福建省龙岩市第二中学2024−2025学年高二上学期9月开学质量检测（第一次月考） 数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市第二中学2024−2025学年高二上学期9月开学质量检测（第一次月考） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A．4B．-4C．D．16
2．已知an是递增数列，则an的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差数列，其前项和为，则（ ）
A．24B．36C．48D．64
4．在数列中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为（ ）
A．B．4C．2D．
6．在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
7．已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ）
A．37B．36C．18D．19
8．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．该数列为递增数列D．
10．已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等差数列
C．若，则为等差数列
D．若，则
11．已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的值有3种情况
C．若数列满足，则D．若为奇数，则（）
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是公比为的等比数列，若，则 .
13．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则 .
14．已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是 ，当时，记，若，则整数
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是等差数列，是等比数列，且.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的通项公式.
17．已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
18．已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设求的前项和．
19．如果数列满足：且 则称为n阶“归化”数列.
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为n阶“归化”数列，求证
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用等比数列的性质计算出答案,
【详解】由题意得，解得.
故选：C
2．【答案】C
【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D.
【详解】对于A，，，A不合题意；
对于B，，则，
即，B不合题意；
对于C，，当n增大时，减小，则增大，
符合题意，C正确；
对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误，
故选：C
3．【答案】B
【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，且，
由等差数列的性质，可得，所以，
又由.
故选：B.
4．【答案】A
【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果.
【详解】因为，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以，
故选：A
5．【答案】A
【详解】分析：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出=．
详解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，
∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．
∴公比q====2．
则==．
故选A．
点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【答案】D
【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值.
【详解】由，得，
因为数列为等比数列，所以成等比数列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因为等比数列的各项为正数，所以，
所以，
故选：D
7．【答案】C
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解.
【详解】因为，
，
所以，，从而当时，取得最大值．
故选：C.
8．【答案】B
【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
9．【答案】ACD
【分析】根据首项可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对AB，由，得，故，故A正确，B错误；
对C，得该数列为递增数列，故C正确；
对D，，则，故D正确.
故选：ACD
10．【答案】ABD
【分析】确定，求和得到A正确，确定得到B正确，计算，时不成立，C错误，确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：当，则，所以，正确；
对选项B：已知，当时，，
当时，，则，故，
（时也成立），所以为等差数列，正确；
对选项C：已知，当时，，
当时，，则，，
（时不成立），所以不是等差数列，不正确；
对选项D：已知，当时，，
当时，，则，，
（时不成立，所以，
当时，，
当时，，
，
，
所以时也成立，正确.
故选：ABD
11．【答案】BD
【分析】由数列的递推式结合分类讨论，计算可得正确结论．
【详解】正项数列满足，
可得，则，，，，，，，，
故数列从第4项起，周期为3，故，故A错误；
若，当为偶数时，，当为奇数时，；
当为偶数时，，或26，当为奇数时，，故B正确；
设，则，
若则，得，即，经检验符合题意，故C错误；
若为奇数，当为偶数时，，
当为奇数时，，即为偶数，矛盾，故D正确．
故选：BD．
12．【答案】25
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】因为
所以
故答案为：25
13．【答案】52
【分析】先确定的正负，再分和求出的表达式，代入计算即可；
【详解】令，
所以当时，，当时，，
所以，当时，；
当时，
，
所以，
故答案为：52.
14．【答案】
【分析】先由题给条件求得，再利用即可求得；先利用裂项相消法求得，再列不等式组，即可求得整数的值.
【详解】正项数列，为严格增数列，
则，则，解之得
又，则，则
由，可得
由可得
，则，则
又当时，，则
由可得，，
又，则，
解之得，则整数
故答案为：；
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可；
（2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设数列an的公差为，数列bn的公比为，
由，所以，求得，所以；
由，得，所以，所以.
（2）因为，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系即可求解；
（2）由累加法即可求解.
【详解】（1）因为点都在函数，
所以
当时，，
当时，，时，也满足此式.
所以
（2）由（1）可得，
由
所以
当时，，满足此式；
所以
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由①
所以当时，②
①②得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设成公差为r的等差数列，显然，由得到，由得到，得到答案；
（2）设公差为，根据等差数列求和公式得到，当，和，求出首项和公差，得到通项公式；
（3）设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数，故，，所以.
【详解】（1）设成公差为r的等差数列，显然，
则由得，
由得，解得，
数列为所求3阶“归化”数列.
（2）设等差数列的公差为，
因为，所以，所以，即.
当时，此时，
与归化数列的条件相矛盾.
当时，由，
故，又，
联立解得，
所以
当时，由，，同理解得，
所以.
综上，当，

（3）由已知可得：必有 也必有（，），
设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数，
由已知得，，
所以.
【方法总结】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.