2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题11数列的极限(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题11数列的极限(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共34页。试卷主要包含了四局必为甲胜，若乙胜，则第三等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32728" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32728 \h 1
\l "_Tc6588" 题型一：概率统计中数列的极限 PAGEREF _Tc6588 \h 1
\l "_Tc28937" 题型二：分形中的极限问题 PAGEREF _Tc28937 \h 3
\l "_Tc14950" 题型三：数列中其他极限问题 PAGEREF _Tc14950 \h 5
\l "_Tc30198" 二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练） PAGEREF _Tc30198 \h 7
一、典型题型
题型一：概率统计中数列的极限
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
2．（2023高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次下面向上的概率为，
(1)求和；
(2)写出的递推公式，并指出单调性；
(3)是否存在？有何统计意义．
3．（2023·四川宜宾·模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
4．（2002·上海·高考真题）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
(1)设为第k位职工所得奖金额，试求，并用和表示（不必证明）；
(2)证明，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为，对常数b，当n变化时，求．
题型二：分形中的极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：

(1)第三层及第四层的树形图的高度
(2)第n层的树形图的高度
(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？
2．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作

(1)求的周长；
(2)求所围成的面积；
(3)当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形．
3．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、.
(1)设第次被剪去等边三角形面积为，求；
(2)设的面积为，求.
4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是一块直径为2的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形，，…，，…，记纸板的面积和周长分别为、，求：
（1）；
（2）.
题型三：数列中其他极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）著名的斐波那契数列满足，，证明.
2．（2024高三·全国·专题练习）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
……………………………………
若第行所有的项的和为．
(1)求；
(2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；
(3)设，求和的值．
3．已知数列，其中．记数列的前n项和为，数列的前n项和为．
(1)求；
(2)设（其中为的导函数），计算．
4．（23-24高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求的值；
(3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式．
5．已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，，，其中为常数，为非零常数．
(1)令，证明数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)当时，求．
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）
1．（23-24高二上·上海松江·期末）如图所示，设正三角形边长为是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和，求 .
2．（23-24高二上·上海徐汇）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则 .
3．（22-23高二上·上海·期中）定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有（为常数,且）,它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 ．
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
7．（23-24高二·全国·课后作业）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远．(参数数据：，)
(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度；
(2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）
(3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）
8．（2024高三·上海·专题练习）如图所示，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．

（1）求数列的通项公式；
（2）求．
专题11 数列的极限（典型题型归类训练）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32728" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32728 \h 1
\l "_Tc6588" 题型一：概率统计中数列的极限 PAGEREF _Tc6588 \h 1
\l "_Tc28937" 题型二：分形中的极限问题 PAGEREF _Tc28937 \h 5
\l "_Tc14950" 题型三：数列中其他极限问题 PAGEREF _Tc14950 \h 10
\l "_Tc30198" 二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练） PAGEREF _Tc30198 \h 15
一、典型题型
题型一：概率统计中数列的极限
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）先计算比四局结束比赛的概率，再根据条件概率计算即可；
（2）先根据题意得出，结合错位相减法计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3，
若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜，
所以比四局结束比赛的概率为：；
其中甲赢得比赛的概率为，
故所求概率.
（2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设，
当时，，此时
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
…，
.
所以的期望
所以，
，
两式相减，得，
因为当时，，
所以，则，
即的数学期望是.
【点睛】关键点睛：本题第二问解决的关键在于分析得比赛局数对应的概率的特征，进而利用错位相减法计算期望，由此得解.
2．（2023高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次下面向上的概率为，
(1)求和；
(2)写出的递推公式，并指出单调性；
(3)是否存在？有何统计意义．
【答案】(1)，，
(2)，单调递减
(3)存在，答案见解析
【详解】分析：观察本题，易发现关键在于发现的递推关系，因此解题的方向即寻找与等项的关系，而自招考试递推阶数不限于一阶，因此思路中需要包含可能出现二阶甚至三阶递推的准备．
解：（1）易知，，而投掷四次时若出现连续三次反面向上，即前三次或后三次或四次都是，故．
（2）当第次不为反面向上时，只需前次没出现；当第次是下面向上时，若第次不是下面向上，只需前次没出现，若次是下面向上，则次比须不是下面向上，只需前次没出现．
综上，；概率显然单调递减．
（3）存在为0，当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于0．
3．（2023·四川宜宾·模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
【分析】(1) 由题意知的取值为，求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,根据期望公式求得期望;
（2）（i）求得，根据时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，可得，由此变形得可证明结论；（ii）求出，当时，,即可解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【详解】（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
4．（2002·上海·高考真题）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
(1)设为第k位职工所得奖金额，试求，并用和表示（不必证明）；
(2)证明，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为，对常数b，当n变化时，求．
【答案】(1),；
(2)证明见解析，实际意义：此分配方案体现了按照工作业绩的按劳分配原则
(3)
【分析】（1）根据题意建立关系式即可，可以通过观察式子的特征求得；
（2）利用作差比较法可以证明，作差，化简证明结果为正；
（3）根据题意先求解出结合极限公式可得结果.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以此分配方案体现了按照工作业绩的按劳分配原则；
（3）设表示发给第位职工后所剩余额，则，
发展基金，故.
题型二：分形中的极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：

(1)第三层及第四层的树形图的高度
(2)第n层的树形图的高度
(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？
【答案】(1)
(2)
(3)矮小，理由见解析
【分析】（1）设树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，从而依次求出，从而得到第三层和第四层树形图的高度；
（2），分为奇数和为偶数两种情况，结合等比数列求和公式求出答案；
（3）分为奇数和为偶数，根据极限得到，得到结论.
【详解】（1）设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，
则，，，，
所以第三层树形图的高度为；
第四层树形图的高度；
（2）易知，又，，
所以第层新生的树形图的高度为，
故当时，
；
当时，
故第层的树形图的高度为；
（3）当为奇数时，，
当为偶数时，，
故当．由定义知树形图为“矮小”的．
2．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作

(1)求的周长；
(2)求所围成的面积；
(3)当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据图形边长和边数的变化关系，结合等比数列通项公式可求得边长和边数的通项，由所求周长为可求得结果；
（2）根据图形关系可知，利用累加法可求得；
（3）利用极限的思想可验证极限值，从而证得结论.
【详解】（1）设第个图形的边长为，边数为，的周长为 ，
自第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，
数列是以为首项，为公比的等比数列，；
自第个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的倍，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，即的周长为.
（2）记所围成的面积为，则，
当且时，，
，
经检验：满足，
.
（3），
，
科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形.
3．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、.
(1)设第次被剪去等边三角形面积为，求；
(2)设的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果；
（2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答案
【详解】（1）解：由题意可得，
设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）解：由已知得的面积，
所以的面积为，
所以.
4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是一块直径为2的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形，，…，，…，记纸板的面积和周长分别为、，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】由题意知纸板每剪掉半圆，面积依次减少，周长依次增加，而、，应用等比数列求和公式可得到、，再利用极限思想即可求、.
【详解】由题意：，令各次剪掉的半圆面积为，
∴，
，令各次剪掉半圆周长变化为，
∴，
（1），
（2）.
【点睛】结论点睛：
1、.
2、，m为常数.
3、当时，；当时，；
题型三：数列中其他极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）著名的斐波那契数列满足，，证明.
【答案】证明见解析
【详解】证明：令，则，此时，，由定理10，得.
2．（2024高三·全国·专题练习）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
……………………………………
若第行所有的项的和为．
(1)求；
(2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；
(3)设，求和的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)；
【分析】（1）根据已给数据可计算，写出第5行后可计算；
（2）根据数表的形成过程，可得递推关系：，化简后，构造新数列是等差数列，通项公式可求；
（3）计算，并裂项得，即用裂项相消法求得和，然后可求得极限．
【详解】（1）由题意，，
第行数据是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．
∴ ．
（2）由题意，第行共有项，
于是有
等式两边同除，得，
即为等差数列，公差为，首项为
∴，即．
（3）∵
∴
∴，
．
3．已知数列，其中．记数列的前n项和为，数列的前n项和为．
(1)求；
(2)设（其中为的导函数），计算．
【答案】(1)；
(2)当时，，当时，.
【分析】(1)由条件求出数列的通项公式和前项和，由此可得，再求数列的前n项和为；
(2)由(1)求，结合导数公式求，再求，根据极限运算法则及性质求.
【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，
设数列的公差为，因为，，
所以，所以，
所以，
故，
所以
（2）由(1) ，所以，，
，
当或时，，当时，，
所以当或时，，当时，，
所以当或时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，，当时，.
4．（23-24高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求的值；
(3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据题意可得出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）可得，利用裂项相消法即可求出；
（3）根据等比数列的定义即可证明，再求出通项公式即可.
【详解】（1）∵点在直线上，为直线l与y轴的交点，
，，
∵等差数列的公差为1（），
，.
（2）由（1）可得，，
，
，
，
.
（3）证明：时，，
，
∴数列为等比数列，首项为，公比为2，
，∴．
5．已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，，，其中为常数，为非零常数．
(1)令，证明数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)当时，求．
【答案】(1)证明见解析.
(2)当时，；当时，.
(3)
【分析】（1）由数学归纳法可得，再根据等比数列的定义证明即可；
（2）先求出等比数列的通项公式，再利用等比数列前项和和累加法求解即可；
（3）利用时，直接求解即可.
【详解】（1）由得，
所以，
假设当时成立，
则当时仍成立，
所以，
由题设条件可得当时，，
所以数列是以为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
因为，，
所以当时，，即，，
当时，上式仍成立，故当时，；
当时，，即，，
当时，上式仍成立，故当时，.
（3）因为当时，，
所以.
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）
1．（23-24高二上·上海松江·期末）如图所示，设正三角形边长为是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和，求 .
【答案】．
【分析】第一个中点三角形的边长为，对应的内切圆半径，从而求得，再根据相似的性质可得，依次类推，从而根据无穷小数列即可求解.
【详解】记第一个中点三角形为正三角形△，则△边长为，
内切圆半径为，
所以，
因为△与△相似，并且相似比是，
则面积的比是，所以，
因为正△与正△的面积的比也是，所以，
……
所以．
故答案为：.
2．（23-24高二上·上海徐汇）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则 .
【答案】
【分析】先分析出递推式，再求出的通项，最后算出极限即可.
【详解】由第二步得；由第三步得，
依此类推，所以，
①若，则，此时；
②若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
所以.
综上，.
故答案为：
3．（22-23高二上·上海·期中）定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有（为常数,且）,它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 ．
【答案】/-0.5
【分析】先根据求解数列的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出,代入得出的表达式,最后即可得出上渐近值．
【详解】解:当时,,
当时,,
得到,
根据累乘法:;满足n=1情况，
故而数列是首项为0,公差为的等差数列,
,
,
,
,
,
.
故答案为:
4．（23-24高一下·上海浦东新）如图，在边长为1的正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此类推可得正三角形、…、正三角形，记，则 ．
【答案】
【分析】先判断出构成一个首项为，公比为的等比数列，再求和，求极限.
【详解】因为正三角形ABC的边长为1，所以.
在边长为1的正三角形ABC中，，，，
所以，由余弦定理得：
同理可求：.
所以，相似比为,所以.
同理可求：,……，.
所以构成一个首项为，公比为的等比数列，
所以.
故答案为：.
5．（23-24高二上·上海虹口）我们用表示内接内接于单位圆的正边形的边长，那么对于正边形的边长可通过图得到如下关系式.例如：当时，，，，，根据如上叙述以及极限的意义，计算 .
【答案】
【分析】分析得出为正边形的边长，利用极限的定义以及圆的周长的意义可求得结果.
【详解】，，，，可得，
即为正边形的边长，
由极限的定义可知，为正边形的周长，
当时，正边形与圆重合，正边形的周长为圆的周长，
即，
因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列极限的计算，分析出为正边形的周长，并结合极限的意义求解是解本题的关键，同时在解本题时，要注意到当时，正边形与圆重合这一性质来求解.
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）先计算比四局结束比赛的概率，再根据条件概率计算即可；
（2）先根据题意得出，结合错位相减法计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3，
若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜，
所以比四局结束比赛的概率为：；
其中甲赢得比赛的概率为，
故所求概率.
（2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设，
当时，，此时
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
…，
.
所以的期望
所以，
，
两式相减，得，
因为当时，，
所以，则，
即的数学期望是.
【点睛】关键点睛：本题第二问解决的关键在于分析得比赛局数对应的概率的特征，进而利用错位相减法计算期望，由此得解.
7．（23-24高二·全国·课后作业）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远．(参数数据：，)
(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度；
综上，当趋向于无穷大时，.
8．（2024高三·上海·专题练习）如图所示，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．

（1）求数列的通项公式；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】观察前两个图形，在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为,探寻
每个图形的面积，寻找规律，猜想，然后用完全归纳法进行证明.
（2）对数列求极限可得.
【详解】解（1），
，
．
猜测
．
证明 时，等式显然成立．
假设时，有．则当时，由于第次操作后，在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故
综上，由数学归纳法知成立．
（2）．
【点睛】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤:
利用数学归纳法可以探索与正整数有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性．
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