安徽省怀宁县第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

这是一份安徽省怀宁县第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：王茂才
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若全集，集合，则=（ ）
A．B．C．D．[0,3]
2．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A．B．C．D．3
4．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
5．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．命题：“”的否定是“”
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数则
10．已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，则数列是等差数列
11．已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.
13．已知函数，正数满足，则的最小值为__________．
14．已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
16．（15分）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．（15分）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
18．（17分）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
19．（17分）已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.
高三数学答题卷
考生须知
1、考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。
2、选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。
3、非选择题必须用 .5毫米黑色墨水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。
4、作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
5、保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。
考号______________ 姓名_______________
考生须知
考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。
选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。
非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。
作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。
二、填空题（每小题5分，共15分）
12______________________ 13________________________ 14_______________________
19题（12分）
20题（12分）
21题（12分）
15题（13分）
16题（15分）
17题（15分）
18题（17分）
19题（17分）
高三数学第二次月考试题
参考答案
1．B
【分析】先求出集合，，再结合集合的运算，即可求解．
【详解】由题意可知，，，
则，故,．
故选：B．
2．D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
3．C
【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.
【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有，
而对于等比数列而言，，
从而
.
故选：C.
4．D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
5．D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
6．B
【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故选：B.
7．B
【分析】令， ，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果.
【详解】令，则，
因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增，
所以，得到，
故选：B.
8．C
【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：记，则，故为奇函数，
不符合题意，故B错误；
C选项：记，则，
故为偶函数，
当时，，
此函数在上单调递增，在上单调递减，
且，故C正确；
D选项：记，则，
故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C.
9．ACD
【分析】利用二次函数求最值判断A，利用全称量词命题的否定是存在量词命题来判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据换元法求解析式可判断D.
【详解】对于选项A，由，得，，
则，，
所以当时，取到最小值，所以，故选项A正确；
对于选项B，“”的否定是“”，故选项B不正确；
对于选项C，函数的定义域为，则中的范围为，
即，所以，
由抽象函数的定义域可得，中的范围为，
故函数的定义域为；所以选项C正确；
对于选项D，令，则，，
由得，，
所以，，所以选项D正确.
故选：ACD.
10．CD
【分析】利用等比数列求和公式可判定A，利用累加法求通项可判定B，利用构造法结合等差数列、等比数列的定义可判定C、D.
【详解】对于A，，由，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，则A错误；
对于B，时，则，
利用累加法可知，显然符合，则B错误；
对于C，时，则，
显然，所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，则C正确；
对于D，时，，
即是以为首项和公差的等差数列，则D正确.
故选：CD
11．AC
【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D选项.
【详解】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题.
【详解】∵ ∴，由在区间上单调递增，
可得：在上恒成立，即在上恒成立，
当时，，
故答案为：
13．12
【分析】由函数奇偶性的判定得出为奇函数，有，进而得出，再根据基本不等式求解即可．
【详解】因为定义域为，又，
所以为奇函数，有，
又，所以，即，
又因为为正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：12．
14．
【分析】令，解方程，根据m的范围，结合图象讨论方程和的解的个数可得.
【详解】令，
则，
解，得，
当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解，
此时方程有3个不同的实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意；
当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：

【点睛】本题属于函数零点的综合性问题，根据函数零点个数求参数的问题，常用数形结合法.本题先要从整体结构分析，通过换元法解方程，再将方程的根的个数问题转化为图象交点个数问题，利用数形结合分类讨论可得.
15．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
17．(1)极小值为1，无极大值
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；
（2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案.
【详解】（1）时，，定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，，
的极小值为，无极大值.
（2）在区间上为减函数，
∴在区间上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，
，
18．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象经过，列方程，并判断极小值点，结合极小值为列方程，联立求解可得；
（2）设切点坐标，求切线方程，根据题意可得方程有三个不同实数解，然后构造函数，利用导数讨论其单调性和极值，即可列出关于m的不等式组，求解可得.
【详解】（1），
因为，且的图象经过，两点.
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，所以，
又因为，，所以，，
解方程组得，，，
所以.
（2）设切点为，则，
因为，所以，
所以切线方程为，
将代入上式，得.
因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解.
记，则导函数，
令，得或1.
列表：
所以的极大值为，的极小值为，
所以，解得.故的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
D
D
B
B
C
ACD
CD
AC
0
1
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗