浙江省杭州市拱墅区公益中学2025届数学九年级第一学期开学检测模拟试题【含答案】

这是一份浙江省杭州市拱墅区公益中学2025届数学九年级第一学期开学检测模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，设线段AC=1．过点C作CD⊥AC，并且使CD=AC：连结AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；再以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A．4B．16C．D．4或
3、（4分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图像上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1、y2、y3的大小关系（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
4、（4分）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），已知，∠ACB=90°，AC=BC， AB=1．如果每块砖的厚度相等，砖缝厚度忽略不计，那么砌墙砖块的厚度为( )
A．B．C．D．5
5、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°，则AB的长为( )
A．cmB．4 cmC．cmD．2cm
6、（4分）下列各式中，能用公式法分解因式的是（ ）
①； ②； ③； ④； ⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）在平面直角坐标系中，点）平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
8、（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC＝10，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点D，则图中阴影△ADC′的面积等于______．
10、（4分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是_____（用数学概念作答）
11、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝9，点P为AD边上点，沿BP折叠△ABP，点A的对应点为E，若点E到矩形两条较长边的距离之比为1：4，则AP的长为_____．
12、（4分）如图，在己知的中，按以一下步骤作图:①分别以为圆心，大于的长为半径作弧，相交于两点;②作直线交于点，连接.若,,则的度数为___________.
13、（4分）下面是某校八年级（1）班一组女生的体重（单位：kg）36 35 45 42 33 40 42，这组数据的平均数是____，众数是_____，中位数是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值： ，其中x=+1．
15、（8分）已知：如图，在梯形中，，，是上一点，且，，求证：是等边三角形.
16、（8分）如图，正比例函数y1=kx与-次函数y2=mx+n的图象交于点A(3，4)，一次函数y2的图象与x轴，y轴分别交于点B，点C，且0A=OC．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积．
17、（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
18、（10分）某中学需要添置一批教学仪器，方案一：到厂家购买，每件原价40元，恰逢厂家促销活动八折出售；方案二学校自己制作，每件20元，另外需要制作工具的租用费600元；设该学校需要购买仪器x件，方案一与方案二的费用分别为y1和y2（元）
（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）若学校需要购买仪器30～60（含30和60）件，问采用哪种方案更划算？请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是__________
20、（4分）已知y与x+1成正比例，且x=1时，y=2.则x=-1时，y的值是______.
21、（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为_____．
22、（4分）直线y=kx+b与直线y=-3x+4平行，且经过点（1，2），则k=______，b=______．
23、（4分）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“等边对称点”；
（1）若，求点的“等边对称点”的坐标；
（2）若点是双曲线上动点，当点的“等边对称点”点在第四象限时，
①如图（1），请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；
②如图（2），已知点，，点是线段上的动点，点在轴上，若以、、、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围.
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、象限内的，两点，与轴交于点.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）长为2的线段在射线上左右移动，若射线上存在三个点使得为等腰三角形，求的值.
26、（12分）某学校为了加强训练学生的篮球和足球运球技能，准备购买一批篮球和足球用于训练，已知1个篮球和2个足球共需116元；2个篮球和3个足球共需204元
求购买1个篮球和1个足球各需多少元？
若学校准备购进篮球和足球共40个，并且总费用不超过1800元，则篮球最多可购买多少个？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据勾股定理求得AD的长度，则AB=AE=AD-CD．
【详解】
解：如图，AC=1，CD= AC=，CD⊥AC，
∴由勾股定理，得
AD=,
又∵DE=DC=，
∴AB=AE=AD-CD=-=,
故选：B.
本题考查了勾股定理．根据勾股定理求得斜边AD的长度是解题的关键．
2、D
【解析】
试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：=；
当5是斜边长时，第三边长为：=1．
故选D．
3、C
【解析】
在反比例函数的图象在二四象限，根据x1＜x2＜0＜x3，可以确定点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)所在象限，根据反比例函数的图象和性质，可以确定y1、y2、y3的大小关系．
【详解】
∵反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴点，和，在第二象限、而，在第四象限，
于是有：0＜＜，而＜0，
因此，＜＜，
故选：C．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
4、A
【解析】
根据全等三角形的判定定理证明△ACD≌△CEB，进而利用勾股定理，在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，求出即可
【详解】
过点B作BF⊥AD于点F，
设砌墙砖块的厚度为xcm，则BE＝2xcm，则AD＝3xcm，
∵∠ACB＝90，
∴∠ACD＋∠ECB＝90，
∵∠ECB＋∠CBE＝90，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝5x，AF＝AD−BE＝x，
∴在Rt△AFB中，
AF2＋BF2＝AB2，
∴25x2＋x2＝12，
解得，x＝(负值舍去)
故选A．
本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出AD＝BE，DC＝CF是解题关键．
5、B
【解析】
利用对角线性质求出AO=4cm，又根据∠AOD=120°，易知△ABO为等边三角形，从而得到AB的长度.
【详解】
AC、BD为矩形ABCD的对角线，所以AO=AC=4cm，BO=BD=AC=4cm,
又因为∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，所以三角形ABO为等边三角形，
故AB=AO=4cm，故选B.
本题考查矩形的对角线性质，本题关键在于能够证明出三角形是等边三角形.
6、B
【解析】
根据各个多项式的特点，结合平方差公式及完全平方公式即可解答.
【详解】
①不能运用公式法分解因式；②能运用平方差公式分解因式；③不能运用公式法分解因式；④能运用完全平方公式分解因式；⑤能运用完全平方公式分解因式.
综上，能用公式法分解因式的有②④⑤，共3个.
故选B.
本题考查了运用公式法分解因式，熟练运用平方差公式及完全平方公式分解因式是解题的关键．
7、C
【解析】
先求出点A关于y轴的对称点，即可知道平移的规律.
【详解】
∵点关于y轴的对称点为（2,3）
∴应把点向右平移个单位，
故选C.
此题主要考查直角坐标系的坐标变换，解题的关键是熟知找到点A关于y轴的对称点.
8、C
【解析】
解：∵△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故DE=AD=×10=1．
故选C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
由旋转的性质可得AB=AB'=，∠BAB'=15°，可得∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，由直角三角形的性质可得B'D=1，由三角形面积公式可求解．
【详解】
解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∴AB=AB'=，∠BAB'=15°，
∴∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，且∠B'=90°，
∵tan∠B'AD=,
∴AB'=B'D，
∴B'D=1，
∴阴影△ADC'的面积=，
故答案为：.
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，及锐角三角函数的知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10、众数
【解析】
商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【详解】
根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是销售数量最多衬衫的数量，即众数．
故答案为：众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
11、
【解析】
分点E在矩形内部，EM：EN＝1：4，或EM：EN＝4：1，点E在矩形外部，EN：EM＝1：4，三种情况讨论，根据折叠的性质和勾股定理可求AP的长度．
【详解】
解：过点E作ME⊥AD，延长ME交BC与N，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，且ME⊥DA
∴EN⊥BC 且∠A＝90°＝∠ABC＝90°
∴四边形ABNM是矩形
∴AB＝MN＝5，AM＝BN
若ME：EN＝1：4，如图1
∵ME：EN＝1：4，MN＝5
∴ME＝1，EN＝4
∵折叠
∴BE＝AB＝5，AP＝PE
在Rt△BEN中，BN＝＝3
∴AM＝3
在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2
AP2＝（3﹣AP）2+1
解得AP＝
若ME：EN＝4：1，则EN＝1，ME＝4，如 图2
在Rt△BEN中，BN＝＝2
∴AM＝2
在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2
AP2＝（2﹣AP ）2+16
解得AP＝
若点E在矩形外，如图
∵EN：EM＝1：4
∴EN＝，EM＝
在Rt△BEN中，BN＝＝
∴AM＝
在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2
AP2＝（AP﹣）2+（）2
解得：AP＝5
故答案为，，5.
本题考查矩形的性质、折叠的性质和勾股定理，注意分情况讨论是解题关键.
12、105°
【解析】
根据垂直平分线的性质，可知，BD=CD，进而，求得∠BCD的度数，由，，可知，∠ACD=80°，即可得到结果.
【详解】
根据尺规作图，可知，MN是线段BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
又∵，
∴∠A=∠ADC=50°，
∵∠B+∠BCD=∠ADC=50°，
∴∠BCD==25°，
∵∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-50°=80°，
∴=∠BCD+∠ACD=25°+80°=105°.
本题主要考查垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质定理与三角形外角的性质，求出各个角的度数，是解题的关键.
13、
【解析】
分别利用平均数、众数及中位数的定义求解后即可得出答案．
【详解】
解：将数据重新排列为33、35、36、40、42、42、45，
所以这组数据的平均数为，
众数为、中位数为，
故答案为：、、．
此题考查了平均数、众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以总个数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、，
【解析】
试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式===，
当x=+1时，原式=．
15、见解析.
【解析】
由已知条件证得四边形AECD是平行四边形，则CE=AD，从而得出CE=CB，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证得结论.
【详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形.
本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.
16、 (1) ，；(2) .
【解析】
（1）根据待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）利用三角形面积公式计算解答即可．
【详解】
(1)把A(3，4)代人中.得：3k=4
∴
∴
过点A作AE⊥x轴，垂足为E.
∵A(3，4)
∴OE=3，AE=4
在Rt△OAE中，
又∵OC=OA=5
∴.C(0，-5)
把A(3，4)，C(0，-5)代人中，得
∴
∴
(2)在中，令得
∴OB=
∴.
考查的是一次函数的问题，关键是根据待定系数法求解析式．
17、（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．理由见解析.
【解析】
分析：（1）根据SAS即可证明；
（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△DEO和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF．
（2）结论：四边形EBFD是矩形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．
点睛：本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、（1）y1＝32x，y2＝20x+600；（2）30≤x＜50时，方案一划算．
【解析】
（1）根据题意得到y1，y2与x的关系即可；（2）分别根据题意列出不等式直接解题即可
【详解】
（1）由题意，可得：y1＝40×0.8x＝32x，y2＝20x+600；
（2）当32x＝20x+600时，
解得：x＝50，此时y1＝y2，即x＝50时，两种方案都一样，
当32x＞20x+600时，
解得：x＞50，此时y1＞y2，即50＜x≤60时，方案二划算，
当32x＜20x+600时，
解得：x＜50，此时y1＜y2，即30≤x＜50时，方案一划算．
本题主要考查一次函数与不等式的简单应用，本题关键在于理解题意找出y1，y2与x的关系
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、m＞5
【解析】
已知反比例函数的图象在第二、四象限，所以，解得m＞5，故答案为：m＞5.
本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键
20、2
【解析】
设y=k（x+1），把x=1，y=2代入，求的k，确定x，y的关系式，然后把x=-1，代入解析式求对应的函数值即可．
【详解】
解：∵y与x+1成正比例，
∴设y=k（x+1），
∵x=1时，y=2，
∴2=k×2，即k=1，
所以y=x+1．
则当x=-1时，y=-1+1=2．
故答案为2．
本题考查了正比例函数关系式为：y=kx（k≠2）），只需一组对应量就可确定解析式．也考查了给定自变量会求对应的函数值．
21、8a．
【解析】
由菱形的性质易得AC⊥BD，由此可得∠AOB=90°，结合点E是AB边上的中点可得AB=2OE=a，再结合菱形的四边相等即可求得菱形ABCD的周长为8a．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
又∵点E为AB边上的中点，OE=a，
∴AB=2OE=2a，
∴菱形ABCD的周长=2a×4=8a．
故答案为：8a．
“由菱形的性质得到AC⊥BD，从而得到∠AOB=90°，结合点E是AB边上的中点，得到AB=2OE=2a”是正确解答本题的关键．
22、-3， 1
【解析】
根据两直线平行，得到k=-3，然后把(1，2)代入y=-3x+b中，可计算出b的值．
【详解】
∵直线y=kx+b与直线y=-3x+4平行，
∴k=-3，
∵直线y=-3x+b过点(1，2)，
∴1×(-3)+b=2，
∴b=1．
故答案为:-3；1．
本题主要考查两平行直线的函数解析式的比例系数关系，掌握若两条直线是平行的关系，那么它们的函数解析式的自变量系数相同，是解题的关键．
23、1
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】
解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．
∴△AOB是直角三角形．
∴．
∴此菱形的周长为：5×4=1
故答案为：1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）或；（2）①；②或
【解析】
（1）根据P点坐标得出P'的坐标，可求PP'=4；设C（m，n），有PC=P'C=24，通过解方程即可得出结论；
（2）①设P（c，），得出P'的坐标，利用连点间的距离公式可求的长，设C（s，t），有，然后通过解方程可得，再根据消元c即可得xy=-6；
②分AG为平行四边形的边和AG为平行四边形的对角线两种情况进行分类讨论．
【详解】
解：（1）∵P（1，），
∴P'（-1，-），
∴PP'=4，
设C（m，n），
∴等边△PP′C，
∴PC=P'C=4，
解得n=或-，
∴m=-1或m=1．
如图1，观察点C位于第四象限，则C（，-1）．即点P的“等边对称点”的坐标是（，-1）．
（2）①设，∴，
∴，
设，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点在第四象限，，
∴，
令，
∴，即；
②已知，，则直线为，设点，设点，，即，，，构成平行四边形，点在线段上，；
当为对角线时，平行四边形对角坐标之和相等；
，，，即；
当为边时，平行四边形，
，，，即；
当为边时，平行四边形，
，，，而点在第三象限，，即此时点不存在；
综上，或.
本题考查反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，新定义；理解题意，利用等边三角形的性质结合勾股定理求点C的坐标是关键，数形结合解题是求yc范围的关键．
25、（1），；（2）或；（3）-1
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用图象法，写出y1D的图象在y2的图象上方的对应的自变量的取值即可．
（3）如图2中，分别以E，F为圆心EF为半径画圆，两圆在EF的上方交于点N，当点N在射线CA上时，射线CA上存在三个点P使得△PEF为等腰三角形．解直角三角形求出CH，EH即可．
【详解】
解：（1）∵A（3，5），B（a，-3）在的图象上，
∴m=15，a=-5，
∴A（3，5），B（-5，-3），
把A，B的坐标代入y1=kx+b中，
得，解得：
（2）观察图1可知：当y1＞y2时，x的取值范围为：x＞3或-5＜x＜1．
（3）如图2中，分别以E，F为圆心EF为半径画圆，两圆在EF的上方交于点N，当点N在射线CA上时，射线CA上存在三个点P使得△PEF为等腰三角形．
作NH⊥EF于H．
∵NE=EF=NF，NH⊥EF，
∴EH=HF=1，NH=，
∵直线AC的解析式为y=x+2，
∴∠ACF=45°，
∴CH=NH=，
∴EC=CH-EH=-1
本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）购买一个篮球需60元，购买一个足球需28元；（2）篮球最多可购买21个．
【解析】
（1）设购买一个篮球元，购买一个足球元，根据“1个篮球和2个足球共需116元，2个篮球和3个足球共需204元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买个篮球，则购买的足球数为，根据费用=单价×数量，分别求出篮球和足球的费用，二者相加便是总费用，总费用不超过1800元，列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论.
【详解】
解：设购买一个篮球的需x元，购买一个足球的需 y元，
依题意得，
解得，
答：购买一个篮球需60元，购买一个足球需28元；
设购买m个篮球，则足球数为，
依题意得：，
解得：，
而m为正整数，
，
答：篮球最多可购买21个．
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，正确列出一元一次不等式.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8