浙江省宁波市余姚市余姚市实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市余姚市余姚市实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
2．已知x，y，z满足，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．如图A、B、C在⊙O上，连接OA、OB、OC，若∠BOC＝3∠AOB，劣弧AC的度数是120°，．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．设，则代数式的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
5．点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心，若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
6．如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A'B'C'D'，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是（ ）．
A．B．
C．D．
8．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y)是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：
①4a﹣2b＋c>0；
②若，则；
③若，则；
④若方程a(x＋1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根和，且，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m：n：p等于（ ）
A．B．a：b：c
C．D．
10．如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
11．如图，是某商店售卖的花架，其中，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为______cm．
12．把一根长度为6的铁丝截成3段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为______．
13．因为，，所以；由此猜想、推理知：当α为锐角时有，则：______．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE＝3，．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为______．
15．图1是一款由若干条吊链等间距悬挂而成的挂帘，吊链顶端悬挂在水平横梁上，自然下垂时底部呈圆弧形，其中最长吊链为95cm，最短吊链为45cm，挂满后呈轴对称分布．图2是其示意图，其中最长两条吊链AC与BD之间的距离AB为114cm．若吊链数量为偶数，记对称轴右侧最短挂链的底端为点F，当C，F，B三点在同一条直线上时，吊链的数量为______．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接EA，EB满足，点P是BC边上一动点，连结PD，PE．则长度的最小值为______
三、(共8小题，计66分)
17．(6分)计算：
18．(6分)2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，余姚某中学九(1)班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
(1)九(1)班共有______名学生；并补全图①折线统计图；
(2)请阅读图②，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若小余和小姚分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
19．(8分)如图，在5×5的正三角形的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求画图和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．
(1)在图1中，画出△ABC的BC边上的中线AD．
(2)在图2中，直接写出的值．
20．(8分)现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．(1)如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使，∠C＝90°．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大?最大面积是多少?
(2)爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗?请说明理由．
21．(8分)如图，内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
(1)求证：∠CAD＝∠CBA．
(2)求EF：FD的值．
22．(8分)已知二次函数(a>0)的图象经过点．和．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)若函数图象与x轴无交点，求的取值范围．
23．(10分)定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点(非切点)的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则BC边上的伴随圆的半径为______．
(2)如图②，△ABC中∠ACB＝90°，点E在边AB上，AE＝2BE，D为AC的中点，且∠CED＝90°．
①求证：△CED的外接圆是△ABC的AC边上的伴随圆；
②的值为______
24．(12分)如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点，．直线x＝1交BC于点D，点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PD．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，连接PC，求△PCD面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，过点P作PE⊥BC于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
数学参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．30 12． 13． 14．6或 15．20 16．
三、解答题(本大题有7题，共66分)
17．(6分)解：原式．
18．(6分)
(1)50； 补全折线统计图如解图①
(2)D所对应扇形圆心角的大小为，
∴D所对应的扇形圆心角的大小为108°；
(3)画树状图如解图②，
共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，
∴小林和小峰选择相同主题的概率为，
19．(8分)(每小题4分)(1)如图，线段AD就是所求作的中线；
(2)如图：在5×5的正三角形的网格中，
∵，∴∠AEC＝∠FDC，
∵四边形CMGN为菱形，且边长为5，
∴CG⊥MN，∴CG⊥FD，，
∴，
∵△GFD为等边三角形，且边长为2，同理：，
∴在Rt△CDH中，∠CHD＝90°，DH＝1，，
∴，即，∴CD＝7，
∴．
20(每小题4分，共8分)．
解：(1)过点A作AH⊥BC于点H．
∵∠BAD＝135°，，∠C＝90°，∴∠ABC＝45°，CD⊥AD．
设CD＝x，则AH＝BH＝CD＝x，
∴AD＝HC＝15﹣2x，
设储料场的面积为S，则，
∴．
∴当x＝5时，储料场的面积最大，最大面积为．此时AD＝15﹣2×5＝5．
故当AD＝DC＝5米，BC＝10米时，所建储料场的面积最大，最大面积为．
(2)小聪建议合理．理由如下：
由题意得，∴．
∴．
∵，∴小聪的建议是合理的．
21．(每小题4分，共8分)
(1)证明：∵OC为半径，E为AD中点．
∴OC⊥AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠CAD；
(2)解：在中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∴，
∴，则，
则，
∴，则，
则，∴，
则，
∴EF：FD＝9：7．
22．(每小题4分，共8分)
解：(1)∵二次函数的图象经过点和，
∴，②﹣①得，3a＋3b＝3，即a＋b＝1，∴b＝1﹣a；
(2)∵函数图象与x轴无交点，
∴，即，∴，
解得，∴，
∴，
∴当时，的最小值为，当a＝1时，的最大值为1，
∴．
23．(10分)(第1小题3分，第2小题①4分，②3分，)
(1)解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴，
∵BC是圆的切线，∠BCA＝90°，∴AC为圆的直径．
∴AC边上的伴随圆的半径为2．故答案为：2．
(2)证明：①证明：如图连接OE、OB，
∵△CED为直角三角形，
∴△CED的外接圆圆心O在CD中点上，
设⊙O的半径为r，则DC＝2r，OA＝3r，∴，
∵EA＝2BE，∴，∴，
∴，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵OE＝OD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠4，
在△BCO和△BEO中，
∴△BCO≌△BEO，∴∠BEO＝∠BCO＝90°，∴AB是⊙O的切线．
∴△CED的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆；
②如图设圆O的半径为r，
∵在中，OA＝3r，OE＝r，∴，
∴，∵在中，AC＝4r，，
∴
∵在中，OC＝r，，∴，
∴，
∵∠EDC＝∠1，∴，∴，
∴，
∴．故答案为：．
24．(每小题4分，共12分)
解：∵，∴OC＝2，
∵在中，，∴OB＝4，即，
将点，代入抛物线的解析式得：，解得，
则此抛物线的解析式为；
(2)解：设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b，
将点，代入得：解得
则直线BC的函数解析式为，
当x＝1时，，即，
则，
要使△PCD的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，
设与直线BC平行的直线l'的函数解析式为，则，CF＝﹣2﹣d，
如图，过点C作于点E，则CE为直线BC与直线间的距离，
在中，OB＝4，，则，
∵，∴∠CFE＝∠OCB，∴，
在中，，
解得，
∴d越小，CE越大，当直线要与抛物线有交点，
即当直线与有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点P，
联立整理得：，
则其根的判别式，解得d＝﹣4，
则此时，
△PCD面积的最大值为，
将d＝﹣4代入得：，
当x＝2时，，
∴△PCD面积取得最大值时，点P的坐标为(2，﹣3)；
(3)解：对于，
当y＝0时，，解得x＝﹣1，x＝4，∴，
∵，，∴，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
设点P的坐标为，
∵PE⊥BC，直线BC的函数解析式为，
∴设直线PE的函数解析式为y＝﹣2x＋n，
将代入得：，
解得，
则直线PE的函数解析式为，
联立解得，
即，
∴，
，
由题意，分以下两种情况：
①当时，则，即，
解得或，
则此时或；
②当时，
则，即，解得，则此时；
综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为或或．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
A
C
A
C
B
C
D