北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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2024年10月12日
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，或
【答案】D
【解析】
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解
【详解】命题“，”的否定是，或.
故选:D
3. 若全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】图中阴影部分表示的意思为：，根据集合运算关系即可得解.
【详解】根据图中阴影部分表示的意思为：，，
所以
故选：B
【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的意思.
4. 对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a>b，c≠0，则ac>bcB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若ac2>bc2，则a>bD. 若a>b，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.
【详解】若a>b，cbc,所以A错误；
若a>b，c=0则ac2=bc2,所以B错误；
若ac2>bc2，则c2>,a>b，所以C正确；
若满足a>b，但，所以D错误；
故选：C
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
5. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A. B. 或x>1
C. D. 或x>12
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案.
【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根，
所以，即，所以不等式可化为，
因为，所以，解得或．
故选：D.
6. 若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
7. 若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（ ）
A. B. C. D. 大小关系不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据是一元二次方程的根，把代入原方程得到进行整理，两边同乘以，再移项，两边同加上，就得到了.
【详解】是一元二次方程的根，
则有，
等式两边同乘有，
，
等式两边同加有，
即，
故选：A.
8. 在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大（ ）
A. B. C. D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值.
【详解】原不等式等价于，
即对任意x恒成立.
，
所以，解得，
故选：D
9. 已知非空集合，满足以下两个条件：
①，；
②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为．
A. 10B. 12C. 4D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到集合中元素个数可以为：1,2,4,5，根据这四种情况分别讨论，即可得出结果；
【详解】由题意，易知集合中不可能有3个元素；因此集合中元素个数可以为：1,2,4,5；
①当集合中只有1个元素时，集合中有5个元素，
则且，此时，；
②当集合中和2个元素时，集合中有4个元素，则且，
此时集合中必有一个元素为4，集合中必有一个元素为2，
所以，或，或，或，，共4种可能；
③当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，此情况与情况②相同，只需，互换，共4种可能；
④当集合中有5个元素时，集合中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需，互换，共1种可能．
综上，有序集合对的个数为10．
故选A
【点睛】本题主要考查由集合并集与交集的结果求集合中的元素的问题，熟记交集与并集的概念即可，属于常考题型.
10. 刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11. 方程组的解集用列举法表示为______________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对的形式表示元素）.
【详解】因为，所以，所以列举法表示解集为：.
故答案为.
【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：.
12. 已知为正实数，且满足，则的最大值是______．
【答案】100
【解析】
【分析】利用基本不等式的变形，得到，即可求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最大值为.
故答案为：
13. 已知全集，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，由元素的确定性列方程即可求解.
【详解】因为，，，
所以，，
则，解得：，
故答案为：.
14. 设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ____ ，= _____ ；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用根与系数关系列方程组，由此求得的值.
【详解】由于是方程的两实根，所以①；
由于是关于的方程的两实根，所以②.
由①②解得.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.
15. 已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，然后根据条件即得.
【详解】因为，
所以，又，，
所以.
故答案为：.
16. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
【答案】
【解析】
【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.
【详解】设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17. 已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据题意得真或真，再依次分析真和真时的的取值范围，最后求并集即可得答案；方法二：若命题p，q均为假命题，求出的范围，再求补集即可.
【详解】方法一：当p是真命题时，；当q是真命题时，方程的判别式，解得．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，或，即．
方法二：若命题p，q均假命题，则m需满足解得．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，．
故答案为：.
18. 给定数集，对于任意，有且，则称集合为闭集合．则以下结论中，错误的命题是______．
①集合为闭集合
②集合为闭集合
③若集合为闭集合，则为闭集合
④若集合为闭集合，且，，则存在，使得
【答案】①③④
【解析】
【分析】由集合新定义，举反例可得①错误，由集合新定义可得②正确；设可得③错误；取则不存在可得④错误；
【详解】对于①，当时，，故①错误；
对于②，由集合可得集合表示为3的整数倍，所以均为3的整数倍，满足且，故②正确；
对于③，设，
则，但，故③错误；
对于④，取则不存在，故④错误；；
故答案为：①③④.
三、解答题（本大题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解不等式组
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用分式不等式的解法即可得解；
（2）分类讨论的取值情况，利用含参二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，即，
所以，解得，
则原不等式的解集为.
【小问2详解】
因为，所以，
当时，原不等式，解得；
当时，，原不等式，解得或；
当时，原不等式；
1）当，即时，解得；
2）当，即时，原不等式为，此时无解；
3）当，即时，解得；
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或x>1，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式解集为，
当时，原不等式的解集为.
20. 已知､是一元二次方程的两个实数根.
（1）若､均为正根，求实数k的取值范围；
（2）求使的值为整数的k的整数值；
（3）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见详解
【解析】
【分析】（1）由题意，利用判别式和韦达定理控制范围，列出不等式组即得解；
（2）利用韦达定理可得，结合为整数，且，即得解；
（3）利用韦达定理可得，求解可得，与矛盾，即得解
【小问1详解】
由题意，一元二次方程有两个正根､
故
解得：
【小问2详解】
由题意，
又当，即时
故
由于为整数，故只能取，又
故整数的值为
【小问3详解】
由题意，当，即时，有
解得：，与矛盾
故不存在实数k，使得成立