2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[1,2]时，f(x)=2−x.给出下列四个结论：①f(x)的图象关于直线x=1对称；②f(x)在(1,3)上为减函数；③f(x)的值域为[−1,1]；④y=f(x)−lg3|x|有4个零点，其中正确的结论是( )
A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①②
2.在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A=“第二次摸出的球是红球”，事件B=“两次摸出的球颜色相同”，事件C=“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是( )
A. P(B)=25 B. P(C)=1−P(A) C. P(A∪B)=45 D. P(A∩B)=110
3.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )．
A. 73πB. 16πC. 8πD. 283π
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°，且△ABC的面积为 3，若b+c=6，则a=( )
A. 2 6B. 5C. 30D. 2 7
5.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A. 3
B. 22
C. 2λ3
D. 55
6.i是虚数单位，则2i1+i−1=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是( )
A. 15.5元B. 31元C. 9.5元D. 19元
8.△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC=m，∠B=α，则AD长为( )
A. msin2αB. mcs2αC. msinαcsαD. msinαtanα
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB= 2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. AD与BC所成的角为60°
B. 该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3 3
C. 该半正多面体的体积为163
D. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F−E=2
10.i是虚数单位，下列四个说法中，正确的选项有( )
A. 若复数z满足z⋅z−=0 则z=0
B. 若复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，则z1⋅z2=0
C. 若复数z=a+ai(a∈R)，则z可能是纯虚数
D. 若复数z满足z=3+4i，则z对应的点在第一象限或第三象限
11.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥P−BCED，则( )
A. 对任意的点P，始终有BC/​/平面PDE
B. 对任意的点P，始终有BC⊥AP
C. 翻折过程中，四棱锥P−BCED的体积有最大值9
D. 存在某个点P的位置，满足平面PDE⊥平面PBC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=5，|a+b|=5 2，a⊥b，则|b|= ______．
13.已知a=(1,1)，b=(2,−1)，c=(x,3)；若(a+2b)/​/c，则x= ______．
14.已知F1，F2分别为椭圆x2100+y2b2=1(0(1)PF1+PF2的值为 ；
(2)若∠F1PF2=60°，且△F1PF2的面积为64 33，则b的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(2,3)，b=(−1,k)．
(1)若a+b与a−b垂直.求k；
(2)若向量c=(5,1)，若a+2b与2b−c共线，求|a+4b|．
16.(本小题15分)
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有4次游戏机会．
②依次参加A，B，C游戏．
③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完．
④参加A游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加B游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加C游戏，则每次胜利可以获得奖金200元．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是12，乙参加每一个游戏获胜的概率都是13，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：

(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由．
(2)在(1)的基础上，解答下列两问．
(ⅰ)求该运动员能参加C游戏的概率．
(ⅱ)记x为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示P关于x的函数．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=3，且BC=kAD,AB⋅BC=1，若P，Q为线段AD上的两个动点，且|PQ|=1．
(1)当P为AD的中点时，求CP的长度；
(2)求CP⋅CQ的最小值．
18.(本小题17分)
如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
(1)求证：直线AE//平面BDF；
(2)若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．
19.(本小题17分)
已知向量a=(x,1)，b=(m,lg2(4x+1))，定义函数f(x)=a⋅b．
(1)若函数f(x)为偶函数，求实数m的值；
(2)当m>0时，关于x的方程f[8(lg4x)2+2lg21x+4m−4]=1，在区间[1,2 2]上恰有两个不同的实数解，求实数m的范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.A
5.D
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.AD
11.AB
12.5
13.−15
14.20
8

15.解：(1)因为a=(2,3)，b=(−1,k)，
所以a+b=(1,3+k)，a−b=(3,3−k)
因为a+b与a−b垂直，
所以(a+b)⋅(a−b)=1⋅3+(3+k)(3−k)=0，
整理得：−k2+12=0，解得k=±2 3；
(2)因为a=(2,3)，b=(−1,k)，c=(5,1)，
所以a+2b=(0,3+2k)，2b−c=(−7,2k−1)
因为a+2b与2b−c共线，
所以存在唯一实数λ，使得a+2b=λ(2b−c)(λ∈R)，
所以0=λ(−7)3+2k=λ(2k−1)，解得k=−32λ=0，
所以b=(−1,−32)，a+4b=(2,3)+(−4,−6)=(−2,−3)，
所以|a+4b|= (−2)2+(−3)2= 13．
16.解：(1)甲运动员成绩位于[50,80)的频率为0.3，则其中位数大于80，
而乙运动员成绩位于[50,80)的频率为0.6，则其中位数小于80，
所以甲运动员参加第二阶段游戏．
(2)(i)若甲能参加C游戏，则A，B游戏至多共使用3次机会，
①A，B游功共使用3次机会，则概率P1=12×12=14，
②A，B游功共使用3次机会，则概率P2=12×12×12+12×12×12=14，
所以甲能参加C游戏的概率为14+14=12．
(ii)由甲参加每个游戏获胜的概率都是12，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为116，
①A游戏使用了4次，则x=0或50；
②A游戏使用了3次，则x=50或150；
③A游戏使用了2次，B游戏使用2次，则x=50或150；
④A游戏使用了2次，B游戏使用1次，则x=150或350；
⑤A游戏使用了1次，B游戏使用3次，则x=50或150；
⑥A游戏使用了1次，B游戏使用2次，则x=150或350；
⑦A游戏使用了1次，B游戏使用1次，则x=150或350或550，其中x=350有2种情况，
因此，当x=0时，P=116；当x=50时，P=14；当x=150时，P=38；
当x=350时，P=14；当x=550时，P=116，
所以用列表法表示P关于x的函数为：

17.解：(1)由BC=kAD，可得BC/​/AD，
因为AB⋅BC=1,∠B=120°,AB=2，
所以AB⋅BC=|AB||BC|cs(180°−B)=2|BC|×12=1，解得|BC|=1，所以BC=1，
又因为P为AD的中点，
所以CP=CB+BA+AP=CB+BA+12AD=BA+12BC，
所以|CP|= (BA+12BC)2= BA2+BA⋅BC+14BC2= 4+14+2×2×12×cs120°= 132；
(2)因为Q为线段AD上的动点，且BC/​/AD，
故可设AQ=mBC，0≤m≤2，
则CQ=CB+BA+AQ=BA+(m−1)BC，
CP=CB+BA+AP=BA+mBC，
所以CQ⋅CP=[BA+(m−1)BC]⋅[BA+mBC]=BA2+(2m−1)BA⋅BC+(m2−m)BC2
=4+(2m−1)(−1)+(m2−m)×1=m2−3m+5=(m−32)2+114，
当m=32时，CQ⋅CP取到最小值，且为114．
18.证明：(1)设AC∩BD=G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，
∴在△ACE中，FG/​/AE，
∵AE⊄平面BDF，FG⊂平面BDF，
∴AE/​/平面BDF；
(2)∵∠AEB=90°，
∴AE⊥BE．
又∵直线BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，
∴AE⊥BC．
又BC∩BE=B，BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，
∴直线AE⊥平面BCE．
由(1)知，FG/​/AE，
∴直线FG⊥平面BCE，
又直线FG⊂平面BDF，
∴平面BDF⊥平面BCE．
19.解：(1)f(x)=a⋅b=lg2(4x+1)+mx，定义域为R，
若f(x)是偶函数，则有f(−x)=f(x)恒成立，即：lg2(4−x+1)−mx=lg2(4x+1)+mx，
则2mx=lg2(4−x+1)−lg2(4x+1)=lg24x+14x−lg2(4x+1)=−2x，
即2mx=−2x对x∈R恒成立，故m=−1；
(2)当m>0时，y=lg2(4x+1)在R上单调递增，y=mx在R也单调递增，
所以f(x)=lg2(4x+1)+mx在R上单调递增，且f(0)=1，
则f[8(lg4x)2+2lg21x+4m−4]=1可化为f[8(lg4x)2+2lg21x+4m−4]=f(0)，
又因为f(x)单调递增，得8(lg4x)2+2lg21x+4m−4=0，换底得8(lg2xlg24)2−2lg2x+4m−4=0，即2(lg2x)2−2lg2x+4m−4=0，
令t=lg2x，因x∈[1,2 2]，则t∈[0,32]，
问题转化为2t2−2t+4m−4=0在t∈[0,32]上有两解，即4m=−2t2+2t+4在t∈[0,32]上有两解，
令y=−2t2+2t+4=−2(t−12)2+92，(0≤t≤32)，
即y=−2(t−12)2+92与y=4m的图象恰有两个不同的交点，
当t=12时，ymax=92；当t=0时，y=4；当t=32时，y=52，
因此4≤4m<92，又m>0，解得89故实数m的范围是(89,1]． x
0
50
150
350
550
P
116
14
38
14
116