四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设，，与垂直，则k等于( )
A.6B.14C.D.
3．已知直线，互相平行，且,之间的距离为，则( )
A.或3B.或4C.或5D.或2
4．已知，则“”是“直线和直线垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A.B.C.D.
6．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为( )
A.B.C.2D.4
7．已知是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，则它在基底下的坐标为( ).
A.B.C.D.
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.5C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.若是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则
B.坐标平面内过点的直线方程可以写成
C.直线l过点，且原点到l的距离是2，则l的方程是
D.若,,是空间的一组基底，且，则A,B,C,D四点共面
10．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.若,,三点在一条直线上，则
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为
D.直线l的方向向量为，则该直线的斜率为
11．在三棱锥中，,,两两垂直，平面于点P，设,,,的面积分别为,,,S，下列命题中正确的是( )
A.可能为直角三角形B.点P为的垂心
C.D.
三、填空题
12．已知向量，，则在上的投影向量坐标为________.
13．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则________.
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值________.
四、解答题
15．已知直线与直线交于点P.
（Ⅰ）直线过点P且平行于直线，求直线的方程；
（Ⅱ）直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线的方程.
（注：结果都写成直线方程的一般式）
16．已知空间中三点,,.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)求的面积.
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.设,,，求：
(1)用基底表示向量，并求向量的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
18．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)求点到直线l距离的最大值并求此时直线l的方程；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B,的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
19．如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由直线可知其斜率为，设直线的倾斜角为，
则由得，又，所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题设，，
，
.
故选：C
3．答案：A
解析：由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
4．答案：A
解析：直线和直线垂直，
则，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，
故选：A
5．答案：A
解析：由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，，直线的横、纵截距分别为b，，
选项A，由的图象可得，，可得直线的截距均为正数，故正确；
选项B，由的图象可得，，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误；
选项C，由的图象可得，，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误；
选项D，由的图象可得，，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误.
故选：A.
6．答案：B
解析：设平面ABC的法向量为，则所以
令，则，，所以是平面ABC的一个法向量.所以点到平面ABC的距离，故该三棱柱的高为.故选B.
7．答案：D
解析：由于是空间的一个单位正交基底，
可设向量，，，
则向量，，
又向量在基底下的坐标为，
不妨设，
则，
即，解得：，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：D.
8．答案：A
解析：先找出B关于直线的对称点C再连接即为“将军饮马”的最短路程.
如图所示，
设点关于直线的对称点为，
在直线上取点P，连接，则.
由题意可得，解得，即点，
所以，
当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对于A，当时，，或，故A错误；
对于B，设过点的直线方程一般式为，
可得，即，代入直线方程得，
提取公因式得，故B正确；
对于C，当直线l斜率不存在时，即，检验原点到l的距离是2，所以符合；
当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为：，即，
利用原点到直线的距离，解得，所以，
故直线l的方程是或，故C错误；
对于D，对于空间中任意一点O，由，
因为，所以A,B,C,D四点共面，所以D正确.
故选：BD.
10．答案：AD
解析：直线的斜率，所以其倾斜角为，A正确；
若,,三点在一条直线上，则斜率等于斜率，得，B错误；
过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l存在一条过原点，显然不过原点，C错误；
直线l的方向向量为，则斜率，D正确.
故选：AD
11．答案：BCD
解析：假设，，，
所以，，，
因为任何两边的平方和大于第三边的平方，
所以是锐角三角形，故A选项错误；
由,,两两垂直易证平面，
所以，因为，
所以易证平面，所以，
同理可得，，
所以点P为的垂心，故B选项正确；
设的面积为S，因为四面体体积为，
所以，等式两边平方可得，
由海伦公式可得，其中，
所以
，
所以代回可得，故C选项正确；
，，，，
因为，所以，
所以，
因为，，，
所以，故D选项正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为,，
所以，，
则在上的投影向量坐标为.
故答案为：
13．答案：
解析：由题意得，，，
故.
故答案为：
14．答案：
解析：由题意可知：动直线过定点，
动直线，即过定点，
则，且，则，
可知点P的轨迹是以为直径的圆，则，
且，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值.
故答案为：.
15．答案：（I）；
（II）或.
解析：（I）根据题意，设直线的方程为，
，解可得，则P的坐标为，
P在直线上，则有，解可得，
则直线的方程为；
（II）直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线不通过原点，且其斜率为1或，又直线经过点P，
若直线的斜率为1，则直线的方程为，即；
若直线的斜率为，则直线的方程为，即.
综合可得：直线的方程为或.
16．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）空间中三点，，，
，
，且，
设，，
，
，或.
（2），，，
，，，
，
，
.
17．答案：(1)；；
(2)
解析：（1）由题意可知：
，，，，
因为，
则
，
即，所以的长度为.
（2）因为，
可得，
且，，
设直线与所成角为
可得，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．答案：(1)；
(2)，l的方程为；
(3)4，此时直线l的方程为
解析：（1）直线l的方程为：，它过定点，在第二象限，
因此直线不过第四象限，则，
k的取值范围是.
（2）由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为k，
结合图象：
可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，且，
此时,l的方程为.
（3）由题意可知，再由l的方程，得,.
依题意得解得.
，
“＝”成立的条件是且，即，
，此时直线l的方程为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在；2
解析：（1）因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以D为原点，所在直线为x轴，
所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图，易知,，，，
，，
设平面的法向量，
，
不妨令，，则，
又，，，
又平面，平面.
（2）由上可知，，
设平面的法向量，
，
令，，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设，
，，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或.
当时，，；
当时，，.
综上，.