江苏省镇江市丹徒区2025届九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份江苏省镇江市丹徒区2025届九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）．
A．（1，2）B．（，）C．（2，）D．（1，）
2、（4分）对于函数 y＝3-x，下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的增大而增大B．它的图象必经过点（-1,3）
C．它的图象不经过第三象限D．当 x＞1 时，y＜0.
3、（4分）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≤3D．x≥﹣3
4、（4分）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5、（4分）体育课上，某班三名同学分别进行了6次短跑训练，要判断哪一名同学的短跑成绩比较稳定，通常需要比较三名同学短跑成绩的 （ ）
A．平均数B．频数C．方差D．中位数
6、（4分）下列分式中，是最简分式的是
A．B．C．D．
7、（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≤﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3
8、（4分）直角三角形的面积为 ，斜边上的中线为 ，则这个三角形周长为 （ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上(不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是_____.
10、（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
11、（4分）如图,已知在△ABC中,AB=AC．以AB为直径作半圆O,交BC于点D． 若∠BAC=40°,则AD弧的度数是___度.
12、（4分）如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC，则△ABC的面积为_____．
13、（4分）已知一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），直接写出方程的解_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
15、（8分）2019年是我们伟大祖国建国70周年，各种欢庆用品在网上热销．某网店销售甲、乙两种纪念商品，甲种商品每件进价150元，可获利润40元；乙种商品每件进价100元，可获利润30元．由于这两种商品特别畅销，网店老板计划再购进两种商品共100件，其中乙种商品不超过36件．
（1）若购进这100件商品的费用不得超过13700元，求共有几种进货方案？
（2）在（1）的条件下，该网店在7•1建党节当天对甲种商品以每件优惠m（0＜m＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种商品价格不变，那么该网店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
16、（8分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=kx 与一次函数 y=−x+b 的图象相交于点 A(4，3).过点 P(2，0)作 x 轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点 B，交一次函数的图象于点 C， 连接 OC.
(1)求这两个函数解析式；
(2)求△OBC 的面积；
(3)在 x 轴上是否存在点 M，使△AOM 为等腰三角形? 若存在，直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由.
17、（10分）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；
(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：(1+i)×(3-4i)；
（3）计算：i+i2+i3+…+i1．
18、（10分）如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形中，分别是边和的中点，，则的长为__________．
20、（4分）函数中自变量的取值范围是_________________．
21、（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
22、（4分）已知直线y＝kx＋b和直线y＝－3x平行，且过点（0，－3），则此直线与x轴的交点坐标为________.
23、（4分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC， AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=10cm，则△DEB 的周长是_____cm．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．
（1）若m＝4，n＝3，直接写出点C与点D的坐标；
（2）点C在直线y＝kx（k＞1且k为常数）上运动．
①如图1，若k＝2，求直线OD的解析式；
②如图2，连接AC、BD交于点E，连接OE，若OE＝2OA，求k的值．
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上.若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点、的“涵矩形”.下图为点，的“涵矩形”的示意图.
（1）点的坐标为.
①若点的横坐标为，点与点重合，则点、的“涵矩形”的周长为__________.
②若点，的“涵矩形”的周长为，点的坐标为，则点，，中，能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是_________.
（2）四边形是点、的“涵矩形”，点在的内部，且它是正方形.
①当正方形的周长为，点的横坐标为时，求点的坐标.
②当正方形的对角线长度为时，连结.直接写出线段的取值范围.
26、（12分）如图，一次函数的图象与轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在轴上，点D在直线上，且AO=OB，反比例函数（）经过点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是轴上一动点，当的周长最小时，求出P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2），
所以2=-k，
解得：k=-2，
所以y=-2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上，
所以这个图象必经过点（1，-2）．
故选D．
2、C
【解析】
根据函数的增减性判断A；
将（-1,3）的横坐标代入函数解析式，求得y，即可判断B；
根据函数图像与系数的关系判断C；
根据函数图像与x轴的交点可判断D.
【详解】
函数y＝3-x，k=-1＜0，b=3＞0，
所以函数经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，
故A错误，C正确；
当x=-1时，y=4，所以图像不经过（-1,3），故B错误；
当y=0时，x=3，又因为y随x的增大而减小，
所以当x＞3时，y＜0，故D错误.
故答案为C.
本题考查一次函数的图像与性质，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合是解决函数类问题的关键.
3、B
【解析】
解：由题意得，1-x＞0，
解得x＜1．
故选：B．
本题考查函数自变量取值范围．
4、B
【解析】
试题分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总的个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．数据3，a，1，5的众数为1，即1次数最多；即a=1．则其平均数为（3+1+1+5）÷1=1．故选B．
考点：1.算术平均数；2.众数．
5、C
【解析】
根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生6次短跑训练成绩的方差．
【详解】
由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生6次短跑训练成绩的方差．
故选C．
本题考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义，属于基础题，比较简单．
6、D
【解析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
A、＝，错误；
B、＝，错误；
C、＝，错误；
D、是最简分式，正确．
故选D．
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
7、D
【解析】
根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：x+3≠0，
解得：x≠3，
故选D．
8、D
【解析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。
【详解】
解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，
∵斜边上的中线为d，
∴斜边长为2d，由勾股定理得，x2+y2=4d2，
∵直角三角形的面积为S，
∴,则2xy=4S，即（x+y）2=4d2+4S，
∴
∴这个三角形周长为： ，故选：D.
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2.1.
【解析】
连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接CP．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴AB=，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，
即×1×3=×5•CP，
解得CP=2.1．
∴EF的最小值为2.1．
故答案为2.1．
10、3或6
【解析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论．
【详解】
解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t，
∴t=3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=3t-12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴3t-12=t，
∴t=6秒，
故答案为：3或6
此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
11、140
【解析】
首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得AD弧的度数．
【详解】
连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°，BD=DC，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=140°
∴AD弧的度数为140°；故答案为140.
本题考查等腰三角形的性质和圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和圆周角定理.
12、
【解析】
【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案.．
【详解】设点P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a，），B点坐标为（a，﹣）
∴S△ABC=S△ABO =S△APO+S△OPB==，
故答案为.
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13、．
【解析】
根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答即可．
解：∵一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），
∴方程组的解为．
故答案为为．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A（﹣2，0），点B（0，1），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+1．
【解析】
(1)由于ー次函数y=2x+1的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=1,从而求出点D的坐标;
（2）利用待定系数法即可求解
【详解】
解：（1）∵当y＝0时，2x+1＝0，x＝﹣2．
∴点A（﹣2，0）．
∵当x＝0时，y＝1．
∴点B（0，1）．
过D作DH⊥x轴于H点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，
∴∠ABO＝∠DAH．
∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝1，
∴OH＝AH﹣AO＝2．
∴点D（2，﹣2）．
（2）设直线BD的表达式为y＝kx+b．
∴
解得 ，
∴直线BD的表达式为y＝﹣3x+1．
此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键
15、（1）11（2）当时，甲服装74件，乙服装26件；当m=10时，哪一种都可以；当时，甲服装64件，乙服装36件.
【解析】
（1）设甲种纪念商品购进x件，则乙种纪念商品购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过13700元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对m的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【详解】
（1）设购进甲商品x件，则乙商品购进（100－x），则
，解得：64≤x≤74，
所以，有11种进货方案．
（2）设总利润为W元，则有，
即.
当，，W随x增大而增大，
∴当x=74时，W有最大值，即此时购进甲种服装74件，乙种服装26件；
当m=10时，按哪一种方案进货都可以；
当时，，W随x增大而减小，
∴x=64时，W有最大值，即此时购进甲种服装64件，乙种服装36件.
本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键．
16、（1）y=x; y=−x+7;（2）;（3）存在，M（8,0），M（,0），M（,0），M（-,0）.
【解析】
（1）分别把A(4，3)代入y=kx，y=−x+b，用待定系数法即可求解；
（2）先求出点B和点C的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分AO=AM时，AM=OM时，AO=OM时三种情况求解即可.
【详解】
（1）把A(4，3)代入y=kx，得
4k=3,
∴k=,
∴y=x;
把A(4，3)代入y=−x+b，得
-4+b=3,
∴b=7,
∴y=−x+7;
（2）当x=2时，
y=x=，
y=−x+7=5，
∴B（2，），C（2,5），
∴BC=5-=，
∴△OBC 的面积=OP·BC=×2×=;
（3）解，得
,
∴A（4,3）.
设M（x，0）
当AO=AM时，
，
解之得
x1=8，x2=0（舍去），
∴M（8,0）；
当MA=OM时，
，
解之得
x =，
∴M（,0）；
当AO=OM时，
，
解之得
x1=，x2=，
∴M（,0）或M（-,0）.
∴M（8,0），M（,0），M（,0），M（-,0）时，△AOM 为等腰三角形.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，图形与坐标，勾股定理及分类讨论的数学思想.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出点B和点C的坐标是解（2）的关键，分三种情况讨论是解（3）的关键.
17、（2）-i，2；（2）7-i；（3）i-2．
【解析】
试题分析：（2）把代入求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求出即可；
（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
试题解析：(2)
故答案为−i，2；
(2)
(3)
18、（1）证明见试题解析；（2）DF=DG．
【解析】
（1）利用院内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，然后利用等角对等边得到结论．
（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠B+∠AED=180°，
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC；
（2）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠A+∠BDE=180°，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠A=∠EDC，
∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，
∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，
又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，
∵∠EDC旋转得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，
∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，
∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），
∴DF=DG．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、6
【解析】
连接AC，根据三角形中位线性质可知AC=2EF，最后根据矩形对角线相等进一步求解即可.
【详解】
如图所示，连接AC，
∵E、F分别为AD、CD的中点，EF=3，
∴AC=2EF=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=6，
故答案为：6.
本题主要考查了三角形中位线性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
20、且
【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】
根据分式和二次根式有意义的条件可得
解得且
故答案为：且．
本题考查了函数自变量取值范围的问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
21、
【解析】
由方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可.
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=16+4a＞0，
解得，.
故答案为：a>-4.
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
22、 (−1,0).
【解析】
先根据直线平行的问题得到k=-3，再把（0，-3）代入y=-3x+b求出b，从而得到直线解析式，然后计算函数值为0所对应的自变量的值即可得到直线与x轴的交点坐标．
【详解】
∵直线y=kx+b和直线y=−3x平行，
∴k=−3，
把(0,−3)代入y=−3x+b得b=−3，
∴直线解析式为y=−3x−3，
当y=0时，−3x−3=0，解得x=−1，
∴直线y=−3x−3与x轴的交点坐标为(−1,0).
故答案为(−1,0).
此题考查两条直线相交或平行问题，把已知点代入解析式是解题关键
23、10
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得：CD=DE，△ACD和△AED全等，则AE=AC，根据AC=BC可知AE=BC，则△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10cm.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）C（3，7），D（7，4）；（2）①y＝x；②.
【解析】
(1)根据题意把m=4，n=3代入解答即可；
(2)①利用待定系数法确定函数关系式即可；
②根据B、D坐标表示出E点坐标，由勾股定理可得到m、n之间的关系式，用m表示出C点坐标，根据函数关系式解答即可．
【详解】
解：(1)∵OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，
∴C(n，m+n)，D(m+n，m)，
把m＝4，n＝3代入可得：
C(3，7)，D(7，4)，
(2)①设C(a，2a)，由题意可得：，
解得：m=n=a，
∴D(2a，a)，
∴直线OD的解析式为：y＝x，
②由B(0，n)，D(m+n，m)，
可得：E(，)，OE＝OA，
∴()2+()2=8m2，
可得：(m+n)2＝16m2，
∴m+n＝4m，n＝3n，
∴C(3m，4m)，
∴直线OC的解析式为：y＝x，
可得：k＝．
故答案为(1)C(3，7)，D(7，4)；(2)①y＝x；②.
此题是考查一次函数的综合题，关键是根据待定系数法确定函数关系式和勾股定理解答．
25、（1）①． ②；（2）①点的坐标为或．②．
【解析】
(1)①利用A、B的坐标求出直线AB的解析式，再将P点横坐标代入，计算即可得点、的“新矩形”的周长；②由直线AB的解析式判定是否经过E、F、G三点，发现只经过了F（1，2），能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是F（1，2）
（2）①①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由的横坐标为，可得出点P的坐标，再由正方形的周长可得出点Q的坐标，进而可得出点Q的坐标；②由正方形的对角线长度为，可得正方形的边长为1，由直线AB的解析式y=-x+6可知M点的运动轨迹是直线y=-x+5，由点在的内部，x的取值范围是0