】C
【解析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF=B1C=8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF=∠B1CG，则sin∠OCF=sin∠B1CG=，cs∠OCF=cs∠B1CG=；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．
解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，
∵边A1B1与⊙O相切于点E，
∴OE⊥A1B1．
∵四边形A1B1C1D1是矩形，
∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．
∴四边形B1EFC为矩形．
∴EF=B1C=8．
∵CD为⊙O的直径，
∴OE=DO=OC=AB=5．
∴OF=EF-OE=3．
∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1，
∴OF⊥CD1．
∴CF==4．
由旋转的性质可得：∠OCF=∠B1CG．
∴sin∠OCF=sin∠B1CG=，cs∠OCF=cs∠B1CG=．
∵sin∠OCF=，cs∠OCF=，
∴，．
∴B1G=，CG=．
∴BG=BC-CG=．
∴BB1===．
故选：C．
11．【答案】B
【解析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC==4，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°，AC=2AB=4，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE==2，
故选：B．
12．【答案】D
【解析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB=c,BC=a,AC=b,根据三角形内心定义可得S△ABC=lr=20×=AB•CD，可得bc=40，根据勾股定理可得BC=a=7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC=120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB=c,BC=a,AC=b,
∵∠BAC=60°，
∴AD=b,
CD=AC•sin60°=b,
∴BD=AB-AD=c-b,
∵△ABC周长为l=20，△ABC的内切圆半径为r=，
∴S△ABC=lr=20×=AB•CD，
∴20=b•c,
∴bc=40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2=BD2+CD2，
即a2=（c-b）2+（b）2，
整理得：a2=c2+b2-bc,
∵a+b+c=20，
∴a2=c2+b2-bc=（b+c）2-3bc=（20-a）2-3×40，
解得a=7，
∴BC=a=7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠IBC+∠ICB=60°，
∴∠BIC=120°，
∴∠BFC=180°-120°=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OE⊥BC，
∴BE=CE=，∠BOE=60°，
∴OB==÷=．
故选：D．
13．【答案】7π
【解析】求小路的面积即求圆环的面积，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得出．
解：3+1=4（米），
π×（42-32）
=π×7
=7π（平方米），
故答案为：7π．
14．【答案】a≤且a≠0
【解析】先根据关于x的一元二次方程ax2-3x+2=0有实数根得出Δ≥0，a≠0，求出a的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x+2=0有实数根，
∴Δ=9-4a×2≥0且a≠0，
解得a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
15．【答案】①②④
【解析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可．
解：∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，
∴AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵DE=BG，
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，
∵BC=CD=AD=6，EC=4，
∴DE=2，
设BF=x,则EF=x+2，CF=6-x,
在Rt△ECF中，（x+2）2=（6-x）2+42，
解得x=3，
∴BF=3，故②正确；
∴AF==3，
∵BM∥AG，
∴△FBM∽△FGA，
∴，故③错误；
∵BF=3，
∴GF=5，
∴S△GAF=•GF•AB=×5×6=15，
∵=（）2=（）2，
∴S△FBM=，故④正确，
故答案为：①②④．
16．【答案】(1)2;(2);
【解析】（1）根据对称轴方程x=-解答；
（2）先求得顶点坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式，即求得a的值．
解：（1）抛物线y=ax2-4ax+2的对称轴为直线x=-=2，即x=2．
（2）连接OB交对称轴于点O′．
∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称，
∴B（4，2），
∵△ABC的外接圆经过原点O，
∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′，
∴O′（2，1），
∴OB==2，
∴O′C=，
∴点C坐标为（2，1-），
∴1-=4a-8a+2，
∴a=．
故答案为：2；．
17．【解析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，再分圆与AB相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解；
（2）要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可；
（3）根据⊙C与斜边AB没有公共交点可知r＜CD或点B在⊙C的内部，据此可得出结论．
解：（1）如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴CD==2.4．
当圆与AB相切时，即r=CD=2.4；
当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r=2.4；
（2）∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
∴r的取值范围是2.4＜R≤3；
（3）∵⊙C与斜边AB没有公共交点，
∴r＜CD或点B在⊙C的内部，
∴0＜r＜2.4或r＞4．
18．【解析】直接利用直接三角形的性质得出旋转后的几何图形，进而利用圆锥侧面积求法得出答案．
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CD=，
直角△ABC将沿着它的一条边AB旋转一周，得到两个同底的圆锥，
所得图形的表面积为：π××4+π××3=，
点C运动的路程为：2π×=π．
19．【答案】-1
【解析】（1）将（1，m）代入抛物线解析式中求解即可；
（2）根据（1）中表格所给数据，描点，连线即可；
（3）根据题意画出图象即可；
（4）利用待定系数求解．
解：（1）由表格知，抛物线y=x2-2x过点（1，m），
则m=1-2=-1，
故答案为：-1．
（2）如图，
（3）如图，
（4）设当x＜0时，y0=ax（x+2），
该函数图象过点（-3，-3），
∴-3=-3a×（-1），
解得：a=-1，
∴y0=-x（x+2）=-x2-2x（x＜0），
∴．
20．【解析】（1）分别求出CN和AC的长度，求出cs∠ACN即可解决问题；
（2）代入弧长计算公式即可．
解：（1）在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴AC=AB×sin45°=10×=5，
在Rt△DCE中，∠D=30°，
∴CE=CD=5，
∵将三角板DEC绕点C逆时针旋转，得到△MNC，
∴CN=CE=5，
在Rt△ACN中，cs∠ACN==，
∴∠ACN=45°，
（2）由（1）知，旋转角为45°，
∴∠DCM=45°，
∴点D旋转至点M的路径长为．
21．【解析】因为O为外心，所以连接CE（直径）后，易知B、A、E三点共线，连接EM交OB于G，显然G为△EBC重心．故EM⊥BC，AH⊥BC，从而得出AH∥EM．又G为重心，故．从而，于是得出结论．
证明：∵O为外心，∴连接CE，∴B、A、E三点共线，
连接EM交OB于G，∴G为△EBC重心．
∵O为外心，∴EM⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥EM．
∵G为重心，∴．
∴，
∴AD=2DH．
22．【解析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）当x=-2时，y=-x2+2x+3=-4-4+3=-5≠-6，即可求解．
解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，
当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，
令y=-x2+2x+3=0，则x=-1或3，
将（1）中的点和上述各点描点连线绘制函数图象如下：
（2）当x=-2时，y=-x2+2x+3=-4-4+3=-5≠-6，
故点P不在抛物线上．
23．【解析】（1）①把m=2代入即可求得函数表达式；
②由点P（-1，a）在图象G上，因为-1＜0，所以把P（-1，a）代入y=x2-2x+2，即可求出P点的坐标；
③当b＜0时，把Q（b,3）代入y=x2-2x+2，即可求出b的值，当b≥0时，把Q（b,3）代入y=x2-2x+1，即可求出b的值，
（2）因为图象G最低点的纵坐标为y0．需要分两种情况进行讨论：当在抛物线顶点取得最小值时，所以把y0=-2代入顶点纵坐标计算即可；当函数最小值在y轴上取得时，有m-1=-2，即m=-1．
（3）需要分情况讨论分析：x取值全在y轴右侧时，函数y=x2-mx+m-1（x≥0）与矩形ABCD的边有且只有一个公共点时，0≤m-1≤3，即1≤m≤4；x取值全在y轴左侧时，函数y=x2-mx+m与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，＜m＜；另外不要忘记还有一个孤点，当m=-4时，图象G与矩形ABCD的边只有一个公共点．
解：（1）①当m=2时，则y=；
②∵点P（-1，a）在图象G上，
∴当x=-1时，y=a=（-1）2-2×（-1）+2=5，
∴P点的坐标为（-1，5）；
③∵点Q（b,3）在图象G上，
∴当b＜0时，b2-2b+2=3，
解得b1=1-，b2=1+（舍去），
当b≥0时，b2-2b+1=3，
解得b1=1-（舍去），b2=1+，
∴b的值为1-或1+．
（2）设y1=x2-mx+m-1（x≥0），y2=x2-mx+m（x＜0），
则y1=（x-）2-（m-2）2，
∴当x=＞0时，图象最低点的纵坐标y0=-（m-2）2=-2，
解得m1=2+2，m2=2-2（舍去），
当x=0时，函数G取得最小值时，y0=m-1=-2，
解得：m=-1，
∵y2=x2-mx+m=（x-）2-m2+m,
∴当x=＜0时，图象最低点的纵坐标y0=-m2+m=（m-2）2+1，
∵对于任意实数m,总有-（m-2）2＜（m-2）2+1成立，
∴图象最低点一定在y1=x2-mx+m-1（x≥0）上，
综上所述，m的值为2+2或-1．
（3）根据题意，要使图象G与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，
则-4≤x≤3，-4≤y≤1，
∵m-1≤x≤m+1，
∴当0≤m-1≤3，即1≤m≤4时，此时函数y=x2-mx+m-1（x≥0）与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，
当-4≤m-1≤0，即-3≤m≤1时，要使函数y=x2-mx+m（x＜0）与矩形ABCD的边只有一个公共点，
则＜m＜，
另外，当m=-4时，图象G与矩形ABCD的边也只有一个公共点，
综上所述，图象G与矩形ABCD的边只有一个公共点的符合条件的m的取值范围是：＜m＜或1≤m≤4或m=-4．
24．【解析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）连接OD、OC，根据圆周角定理得到∠DOC=2∠DAC=90°，根据直角三角形的性质求出OD、OC，根据扇形面积公式计算即可．
解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边，∠D=108°，
∴∠B=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=18°；
（2）∵连接OD、OC，
∵∠DAC=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∴OD=OC=DC=4，
∴阴影部分的面积=-×4×4=8π-16．
x
0
1
2
3
…
y
0
m
0
3
…