贵州省遵义市2025届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学试卷(含答案)

这是一份贵州省遵义市2025届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,,则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
2．若奇函数是定义在R上的增函数,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.
3．已知集合,,若集合且,则C的子集的个数为( )
A.8B.16C.32D.64
4．如图所示的“大方图”称为赵爽弦图,它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图,记载于赵爽“负薪余日,聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b斜边为c（a、b、c均为正数）.则,”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时,出于好奇,想用软钢丝制作此图,他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用）,请你给他算一算,他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为( )
A.9B.18C.27D.36
5．设,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数,则下列选项正确的是( )
A.的图象恒过点B.的图象必与x轴有两个不同的交点
C.的最小值可能为-2D.的最小值可能为-1
7．若,则的值为( )
A.B.C.D.
8．在矩形中,,,E为的中点,将和分别沿,折起,使点B与点C重合,记为点P,若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,,函数,,下列选项正确的是( )
A.方程无实数解
B.方程有且仅有两个解
C.方程有且仅有三个解
D.方程有且仅有四个解
10．数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,又称黄金分割该数列,从第三项开始,各项等于其前相邻两项之和,即,则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知函数,则下列选项正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象为中心对称图形
C.函数的图象关于直线对称
D.函数的值域为
三、填空题
12．,关于x的一元二次不等式恒成立,则实数a的取值范围是__________.
13．在多项式的展开式中,的系数为32,则_____________.
四、双空题
14．定义在R上的偶函数满足,则______________;__________________.
五、解答题
15．已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：,.
(1)求和;
(2)求数列的前n项和.
16．记的内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,且.
(1)求B;
(2)若,求的周长的取值范围.
17．已知4台车床加工的同一种零件共计1000件,其中第一台加工200件,次品率为5%;第二台加工250件,次品率为6%;第三台加工250件,次品率为8%;第四台加工300件,次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件.
(1)求取到的零件是次品的概率;
(2)若取到的零件是次品,求它是第i（其中）台车床加工的零件的概率.
18．如图,现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱,所得截面是一个椭圆C,在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2,.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设为椭圆C上任意一点,l为椭圆C在点P处的切线.设椭圆C的两个焦点分别为,,它们到切线l的距离分别为,,试判断是否为定值？若是,求其定值;若不是,说明理由.
19．已知函数(,,,).
(1)当,时,求函数的单调区间;
(2)当,时,求函数的最小值;
(3)当,时,函数的极小值是关于n的函数,记为,设.若,求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：对A,,,则,故A正确;
对B,,故B错误;
对C,显然,故C错误;
对D,,则,故D错误.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题函数是定义域为R的奇函数,且在定义域R上单调递增.
对于A,定义域为,故A错误;
对于B,函数定义域为R,因为函数和是定义在R上的增函数,
故函数是定义在R上的增函数,
又,故函数为奇函数,故B正确;
对于C,函数定义域为R,,
故函数为偶函数,故C错误;
对于D,因为,故函数在定义域R上不是增函数,故D错误.
故选：B.
3．答案：C
解析：由条件可知,,,,,,,
所以集合,集合C的子集的个数为个.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题可知,,,
则,即,所以,当且仅当时,等号成立
又“赵爽弦图”的面积为,
所以当时,“赵爽弦图”的最小面积为18.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,所以,
又因为函数在上递增,所以,即,
因为函数在上递增,
所以,
则,即,即,
综上可得：.
故选：D.
6．答案：D
解析：A.当时,,
所以的图象不恒过点,故A错误;
B.当时,,
此时的图象必与x轴只有1个交点,故B错误;
CD.,
则的最小值为,
所以函数的最小值不可能是-2,可能为-1,故C错误,D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题
,
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：依题意,,,,,平面,
则平面,
,,即有,则,
由此可将三棱锥补成以,,为相邻三条棱的长方体,
若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,则该长方体的各顶点亦在球O的球面上,
设球O的半径为R,则该长方体的体对角线长为,,
所以球O的表面积.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A,由题可知,故等价于,
即,故方程有实数解,故A错误;
对于B,方程即,,
故,解得,,故B正确;
对于C,方程即,,
故解方程,,得或,故C正确;
对于D,因为,方程等价于,
故由函数,得方程的解为,故D错误.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：由已知,A正确;
,B正确;
,C错;
,D正确,
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：选项A,若最小正周期,首先,
时,,
,时,,,
所以,设,
,在上是增函数,
又时,,时,,因此,
所以不可能有,即T不可能是的周期,
又,
所以是函数的一个周期,综上最小正周期是,A正确;
选项B,
由此讨论知是函数的最小值,
时,,
在时是递增函数,在上递增,在上递减,
又是以为周期的周期函数,
在上递增,在上递减,
所以在上递增,在上递减,其中,
假设的图象有对称中心,则上也有一个对称中心,而在上函数图象的最高点是,最低点是,因此对称中心应为,
而,
,因此点不可能是图象的对称中心,
所以的图象没有对称中心,B错;
选项C,,
所以函数的图象关于直线对称,C正确;
选项D,由选项A知,的周期是,而在上的值域是,
所以函数的值域为,D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意可知,,得.
故答案为：
13．答案：-17
解析：,
中含的系数为,中含的系数为,所以中的系数为15,
所以,得
故答案为：-17.
14．答案：3;6075
解析：因为,令可得,,所以;
函数为偶函数,则,
因为,所以,则,
又,所以,则有,
因此可得,故函数是周期为4的函数;
在中,令可得,
又,所以,
令可得,又,所以,
则,
所以
.
故答案为：3;6075.
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为d,则,
又,所以,即,所以;
设等比数列的公差为d,则,,
由,得,所以
(2).
,
.
两式相减可得：
,
.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,所以,即,
因为,所以,即;
(2)因为,,由正弦定理得,
则,,又,
则,且,
所以
因为,所以,则,
所以,
综上可知,三角形的周长的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)分别为,,,.
解析：(1)由题意所求概率为;
(2)由题意第一台车床加工的零件中次品数约为,第二台车床加工的零件中次品数约为,
第三台车床加工的零件中次品数约为,第四台车床加工的零件中次品数约为,
,
所以取到的零件是次品,它是第一台车床加工的零件的概率为,它是第二台车床加工的零件的概率为,
它是第三台车床加工的零件的概率为,它是第四台车床加工的零件的概率为.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1)由题可得,且椭圆C的焦点在x轴上,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由(1),,
当直线l斜率不存在时,则由(1)得或,
当时,,,此时,
同理可得时,;
当直线l斜率存在时,设,
联立,
则,
整理得①,
又即,故,
将其代入上式①可得即,故,
所以,整理得,
所以点,到l的距离的乘积为
.
综上,是定值且.
19．答案：(1)递减区间是,递增区间是;
(2);
(3)5.
解析：(1)函数的定义域为,求导得,
由,得,由,得,
函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数的递减区间是,递增区间是.
(2)函数的定义域为,求导得,
由,得,令此方程的解,则,
当时,递减,当时,,递增,
因此函数的最小值,
由,得,则,
于是,当且仅当,即时取等号,
由,得,于是,
所以函数的最小值为.
(3)函数的定义域为,求导得,
由,得,令该方程的解,则,
当时,,递减,当时,,递增,
因此的最小值,
由,得,则,
于是,
当且仅当,即时取等号,
由,得,从而,,
,
则有,
即,
所以的n的最大值为5.