2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题十三（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题十三（含解析），共18页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
空间向量和立体几何高考复习专题十三
知识点一 多面体与球体内切外接问题,由导数求函数的最值（不含参）,棱锥表面积的有关计算
典例1、在高为、底面半径为的圆锥内作一内接圆柱体．则圆柱体的半径为多大时：
（1）圆柱体的体积最大？ （2）圆柱体的表面积最大？
随堂练习：如图，圆形纸片的圆心为，半径为5，该纸片上的正方形的中心为，，，，
为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱锥，设．
（1）试把四棱锥的体积表示为的函数； （2）多大时，四棱锥的体积最大？
典例2、如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.
随堂练习：如图，已知是以的直角三角形铁皮，米，分别是边上不与端点重合的动点，且.现将铁皮沿折起至的位置，使得平面平面，连接，如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器，其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面，其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成（假设制作过程中不浪费材料，且铁皮厚度忽略不计）．
（1）若为边的中点，求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米？
（2）求这个封闭容器的最大体积．

典例3、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．
随堂练习：双层的温室大棚具有很好的保温效果，某农业合作公司欲制作这样的大棚用于蔬菜的种植，
如图（1）所示，工人师傅在地面上画出一个圆，然后用钢丝网编织出一个网状空心球的上部分钢结
构，使得地面上的圆为空心球的一个截面圆，同时在其外部用塑料薄膜覆盖起来作外部保温.如图（1）
所示，用塑料薄膜覆盖起来的内部保温层钢结构为一个圆柱面，制作方法如下：工人师傅将圆柱
面的下底面圆置于球O在地面上的截面圆内（可与截面圆重合），把下底面的圆心固定在球
O在地面上截面圆的圆心位置上，圆柱面的上底面圆的圆周固定在球的内壁上，已知球O的半
径为3．如图（2），取圆柱的轴截面为矩形PQRS，．
（1）设为圆上任意一点，RO与底面所成的角为，将圆柱体积V表示为的函数并判断的范围； （2）求V的最大值．

知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点．
（1）证明：面ABCD；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
典例5、四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形，
且， 点 在棱 上.
（1）当 是棱 的中点时， 求证: 平面;
（2）当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.
随堂练习：在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、 都是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
典例6、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线BD，AE上异于端点的动点，且．
（1）求证：直线平面CDE；
（2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值．
随堂练习：如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
（1）证明：平面ABD；
（2）若，求二面角的余弦值．
空间向量和立体几何高考复习专题十三答案
典例1、答案】：（1）；（2）.
解:（1）当圆柱的底面半径为时，设圆柱体的高为，
可得，所以，
圆柱的体积 ，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以圆柱的最大体积为.
（2）由（1）可得：圆柱体的表面积
则，
①当时，，所以在上是增函数，所以函数 没有最大值；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值．
随堂练习：答案： （1）；（2）．
解：（1）连接，交于点，

，， 四棱锥的高，
∴．
（2）， 令，，
， 令得， 当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
∴当且仅当时，有最大值，．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）6
解：（1）过点作交与点，
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面
又且 平面
（2）过点作交与点,连接
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面 到平面的距离相等
且，平面

又， 令
则，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，当且仅当时取得最大值.
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，
所以.
设与所成角为，则，则，
即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6.
随堂练习：答案：（1） （2）
解:（1）由于，且，则，即，
又平面平面，且平面平面，所以平面，
易得，又为边的中点，
则米，米，
于是得米，米，米，
取的中点为，则，且米，
则（平方米），（平方米），
（平方米），
故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米．
（2）依题意，设米，则米，且．
由，知与相似，则，得米．
由（1）知，底面，
则四棱锥的体积（），
则，
易知在上单调递增，在上单调递减，则立方米．
故这个封闭容器的最大体积是立方米．
典例3、答案： （1）；（2）；
解:（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于 减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为.
（2）设底面正六边形的边长为1， 如图所示，连接AC，SH，则，

设点在上底面ABCDEF的射影为O，则,
令，则， 菱形SAHC的面积，
的面积为，
令正六棱柱的侧面积为定值时， 蜂房的表面积为，
，令得到，
经研究函数的单调性， 得到函数在处取得极小值，
此时， 在中，令，
由余弦定理得, 顶点的曲率为，
其余弦值为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，，，
所以，
即，
（2）当P、Q点落在球面被地面所截得的圆周上时，RO与地面所成的角取得最小值为，
此时，所以，所以；
因为，所以令， ，
所以，因为，
所以，
所以在时单调递减，
所以时，．
典例4、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，
因为，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD，
因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，
，又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD，
因为，平面, 所以平面平面ABCD，
因为平面ABCD，所以平面ABCD．

（2）设，
由，得，且，
由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由得，取，得，
连接BD，因为，，，所以平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：由题意知，又，所以H为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
又平面, 平面, 所以平面；
易知，又平面, 平面, 所以平面
又平面， 所以平面平面．
又平面，所以平面．

（2）连接，由题意知平面，故以F为坐标原点，
以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

由题意知， 所以．
设平面的法向量为．
则即，得，令，则，所以．
设平面的法向量为，
则，即，得，令，则，所以．
故．
所以平面与平面所成角的余弦值．
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点， 的中点为， ，且，
∴四边形是平行四边形， ，平面， 平面；

（2）等腰梯形中，，
作于，则中，
由余弦定理得，，，即，
底面，则两两垂直
如图，以为原点，为轴、轴、轴为正方向建立空间直角坐标系，
则， ，
设平面法向量，则
∴平面的一个法向量，
设，则，
，
，∴当时，取得最大值， ，
设平面法向量，则
∴平面的一个法向量，
设平面法向量，则，
∴平面的一个法向量，
， ∴二面角的大小为.

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接、， 在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，
则，且，
故、、均为等边三角形，
所以，在底面中，，则，
平面，平面，所以，平面，
因为、、都是圆柱的母线，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
（2）连接，因为是边长为的等边三角形，则，
因为，由余弦定理可得，
，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，所以，，
由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）过N作与ED交于点，过M作与CD交于点，连接．

由已知条件，可知矩形ABCD与矩形ADEF全等．
∵，，
∴ ∴
又，则四边形为平行四边形， 所以．
∵平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面，
又平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD．
以A为原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NG⊥AD，设
可得，， ∴，
可知当时，MN长最小值为． 此时，，
又，， ∴，，
设平面AMN的法向量为， 由可得，
令，可得
设平面MND的法向量为， 由可得，
令，可得 ∴，
∴ 则二面角A-MN-D的正弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：过D作，垂足为G，
∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，
∴平面ABC，∵平面ABC，∴，
∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点，
∴，又，DE，平面DEF，
∴平面DEF，∵平面DEF，∴，
∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．

（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴，
由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴， ∴，．
以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，
则，，，，，
由得，令，则，
显然，平面ABC的法向量，． 二面角的余弦值．