湖北省黄冈市浠水县第一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄冈市浠水县第一中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．2
3．已知点，则点A到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．2,+∞
7．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的有（ ）
A．一组数据分别是82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是96
B．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
C．不可能事件与任意事件相互独立
D．若事件A，B独立，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
11．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离为8
C．当时，水面的形状是四边形
D．当时，所装的水的体积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ．
13．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件．
14．在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求角；
(2)若点在边上，且，求面积的最大值.
17．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
18．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】运用复数乘除法运算化简.
【详解】.
故选：A.
2．【答案】C
【分析】运用斜二测画法的结论直接求解.
【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则．
依题意，所以原平面图形的面积．
故选：C
3．【答案】B
【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得.
【详解】由题意，,
则与同方向的单位向量为，又,
于是，点A到直线的距离是：.
故选：B.
4．【答案】D
【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．
【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.
当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.
故选：D
5．【答案】C
【详解】以为原点，在平面过作的垂线交于，
以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱中，，，，
所以，
所以，
设异面直线与所成角为，
所以.
故选：C.
6．【答案】D
【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案．
【详解】若，即a=2时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；
若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得，
综上满足条件的实数的范围是2,+∞.
故选：D
7．【答案】B
【分析】由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，求出三棱锥为正四面体，过点作平面，求解即可得出答案.
【详解】因为，
则，
即，
由平面向量共面定理可知：点在平面内，
则的最小值即为点到平面的距离，
连接因为平行六面体各棱长为1，
且，所以，
所以三棱锥为正四面体，
过点作平面，因为平面，
所以，如图，所以，
所以，
所以的最小值为.
故选：B.
8．【答案】C
【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
有，
故,当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为
故选:
9．【答案】BC
【分析】求出上四位分数判断A；利用互斥事件、对立事件、独立事件的意义判断BCD.
【详解】对于A：数据82，84，86，88，94，95，96，由，得该组数据的上四分位数是95，故A错误；
对于B：由互斥事件、对立事件的关系知，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故B正确；
对于C：事件是不可能事件，是任意事件，则，，
则事件与相互独立，故C正确；
对于D：事件A，B独立，则，而，
在时，不成立，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ACD
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确；
对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；
对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确;
对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
11．【答案】ABD
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则,
因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面，
设平面的法向量为，，
点到平面的距离为，，
，而，
令，所以平面的法向量为，
对A，，，，，
故平面，
所以平面的法向量为，又，
所以平面平面，故A正确；
对B，，所以到平面的距离为，故B正确；
对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误；
对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则，
则，，故，
设水面与交点为，所以，
，此时过作交于点，连接，
设的面积为,的面积为，则，，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
12．【答案】或
【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.
【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或
13．【答案】
【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果.
【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品，
设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：，
抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件.
故答案为：.
14．【答案】/
【详解】因为为边上一点，过作交于，
则，当在之间时，无法构成，此时如图所示，

所以在的延长线上，可得，所以，，
因为，所以，，
而在中，，，可得，
，
在中，由正弦定理得，
即，可得，
，所以，
，
，
当且仅当时取等，此时解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.

16．【答案】(1)
(2)
【详解】
（1）利用正弦定理将，化为，由此即可求出结果；
（2）由题意可知，进而可得，再根据余弦定理和基本不等式可得的最大值，进而求出结果.
(1)
解：因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以.
(2)
解：因为，所以；
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；
（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.
因为，所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
（2）因为，，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则有
令，得，，所以是平面的一个法向量.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在，使二面角的正弦值为，
即使二面角的余弦值为.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量，
，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量.
由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，
故二面角的余弦值为，
则有，
即，解得，.
又因为，所以.
故存在，使二面角的正弦值为
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，即可证明平面平面，即二面角的大小为，求出，再由所给三面角余弦定理计算可得；
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，分过点与不过点两种情况，当过点，记与的夹角为（），则，结合余弦函数的性质即可得证；
（3）连接，，首先证明平面平面，从而得到平面平面，再由面面平行的性质得到，从而得到，即可得解.
【详解】（1）连接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小为，因为为菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）连接，，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四边形为平行四边形，
所以，显然在的延长线上，
因为，所以，
所以，即.