长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期适应性考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A.，B.，
C.，D.，
5．函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
6．若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为( )
A.15B.16C.64D.128
7．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是( )
A.20B.21C.23D.25
8．已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是( )
A.若P有2个元素，则Q有3个元素
B.若P有2个元素，则有4个元素
C.若P有2个元素，则有1个元素
D.存在满足条件且有3个元素的集合P
二、多项选择题
9．如果，那么下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B.不等式的解集为
C.
D.的最小值为
11．已知,且,则下列结论正确的是( )
A.的最大值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为
三、填空题
12．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是________.
13．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______.
14．已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______
四、解答题
15．已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数m的范围.
16．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高，
（1）试将垃圾池的总造价y（元）表示为的函数，并指出x的取值范围；
（2）怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？
17．已知，.
（1）求证：函数在区间上是增函数；
（2）求函数在区间上的值域.
18．已知函数，.
（1）当，时，解关于x的不等式；
（2）当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：.
19．已知集合A为非空数集.定义：，.
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合，，且.求证：；
（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：由可得，故，
故选：C
2．答案：D
解析：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
3．答案：A
解析：由可得或，
又
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:
4．答案：C
解析：对于A中，函数的定义域为R，函数的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数的定义域为R，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：C.
5．答案：A
解析：函数的定义域为，选项C，D不满足，
因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.
故选：A
6．答案：A
解析：因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由1，，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集.所以满足条件的集合的个数为，
故选:A.
7．答案：B
解析：如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，
则，即.
因为，所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：若P有2个元素，设，则，
因为Q至少有2个元素，所以Q中除外至少还有一个元素，
不妨设，，则，，，
若，则且，，
所以，与假设矛盾，所以，
所以，或，，
当，时，则，，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
所以此时，，，；
当，时，则，，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
此时，，，；
由上可知，当P有2个元素，则Q有2个元素，有3个元素，有1个元素，故A错误，B错误，C正确；
不妨假设P有3个元素，设，则a，b，c为互不相等的正数，
由③可知：，，，
又因为a，b，c为互不相等的正数，所以，，也为互不相等的正数，
由②可知：，，，，，都是集合的元素，
因为a，b，c为互不相等的正数，所以，，，，，都是不等于的正数，所以，，，
又因为b，c为互不相等的正数，所以，，
考虑到和，若，则，，为互不相等的正数，
又因为，所以，所以是与，，不相等正数，
因为，，，都是集合P的元素，所以集合P中至少有4个元素，这与假设矛盾，
因此考虑的情况，所以，同理可得，，所以，
所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以P有3个元素不可能成立，故D错误；
故选：C.
9．答案：D
解析：由于，不妨令，，可得，，，故A不正确.
可得，，，故B不正确.
可得，，，故C不正确.
故选：D.
10．答案：AB
解析：因为关于x的不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，，，所以，
则
，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB.
11．答案：BC
解析：,且,,
对于A,利用基本不等式得,化简得,
当且仅当,即,时,等号成立,所以的最大值为,故A错误;
对于B,,
当且仅当,即,时,等号成立,所以的最大值为,故B正确;
对于C,,
当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为,故C正确;
对于D,
利用二次函数的性质知,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,
,,故D错误;
故选:BC
12．答案：
解析：的开口向下，
对称轴方程为，要使在上是增函数，
只需，即，实数a的取值范围为.
故答案为:.
13．答案：.
解析：由题意得恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，，解得.
综上.
故答案为：.
14．答案：
解析：由中有且只有两个元素，
得有且只有两个自然数解，
即有且只有两个自然数解，
令，则，
令，
作出的图象（如图所示），
又因为，，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由时，集合，
，
所以，
（2）当，即时，集合，符合，
当时，由，有，解得，
综上可知，若，则m的范围是.
16．答案：（1）详解见解析；
（2）当垃圾池的高为m、宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
解析：（1）无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为，则宽m，
，即，.
（2），
当且仅当取等号，即.
所以当垃圾池的高为m宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）；
解析：（1）令，
则
，
又，，，即，
所以函数在区间上增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，又，，
所以函数在区间上的值域为.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）当，时，即解不等式，可得，
当时，成立，
当时，得，即解，解得；
当且时，得，解得，
综上所述，不等式的解集为；
（2）当时，可得，，
对任意，关于x的不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即当时，的最大值为0，所以，
所以实数m的取值范围；
（3）由，可得，
可得，
因为点，均为函数与函数图象的公共点，
可得，
，两式相减得
，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，解得，
所以.
19．答案：（1），；
（2）证明见解析；
（3）1350
解析：（1）由已知，则，；
（2）由于集合，，且，
所以T中也只包含四个元素，因为，
即且，即，
又，
所以，，从而，，
此时满足题意，所以；
（3）设满足题意，其中，
，
，，，
，，
又中最小的元素为0，最大的元素为，
则，，，
设，，
则，
因为，可得，，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.