江苏省徐州市区部分2024年九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份江苏省徐州市区部分2024年九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3、（4分）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
4、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A． B． C． D．且
5、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积为8，则平移距离为 （ ）
A．2B．4C．8D．16
6、（4分）对一组数据：2，1，3，2，3分析错误的是（ ）
A．平均数是2.2B．方差是4C．众数是3和2D．中位数是2
7、（4分）如图，在矩形中，点的坐标为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．为了解昆明市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B．数据2，1，0，3，4的平均数是3
C．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数是3
D．在连续5次数学周考测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交边AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是_______.
10、（4分）设甲组数：，，，的方差为，乙组数是：，，，的方差为，则与的大小关系是_______（选择“>”、“- 5的解集是_________.
21、（4分）八年级（1）班四个绿化小组植树的棵数如下：8，8，10， x ．已知这组数据的众数和 平均数相等，那么这组数据的方差是_____．
22、（4分）已知y=++9，则（xy-64）2的平方根为______．
23、（4分）当a＝－3时， ＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）分解因式：① ②
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
25、（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ．
（2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长．
26、（12分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线OAB表示与x之间的函数关系．
（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；
（2）求、与x的函数表达式；
（3）在图中画出与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形．
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，
∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△ENL（ASA）．
∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变而改变．故选B．
2、D
【解析】
设勾为x，股为y，根据面积求出xy＝2，根据勾股定理求出x2+y2＝5，根据完全平方公式求出x﹣y即可．
【详解】
设勾为x，股为y（x＜y），
∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，
∴4×xy+5＝9，
∴xy＝2，
∵x2+y2＝5，
∴y﹣x＝＝＝＝1，
（x﹣y）2＝1，
故选：D．
本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此题的关键．
3、C
【解析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．
4、D
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。故选D。
5、A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC•BE=8，即4BE=8，
∴BE=1，
即平移距离等于1．
故选A．
考点：平移的性质．
6、B
【解析】
根据平均数、方差、众数、中位数的定义以及计算公式分别进行解答即可．
【详解】
解：A、这组数据的平均数是：（2＋1＋3＋2＋3）÷5＝2.2，故正确；
B、这组数据的方差是：[（2−2.2）2＋（1−2.2）2＋（3−2.2）2＋（2−2.2）2＋（3−2.2）2]＝0.56，故错误；
C、3和2都出现了2次，出现的次数最多，则众数是3和2，故正确；
D、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，中位数是2，故正确．
故选：B．
此题主要考查了平均数、方差、众数、中位数的含义和求法，熟练掌握定义和求法是解题的关键，是一道基础题
7、C
【解析】
连接OB,根过B作BM⊥x轴于M，据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，4），
∴OM=1，BM=4，由勾股定理得：OB=，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=，
故选：C．
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
8、C
【解析】
根据抽样调查、平均数、众数的定义及方差的意义解答可得．
【详解】
解：A、为了解昆明市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，此选项错误；
B、数据2，1，0，3，4的平均数是2，此选项错误；
C、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数是3，此选项正确；
D、在连续5次数学周考测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
故选C．
此题考查了抽样调查、平均数、众数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】
解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=1°．
故答案为1°
10、
【解析】
根据方差的意义进行判断.
【详解】
因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以>．
故答案为：>．
此题考查方差，解题关键在于掌握方差的意义.
11、1
【解析】
分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
详解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=1，
∴a+1=3，解得：a=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
12、y=3x-1
【解析】
∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．
故答案为y=3x﹣1．
13、或或1
【解析】
如图所示：
①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=1时，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=1；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或1；
故答案为或或1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）或；(3),理由见解析。
【解析】
（1）联立两函数即可求出C点坐标;
（2）根据题意写出M,D,E的坐标，再根据即可列式求解；
（3）过作，交的延长线于，设交于点，得到得为等腰直角三角形，再证明，故可得，即可求解.
【详解】
（1）联立，解得
∴
（2）
依题意得
解得或
(3),理由如下：
过作，交的延长线于，设交于点
易得为等腰直角三角形，
易得
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线、熟知一次函数的图像及全等三角形的判定与性质.
15、（1）典籍类图书的标价为1元；（2）折叠进去的宽度为2cm
【解析】
（1）设典籍类图书的标价为元，根据购买两种图书的数量差是10本，列出方程并解答；
（2）矩形面积＝（2宽+1+2折叠进去的宽度）×（长+2折叠进去的宽度）．
【详解】
（1）设典籍类图书的标价为元，
由题意，得﹣10＝．
解得x＝1．
经检验：x＝1是原分式方程的解，且符合题意．
答：典籍类图书的标价为1元；
（2）设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，
化简得y2+26y﹣56＝0，
∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），
答：折叠进去的宽度为2cm．
考查了分式方程和一元二次方程的应用，（2）题结合了矩形面积的求法考查了图形的折叠问题，能够得到折叠进去的宽度和矩形纸的长、宽的关系，是解决问题的关键．
16、（1）（20﹣2x），（12﹣2x）；（2）1
【解析】
（1）观察图形根据长宽的变化量用含x的代数式表示即可.
（2）根据（1）中代数式列出方程求解，去掉不合题意的取值.
【详解】
（1）长为（20﹣2x），宽为（12﹣2x）
（2）由题意（20﹣2x）（12﹣2x）=180
240-64x+4x2=180
4x2-64x+60=0
x2-16x+15=0
（x-15）(x-1)=0
解得x1=15(不合题意)，x2=1
∴x的取值只能是1，即x=1.
结合图形观察长宽的变化量，根据一元二次方程求解即可.
17、 (1) ①见解析；②AG＝CE，AG⊥CE，理由见解析；（2）CE的长为或
【解析】
（1）①根据题意补全图形即可；
②先判断出∠GDA=∠EDC，进而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，延长CE分别交AG、AD于点F、H，判断出∠AFH=∠HDC=90°即可得出结论；
（2）分两种情况，①当点G在线段BD的延长线上时，②当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意，补全图形如图1：
②AG=CE，AG⊥CE．
理由：
在正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中，
，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．
如图2,延长CE分别交AG、AD于点F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°，
∴AG⊥CE．
（2）①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=
∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，
同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=
②当点G在线段BD上时，如图4所示，
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=
∴MD=MG=2，
∴AM=AD-MD=2
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，
同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=．
故CE的长为或．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出△AGD≌△CED，解（2）的关键是构造直角三角形，是一道中考常考题．
18、（1）AB+CD＝2EF；（2）4EF2＝AB2+CD2+AB•CD，证明详见解析；（3）.
【解析】
(1)根据三角形的中位线和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．首先证明△AFB≌△KFC，推出AB＝CK，再利用勾股定理，三角形的中位线定理即可解决问题；
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．想办法求出点E、O的坐标即可解决问题；
【详解】
解：(1)结论：AB+CD＝2EF，
理由：如图1中，
∵点E、点F分别为AD、BC的中点，
∴BF＝FC，AE＝ED，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GCF，
∵∠BFA＝∠CFG，
∴△ABF≌△GCF（ASA），
∴AB＝CG，AF＝FG，
∵AE＝ED，AF＝FG，
∴2EF＝DG＝DC+CG＝DC+AB；
∴AB+CD＝2EF；
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．
∵∠ABF＝∠KCF，BF＝FC，∠AFB＝∠CFK，
∴△AFB≌△KFC，
∴AB＝CK，AF＝FK，
∵∠BCD＝150°，∠BCK＝90°，
∴∠DCK＝120°，
∴∠DCH＝60°，
∴CH＝CD，DH＝CD，
在Rt△DKH中，DK2＝DH2+KH2＝(CD)2+(AB+CD)2＝AB2+CD2+AB•CD，
∵AE＝ED，AF＝FK，
∴EF＝DK，
∴4EF2＝DK2，
∴4EF2＝AB2+CD2+AB•CD．
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．
由题意：A(1，1)，B(0，0)，D(4，2)，
∵AE＝ED，
∴E(，)，
∵AC的解析式为y＝-x+，BD的解析式为y＝x，
由，解得，
∴O(，)，
∴OE＝＝.
故答案为(1)AB+CD＝2EF；(2)4EF2＝AB2+CD2+AB•CD，证明详见解析；(3).
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平面直角坐标系、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会建立平面直角坐标系解决问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＜﹣1
【解析】
观察函数图象得到当x＜-1时，直线y=k1x+b1在直线y=k1x+b1的上方，于是可得到不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集．
【详解】
当x＜-1时，k1x+b1＞k1x+b1，
所以不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集为x＜-1．
故答案为x＜-1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20、x>-1．
【解析】
先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
移项得，2x>-5+3，
合并同类项得，2x>-2，
化系数为1得，x>-1．
故答案为：x>-1．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
21、1.
【解析】
根据题意先确定x的值，再根据方差公式进行计算即可.
【详解】
解：当x=10时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．
当众数为8时，根据题意得，
解得x=6，
则这组数据的方差是：.
故答案为1．
本题考查了数据的收集和处理，主要考查了众数、平均数和方差的知识，解题时需要理解题意，分类讨论．
22、±1
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得，再解可得x的值，进而可得y的值，然后可得（xy-64）2的平方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x=7，
则y=9，
（xy-64）2=1，
1的平方根为±1，
故答案为：±1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
23、1
【解析】
把a＝－1代入二次根式进行化简即可求解．
【详解】
解：当a＝－1时，=1．
故答案为：1．
本题考查二次根式的计算，理解算术平方根的意义是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)① ；②；（2）
【解析】
（1）①直接提取公因式3m，再利用完全平方公式分解因式得出答案；②先去括号合并同类项，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）分别解不等式进而得出不等式组的解；
【详解】
解：（1）①原式
②原式
（2）解不等式①，得：
解不等式②，得：
则不等式组的解集为
此题考查提公因式法与公式法分解因式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则.
25、（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）2
【解析】
（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．
（2）结论不变．证明过程同（1）．
（3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题．
【详解】
（1）BP=CE，CE⊥AD．
理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等边三角形
∴AP=AE，∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS）
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD．
故答案为BP=CE，CE⊥AD．
（2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．
∵△APE是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°．
∴△BAP≌△CAE．
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°．
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．
（3）如图，连接BE，
由（2）可知CE⊥AD，BP= CE．
在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC．
∵BC=AB=2，BE=2，
在Rt△BCE中，CE==1．
∴BP=CE=1．
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD．
∴OA=AB=，BO==3，
∴OP=BP－BO=5，
在Rt△AOP中，AP==2，
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题．
26、（1）1；（2），；（3）＜x＜．
【解析】
试题分析：（1）根据单价=总价÷数量，即可解决问题．
（2）y1函数表达式=50+单价×数量，y2与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决．
（3）画出函数图象后y1在y2下面即可解决问题．
试题解析：（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克10÷10=1元．
故答案为1．
（2）由题意，；
（3）函数y1的图象如图所示，由解得：，所以点F坐标（，125），由，解得：，所以点E坐标（，650）．
由图象可知甲采摘园所需总费用较少时＜x＜．
考点：分段函数；函数最值问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人