2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题08数列求和(奇偶项讨论求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题08数列求和(奇偶项讨论求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共42页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3078" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3078 \h 1
\l "_Tc4017" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4017 \h 2
\l "_Tc21644" 题型一：求的前项和 PAGEREF _Tc21644 \h 2
\l "_Tc281" 题型二：求的前项和 PAGEREF _Tc281 \h 4
\l "_Tc2564" 题型三：通项含有的类型；例如： PAGEREF _Tc2564 \h 6
\l "_Tc956" 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 PAGEREF _Tc956 \h 7
\l "_Tc22682" 三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 PAGEREF _Tc22682 \h 9
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求的前项和
1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列.
(1)求的通项：
(2)若，，求的前项和.
2．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2024·江西上饶·一模）设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项和．
4．（23-24高三上·河北·期末）在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求
5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
题型二：求的前项和
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2023·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
5．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，.
(1)记，写出、，并求数列的通项公式；
(2)求的前项和.
题型三：通项含有的类型；例如：
1．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且．
(1)求：
(2)若，记，求的值．
2．（23-24高三上·山西晋城·期末）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知数列，满足，，.
(1)证明：为等差数列.
(2)设数列的前项和为，求.
4．（2024·贵州安顺·模拟预测）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2024·山东·模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
1．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前100项和.
2．（2024·吉林长春·一模）已知各项均为正数的数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求．
3．（2023·江苏苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前n项和为，，等比数列的公比为3，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令求数列的前7项和．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.
7．（23-24高三上·辽宁·期末）在等比数列中
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
9．（2024高三·全国·专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
10．（2024·广东汕头·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
11．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3078" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3078 \h 1
\l "_Tc4017" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4017 \h 2
\l "_Tc21644" 题型一：求的前项和 PAGEREF _Tc21644 \h 2
\l "_Tc281" 题型二：求的前项和 PAGEREF _Tc281 \h 7
\l "_Tc2564" 题型三：通项含有的类型；例如： PAGEREF _Tc2564 \h 13
\l "_Tc956" 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 PAGEREF _Tc956 \h 17
\l "_Tc22682" 三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 PAGEREF _Tc22682 \h 21
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求的前项和
1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列.
(1)求的通项：
(2)若，，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，先验证不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，从而得到通项公式；
（2）根据题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，然后结合数列求和的公式，代入计算即可得到结果．
【详解】（1）由题意，若，
由首项，可知，，
此时，不符合题意，故，
则由，
可得
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由（1），可得，
故数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
．
2．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)（或）
【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，又，
解得，从而，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
3．（2024·江西上饶·一模）设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项和．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】（1）利用，得，两式作差，整理得是等差数列即可求解；
（2）利用裂项相消和分组求和求解.
【详解】（1）由已知得：，
当时，，．
当时，得
．
，
数列是以2为首项2为公差的等差数列
（）
（2）由已知得：
．

．
4．（23-24高三上·河北·期末）在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）当时，，当时，得到，从而得到从第2项起成等比数列，即可得到答案.
（2）根据（1）得到，当为大于1的奇数时，，当为偶数时，.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.
【详解】（1）
当时，，则.
当时，由，
得，
则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，
.
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
，
则，
则.
5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；
（2）采用分组求和的方式计算即可.
【详解】（1）①②
①-②整理得
数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知， ，
故
.
题型二：求的前项和
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意可得，可知等比数列，结合等比数列通项公式可得，可知是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
（2）由（1）可得，分类讨论的奇偶性，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，则，
且，可知，可得，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，
且，可知是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）可知，
可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
当为偶数，；
当为奇数，；
综上所述：.
2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
3．（2023·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）先求出再对分奇偶两种情况讨论得解；
（2）先求出时，的前项和；再讨论当时，且为奇数时，当时，且为偶数时，的前项和，即得解.
【详解】（1）根据题意可知，
所以
当为奇数时，，即，
所以当为偶数时，；
当为偶数时，，即，
所以当为奇数时，.
综上，,.
（2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得，
当为偶数时，若，即，解得，
所以，当时，，
所以.
当时，且为奇数时，
当时，且为偶数时，
.
综上，
5．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，.
(1)记，写出、，并求数列的通项公式；
(2)求的前项和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用数列的递推公式以及可写出、的值，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）对分偶数和奇数两种情况讨论，在为偶数时，设，计算出的表达式，结合等差数列的求和公式可求得的表达式；在为奇数时，设，由可求得的表达式.综合可得出的表达式.
【详解】（1）解：因为数列满足，，
所以，，，
，即，
所以，数列是公差为，首项为的等差数列，
因此，.
（2）当为偶数时，设，则，，
所以，，
此时，
；
当为奇数时，设，则，
则
.
综上所述，.
题型三：通项含有的类型；例如：
1．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且．
(1)求：
(2)若，记，求的值．
【答案】(1)
(2)30
【分析】（1）直接根据等差数列及其前项和的基本量的计算得首项，由此即可得解.
（2）由题意得，由分组求和法即可得解.
【详解】（1）因为公差为3的等差数列的前项和为，且，
所以，解得，
所以.
（2）由题意，
所以.
2．（23-24高三上·山西晋城·期末）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，以取代构造等式，两式作差得递推关系，再变形可证明数列是等差数列，进而求出通项；
（2）分奇偶讨论，利用并项求和法求解前n项和.
【详解】（1）由题意得①，且，
当时，，
解得或(舍去)，
当时，②·
∴①②得，
∴，
∵，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴.
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
则当，且时，
，
n为偶数时，
，
n为奇数时，则为偶数，由上式可知，，
所以
.
所以，.
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知数列，满足，，.
(1)证明：为等差数列.
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明；
（2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案.
【详解】（1）由题意得，，
则，
所以是首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，则，
当为偶数时，
.
当为奇数时，为偶数，
则.
综上，.
4．（2024·贵州安顺·模拟预测）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可；
（2）先由（1）得，再分类讨论为奇数与为偶数两种情况，利用并项求和法即可得解.
【详解】（1）因为在等比数列中，，设其公比为，
所以，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
所以数列的前项和，
当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以.
5．（2024·山东·模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，，成等差数列，得，时得；时求得，可知是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得，进而求得；
（2）由（1）知，分是奇数、偶数可得.
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①－②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，
故；
（2）由（1）知，
当是奇数时，
，
当是偶数时，
，
综上.
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
1．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前100项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得的值，即可求解；
（2）由（1）得，分别求得，，和时，的取值，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得或（舍去），
所以，
即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
当，时，，所以；
当，时，，所以；
当，时，，所以；
当，时，，所以；
所以.
2．（2024·吉林长春·一模）已知各项均为正数的数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；
（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前项和公式即可.
【详解】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2），
当时，，当时，，当时，，
当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，
则
3．（2023·江苏苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；
（2）根据数列的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，;
(2) .
【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得；
（2）根据，讨论n的奇偶性，分类求解，利用并项求和法，可得答案.
【详解】（1）由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当为偶数时，
当为奇数时，
,
所以 .
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前n项和为，，等比数列的公比为3，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令求数列的前7项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先求，即可求数列的通项公式，再利用公式，即可求数列的通项公式，利用数列，，即可求数列的项公式；
（2）根据（1）的结果，即可求.
【详解】（1）当时，，即，由，
得，又等比数列的公比为3，
所以；
由，①，当时，②，
①②，，因为，
所以，即，
即数列是常数列，即，
得，
当时，，
当时，成立，
所以；
（2），
，
，
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求解即可；
（2）利用分组求和即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
也满足，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以.
3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.
（2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
则，由，得，解得，而，
所以.
（2）由是公差为的等差数列，设，
又，
于是对任意恒成立，
即对任意恒成立，
则，又，解得，从而，，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以.
4．（2023·广东·二模）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列以及等比求和公式，结合分组求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并项求和求解.
【详解】（1）设的公差为，则
解得
所以.
（2）（方法一）
.
（方法二）当为偶数时，
当为奇数时，
.
综上，
5．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）根据特殊角余弦值的特点，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，整理得，又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则
（2）当时，
当时，，
当时，，
当时，，
则
6．（2024·浙江·二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得，即可求解通项，
（2）先利用并项求和法求得为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知,，...，
由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.
（2）由得，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
故.
7．（23-24高三上·辽宁·期末）在等比数列中
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；
（2）根据题意可得：，利用并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
∵，则，解得或（舍去），
∴的通项公式；
（2）由（1）可得：，
若为奇数，可得，则有：
当为奇数时，则；
当为偶数时，则；
综上所述：.
8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
（2）因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
9．（2024高三·全国·专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，结合等比数列定义等差数列通项公式，列方程求，由此可得的通项公式；
（2）证明，讨论的奇偶，利用分组求和法求.
【详解】（1）设数列的公差为，则，
又，所以
因为，，成等比数列，
所以，
化简得，又，
所以，
所以；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即.
10．（2024·广东汕头·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
(2)设，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简递推关系式可得为等差数列，据此可得通项公式，由等比数列的性质化简后求出首项与公比可得通项公式；
（2）利用分组求和，再分为偶数，奇数求和即可.
【详解】（1）由可知，
则
化简可得：
，即，
数列是以2为公差的等差数列，
，
由可知，
，
又由为递增的等比数列，且，即，
解得，.
（2）依题意可知，
因此
,
当为偶数时，原式，
当为奇数时，原式，
综上，.