山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
3.如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定互斥D．与不可能互斥
4．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2
5．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）

A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在四棱柱中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为B．过定点
C．若，则或D．若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为
B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为
D．与的数量积的范围是
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
13．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为__________．
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
16．（15分）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这600名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
17．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．
(1)证明：；
(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
(1)求证：平面；
(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
19．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
高二月考数学试题答案
一、CCBCBDDC 9.BD 10.ABD 11.ABD
二、12. 13.0或5 14.223
15.【解析】（1）由菱形的性质可知，则分
所以边所在直线的方程为，即；分
边所在直线的方程为，即分
（2）线段的中点为，分
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，分
所以对角线所在直线的方程为，即分
16.【详解】（1）由频率分布直方图，得，
解得；·············3分
（2）由频率分布直方图，得，
，
则估计这600名学生成绩的中位数为80；·············8分
（3）由题意得，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，频率之比为，·············12分
所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为，
成绩在的学生有3人，分别记为，
从这5人中任意选取2人，有，共10种选法，
其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种，所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率.·············15分
17.【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，
则，，则，
所以.····································7分
（2）由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．·············15分
18.(1)因为底面，、底面，所以，，
所以，，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面·············7分
(2)由（1）知、、两两垂直，建系如图，·············8分
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，
则，，即所以可取，0，， ········15分
所以直线与平面所成的角的正弦值为．··········17分
19【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，∴，
∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，又AD，平面ABCD，∴，而，，分
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，
∵M为棱PC的中点，∴分
（i），设平面BDM的一个法向量为，则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，分
∴，根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为分
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，则，分
由（2）知平面BDM的一个法向量为，
，
∴点Q到平面BDM的距离是，分
∴，∴．分