江西省赣州市会昌县2024-2025学年九上数学开学联考试题【含答案】

这是一份江西省赣州市会昌县2024-2025学年九上数学开学联考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，，垂直平分线段于点，的平分线交于点，连接，则等于（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）八年级（6）班一同学感冒发烧住院洽疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（ ）
A．列表法B．图象法
C．解析式法D．以上三种方法均可
4、（4分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF＝AC，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDF＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是( )
A．①②③④B．①②③C．①④D．②③
5、（4分）把中根号外的(a-1)移入根号内，结果是( )
A．B．C．D．
6、（4分）在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
7、（4分）在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若反比例函数y=（2k-1）的图象在二、四象限，则k=________．
10、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
11、（4分）若矩形的边长分别为2和4，则它的对角线长是__．
12、（4分）将直线y=2x-3向上平移5个单位可得______直线．
13、（4分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为_______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．分析甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象，解决下列问题：
（1）求出甲、乙两人所行驶的路程S甲、S乙与t之间的关系式；（2）甲行驶10分钟后，甲、乙两人相距多少千米？
15、（8分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
16、（8分）（1）计算
（2）下面是小刚解分式方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题.
解方程
解：方程两边乘，得第一步
解得 第二步
检验：当时，.
所以，原分式方程的解是 第三步
小刚的解法从第 步开始出现错误，原分式方程正确的解应是 .
17、（10分）把下列各式因式分解：
（1）（x2﹣9）+3x（x﹣3）
（2）3ax2+6axy+3ay2
18、（10分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发xmin后行走的路程为ym．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小亮行走的总路程是______m，他途中休息了______min，休息后继续行走的速度为______m/min；
（2）当时，求y与x的函数关系式；
（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分解因式：________．
20、（4分）已知，则的值等于__________．
21、（4分）某干果店本周售出若干千克三种核桃，销售单价、销售量如图所示，则可估算出该店本周销售核桃的平均单价是_______元．
22、（4分）如图，已知点是双曲线在第一象限上的一动点，连接，以为一边作等腰直角三角形（），点在第四象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．
23、（4分）函数自变量的取值范围是______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2,过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长.
25、（10分）在RtΔABC中，∠BAC=90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE=OA，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC=∠OCB，且BD=OC，连接DE.
(1)如图一，当点O在RtΔABC内部时.
①按题意补全图形；
②猜想DE与BC的数量关系，并证明.
(2)若AB=AC(如图二)，且∠OCB=30°，∠OBC=15°，求∠AED的大小.

26、（12分）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由直角三角形的性质可得∠ABD的度数，然后由BE平分可求得∠EBC的度数，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得答案.
【详解】
解：∵垂直平分线段，
∴∠ADB=90°，EB=EC，
∵，
∴∠ABD=50°，
∵BE是的平分线，
∴∠EBC=∠ABD=25°，
∵EB=EC，∴∠C=∠EBC=25°.
故选A.
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的概念、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，知识点虽多但难度不大，属于基础题型.
2、D
【解析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
3、B
【解析】
列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
【详解】
解：护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故选：B．
本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
4、A
【解析】
连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．
【详解】
连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE1+CF1=EF1，
∴AE1+BF1=EF1．
∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF，
∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=S△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选A．
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键是证明△ADE≌△CDF．
5、C
【解析】
先根据二次根式有意义的条件求出a-1＜0，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案．
【详解】
∵要是根式有意义，必须-≥0，
∴a-1＜0，
∴（a-1）=-，
故选C．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当m≥0时，m=，当m≤0时，m=-．
6、D
【解析】
根据矩形和平行四边形的判定推出即可得答案．
【详解】
A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故选D．
本题考查的是矩形的判定定理，矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形.牢记这些定理是解题关键.
7、A
【解析】
解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；
将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；
将木框倾斜放置形成D选项影子；
根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．
故选A．
8、A
【解析】
先将常数项移到右侧，然后在方程两边同时加上一次项一半的平方，左侧配方即可.
【详解】
，
x2-4x=9，
x2-4x+4=9+4，
，
故选A.
本题考查了配方法，正确掌握配方法的步骤以及注意事项是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据反比例函数的定义，次数为-1次，再根据图象在二、四象限，2k-1＜1，求解即可．
【详解】
解：根据题意，3k2-2k-1=-1，2k-1＜1，
解得k=1或k=且k＜，
∴k=1．
故答案为1．
本题利用反比例函数的定义和反比例函数图象的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
10、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11、2.
【解析】
根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝4，由勾股定理得：AC＝,
∴
故答案为：
本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，题目比较好，难度适中．
12、y=1x+1
【解析】
根据平移前后两直线解析式中k值相等，b的值上加下减即可得出结论．
【详解】
解：原直线的k=1，b=-3；向上平移5个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=-3+5=1．
∴新直线的解析式为y=1x+1．
故答案是：y=1x+1．
此题考查的是求直线平移后的解析式，掌握直线的平移规律是解决此题的关键．
13、3
【解析】
先根据分式方程的求解去掉分式方程的分母，再把增根x=5代入即可求出a的值.
【详解】
解
去分母得2-(x-a)=7(x-5)
把x=5代入得2-（5-a）=0，解得a=3
故填：3.
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程增根的定义.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）S甲=0.5t；S乙=t﹣6；（2）甲行驶10分钟后，甲、乙两人相距1千米；
【解析】
分析：设出函数解析式，用待定系数法求解即可.
代入中的函数解析式即可求出.
详解：（1）由图象设甲的解析式为：S甲=kt，代入点，解得：k=0.5；
所以甲的解析式为：S甲=0.5t；
同理可设乙的解析式为：S乙=mt+b，代入点
可得：
解得： ，
所以乙的解析式为S乙
（2）当t=10时，S甲=0.5×10=5（千米），S乙=10-6=4（千米），
5-4=1（千米），
答：甲行驶10分钟后，甲、乙两人相距1千米．
点睛：考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.
15、.
【解析】
先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简公式，把x的值代入进行计算即可
【详解】
原式＝
＝
＝ ，
当x＝ +1时，原式＝．
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
16、（1）；（2）一 ,
【解析】
（1）利用完全平方公式和单项式除以单项式的法则进行计算，然后合并同类项化简；（2）按照解分式方程的步骤进行判断发现小刚在第一步去分母时，常数项2漏乘，然后进行正确的解方程计算，从而求解即可.
【详解】
解：（1）
=
=
=
=
（2）小刚的解法从第一步开始出现错误
解方程
解：方程两边乘，得
解得
检验：当时，.
所以，原分式方程的解是
故答案为：一 ,
本题考查整式的混合运算及解分式方程，掌握完全平方公式的结构及解分式方程的步骤，正确计算是本题的解题关键.
17、 (1) （x﹣3）（4x+3）；(1) 3a（x+y）1．
【解析】
（1）原式利用平方差公式变形，再提取公因式即可；
（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）原式＝（x+3）（x﹣3）+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（4x+3）；
（1）原式＝3a（x1+1xy+y1）＝3a（x+y）1．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18、（1）3600，20，1；（2）y=1x-2；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100m．
【解析】
（1）观察函数图象，可找出小亮行走的总路程及途中休息的时间，再利用速度=路程÷时间可求出小亮休息后继续行走的速度；
（2）观察图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出：当50≤x≤80时，y与x的函数关系式；
（3）利用小颖到达终点所用的时间=乘坐缆车的总路程÷缆车的平均速度可求出小颖到达终点所用的时间，用其加上50可求出小颖到达终点时小亮所用时间，再利用小亮离缆车终点的路程=小亮休息后继续行走的速度×（到达终点的时间-小颖到达终点时小亮所用时间）即可求出结论．
【详解】
解：（1）观察函数图象，可知：小亮行走的总路程是3600m，
小亮途中休息的时间为：50-30=20（min），
休息后继续行走的速度为：（3600-1950）÷（80-50）=1（m/min）．
故答案为：3600；20；1．
（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
由图象知：点（50，1950）与点（80，3600）在直线上，
∴，解得：，
∴当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=1x-2．
（3）小颖到达终点所用的时间为12÷180=10（分钟），
∴小颖到达终点时小亮已用时50+10=60（分钟），
∴小亮离缆车终点的路程为1×（80-60）=1100（m）．
答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100m．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出各数据；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）根据数量关系，列式计算．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、 (a+1)(a-1)
【解析】
根据平方差公式分解即可.
【详解】
(a+1)(a-1).
故答案为：(a+1)(a-1).
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
20、3
【解析】
将已知的两式相乘即可得出答案.
【详解】
解：∵
∴
∴的值等于3.
本题主要考查了因式分解的解法：提公因式法.
21、1
【解析】
根据题意，结合图形可知，所求单价即为加权平均数，利用加权平均数的定义计算解答即可
【详解】
由加权平均数得，24×25%+20×1%+10×60%=6+3+6=1，
故答案为：1．
考查了加权平均数的定义，熟记加权平均数的定义，掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
22、．
【解析】
设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD⊥轴于 D，BE⊥轴于点E，由全等三角形的判定定理可知△AOD△OBE（ASA），故可得出，即可求得的值．
【详解】
解：设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD⊥轴于 D，BE⊥轴于点E，如图：
∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠BOE，
同理可得∠AOD=∠OBE，
在△AOD和△OBE中， ，
∴△AOD△OBE（ASA），
∵点B在第四象限，
∴，即，
解得，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为．
本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．
23、
【解析】
根据分式与二次根式的性质即可求解.
【详解】
依题意得x-9＞0，
解得
故填：.
此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①菱形，见解析；②.
【解析】
（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】
(1)证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形；
(2)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=6，AD=8，
∴BD=10.
∴OB= BD=5.
假设DF=BF=x，∴AF=AD−DF=8−x.
∴在直角△ABF中,AB+AF=BF,即6+(8−x) =x，
解得x= ，
即BF=，
∴FO=，
∴FG=2FO=
此题考查四边形综合题，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
25、 (1)①补全图形，如图一，见解析；②猜想DE=BC. 证明见解析；(2) ∠AED=30°或15°.
【解析】
（1）①根据要求画出图形即可解决问题．
②结论：DE=BC．连接OD交BC于F，连接AF．证明AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，即可解决问题．
（2）分两种情形：如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．证明△BMA≌△BMO（AAS），推出AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，推出∠AMO=120°，即可解决问题．如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．分别求解即可．
【详解】
(1)①补全图形，如图一，
②猜想DE=BC.
如图，连接OD交BC于点F，连接AF
在△BDF和△COF中，
∴△BDF≌ΔCOF
∴DF=OF，BF=CF
∴F分别为BC和DO的中点
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF=BC.
∵OA=AE，F为BC的中点，
∴AF=ED.
∴DE=BC
（2）如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．
由（1）可知：AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，
∵AB=AC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴MB=MC，∵∠OCB=30°，∠OBC=15°，
∴∠MBC=∠MCB=30°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠MBO=∠MBA=15°，
∵∠BAM=∠BOM=45°，BM=BM，
∴△BMA≌△BMO（AAS），
∴AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，
∴∠AMO=120°，
∴∠MAO=∠MOA=30°，
∴∠AED=∠MAO=30°．
如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．
由∠BOM=∠BAM=45°，可知A，B，M，O四点共圆，
∴∠MAO=∠MBO=30°-15°=15°，
∵DE∥AM，
∴∠AED=∠MAO=15°，
综上所述，满足条件的∠AED的值为15°或30°．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
26、（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
【解析】
（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】
（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，
解得，，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130），
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即：购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分