吉林省长春外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题

这是一份吉林省长春外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题，共6页。试卷主要包含了已知直线方程为．等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数x的值是
A． B． C． D．
2.已知直线，若，则实数（ ）
A．或 B． C．或 D．
3.在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是
A．四点不共线 B．四点共面，但不共线
C．四点不共面 D．点中任意三点不共线
4.若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是
A．(－∞，2) B． C．(－∞，－3) D．
5.已知，，则下列直线的方程不可能是的是
A．B．
C．D．
6.如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A．0 B．
C． D．
2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
8.如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是
B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是
A． B． C． D．
10.如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是
A．
B．
C．
D．
11.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是
A．线段是异面直线与的公垂线段
B．异面直线与的距离为
C．点到直线的距离为
D．点到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是 ．
13.已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 ．
14.在棱长为1的正方体中，、、分别在棱、、上，且满足、、，是平面、平面与平面的一个公共点，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是，且经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是和；
(3)经过点，且一个方向向量为．
16.（本小题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17.（本小题15分）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
18.（本小题17分）已知直线：，.
(1)证明：直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19.（本小题17分）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足．
(1)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由.
长春外国语学校2024-2025学年第一学期期初考试高二年级
数学试卷答案
C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.B 8.A
9.AD 10.BD 11.ACD
12. 13. 14./1.2
15.【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）根据点斜式可得直线方程为：，
化简可得；
（2）根据截距式可得：，化简可得；
（3）由直线的方向向量为可得直线的斜率，
所以所求直线方程为即.
16.【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.【答案】(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
18.【答案】(1)证明见解析，点的坐标为
(2)或 (3)
【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以，解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.
19.【答案】(1) (2)不存在,理由见详解
【详解】（1）是正三角形, 为的中点,,
又平面,平面, ,
又平面,平面,平面,且,
平面.
取的中点,连接,
由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标,
又,,分别是,,上的点,且满足,
，
,,
由平面,所以平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则,即,解得,,
设平面与平面所成锐二面角为,
,
所以平面与平面所成锐二面角的大小.
（2）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且,
,,
,
整理可得:,方程无解,
不存在这样的点.