四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了下列命题中正确的是，设直线l的方程为，直线的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
出题人：第二小组 做题人：第二小组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．8
2．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．下列命题中正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
D．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
4．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．D．
5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：的值取3，）
A．B．C．D．
6．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中，两两垂直，且，以为球心，为半径作球，则球面与底面的交线长度的和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分）
9．直线的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．B．
C．平面D．异面直线与夹角的余弦值为
11．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ）
A．该几何体的体积
B．直线PD与平面ABCD所成角的正切值为
C．异面直线AP与CC1的夹角正弦值为
D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．若直线：与直线：平行，则实数 .
13．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
14．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知，，．求：
(1)BC边上的中线所在的直线方程；
(2)AB边垂直平分线方程；
16．（15分）如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点．
(1)证明：EF平面ABC．
(2)证明：平面EFA⊥平面PAC．
17．（15分）已知一条动直线，
(1)求直线恒过的定点的坐标；
(2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
18．（17分）图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
19．（17分）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，
为线段上一点，．
(1)求的长；
(2)若为的中点，求二面角的正弦值；
(3)若为线段上一点，且满足，求．
威远中学2026届高二上期半期考试参考答案（数学）
1．A 2．B
3．D【解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B选项错误；对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，C选项正确；对于C ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，C选项错误.故选：D.
4．C【解】将直三棱柱展开成矩形，如下图，连接，交于，此时最小，
∵，则，而，由且都在面，则面，
又，则面，即面，点为侧棱上的动点，当最小时，即，得，又为直角三角形，此时三棱锥的体积为：.故选：C
5．B【解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），则，，，
所以，故圆台部分的侧面积为，
圆柱部分的侧面积为，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.故选：B.
6．C【解】设直线的斜率为，则，故，而，故，
7．A【解】四棱锥中，是线段上的点(不含端点)，过E作交CD于F，连接DE，SF，如图，则是与所成的角，即，因底面，则是与底面所成的角，即，而底面， 则，又是长方形，即，而，平面，则平面，又平面，即有，于是得是二面角的平面角，，中，，中，，由底面，底面可得，而，则有，因，平面，则平面，又平面，
有，，因，即有，因此，，而正切函数在上递增，所以.故选：A
8．B【解】由题意知三棱锥为正三棱锥，故顶点在底面的射影为的中心，连接，由，得，所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，所以球面与底面的交线是以为圆心，为半径的圆在内部部分，如图所示易求，所以，易得，所以，
所以交线长度和为.故选：B.
9．BC【解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误；对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确；对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确；对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误.故选：BC.
10．ACD【解】因为平面平面，所以，
在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
而，从而A0,0,0，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，平面的一个法向量为，故C正确；
对于D，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故D正确．
11．ABD【解】对于A，该几何体的体积为，故A正确；对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为正方形的边长为1，所以，所以，故B正确；对于C，设，因为，所以或其补角为异面直线与的夹角,且，所以，所以异面直线与的夹角余弦值为，故C错误；对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为，
则为的中点，且，得，因为，
所以点长方体的外接球上，
所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确.故选：ABD.
12．
13．2【解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2.
14．【解】取中点O，连接，可则,，因为且平面，所以平面，设，且，因为正方形的边长为，可得且，又由，因为，可得，解得，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为.故答案为：
15．【详解】（1）由于，，则中点坐标为，直线的斜率，
所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得；
（2）由于，，所以直线的斜率，设其倾斜角为，故，
所求直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，所求直线的斜率，
故所求的直线的方程为，整理得．
16．【详解】（1）因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EFBC，因为平面ABC，平面ABC，
所以EF平面ABC；
（2）因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC．因为PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA，
又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC，由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC．
17．【详解】（1）由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即
（2）设直线方程为，则，由直线恒过定点，得，
由整理得：，解得或，所以直线方程为：或，
即或，又直线的斜率，所以不合题意，则直线方程为.
18．【解】（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以，因为平面平面ABC，所以，又平面所以平面又因为平面，所以，连接，易得，所以，所以，又因为，所以，因为，平面，所以平面.
（2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）知平面的一个法向量为，又，所以，因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角，所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19．【解】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，由已知，则,则，则，且.
由题意知,所以有，
则，解得（舍去），故的长为.
（2）由（1）知，,又为的中点，则，，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，令，则.
故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且，
则，故.故二面角的正弦值为.
（3）由（1）可得，由题意，设，，
则则，由可知，，且，由，则，解得；
则，则解得，，
则，又，解得.