2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲三角函数的图象与性质(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲三角函数的图象与性质(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了函数，若，则 ，已知函数；等内容，欢迎下载使用。

A．B．
C．D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．为的一个对称中心D．最小正周期为
10．（23-24高一下·湖北·开学考试）已知，则下列说法正确的有（ ）
A．图象对称中心为
B．的最小正周期为
C．的单调递增区间为
D．若，则
三、填空题
11．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数，若，则 ．
四、解答题
13．（23-24高一下·广西百色·阶段练习）已知函数的图象经过点，且关于直线对称．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调递减，求的最大值；
(3)当取最大值时，求函数在区间上的值域．
14．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数；
(1)确定函数的单调增区间；
(2)当函数取得最大值时，求自变量x的集合．
B能力提升
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍，向下平移1个单位长度，向左平移个单位长度，最后所有点的纵坐标不变横坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的取值范围为
4．（23-24高一上·北京东城·期末）函数，关于函数的零点情况有下列说法：
①当取某些值时，无零点； ②当取某些值时，恰有1个零点；
③当取某些值时，恰有2个不同的零点； ④当取某些值时，恰有3个不同的零点.
则正确说法的全部序号为 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
第05讲 三角函数的图象与性质 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案.
【详解】令，解得，
故函数的对称中心为，
故AB错误；
当时，，故对称中心为，D正确，
经检验，C不满足要求.
故选：D
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式化简所求函数，再利用余弦函数的奇偶性即可得解.
【详解】因为，显然是偶函数.
故选：B.
3．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数相邻极值点的距离为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意，根据函数极值点的定义可得，结合公式计算即可求解.
【详解】因为函数的相邻极值点之间的距离为，
所以，得，又，
所以.
故选：D
4．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.
【详解】依题意，，
由是偶函数，得，，
而，则.
故选：B
5．（2020·湖北·二模）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】由题意可知：
，
当时，则，所以
故选：B.
6．（23-24高三下·云南·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的图象变换求出，再利用整体法求解函数值域即可.
【详解】由题意得，
所以当时，，.
故选：C
7．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象直接求出，再利用图象过点，即可求出，即可解决问题.
【详解】因为一个图象对应的函数具有唯一性，故此处不妨设
由函数的图象可知，，又，得到，
又因为函数的图象经过，所以，得到，
所以，又，所以，
所以函数的解析式为，
故选：C．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简得，再利用三角函数的图象与性质及图象的变换法则可得，又由为偶函数，从而可求解.
【详解】由题意得，
由三角函数图象的变换法则可得，
由为偶函数，得，，得，，
又，所以当时，取得最小值，故B正确.
故选：B.
二、多选题
9．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．为的一个对称中心D．最小正周期为
【答案】BC
【分析】根据函数值的定义及诱导公式，再利用正切函数的性质即可求解.
【详解】对于A ，，故A错误；
对于B，由得，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，故B正确；
对于C，把代入中，得，
所以为的一个对称中心，故C正确；
对于D，函数的最小正周期为，故D错误.
故选：BC.
10．（23-24高一下·湖北·开学考试）已知，则下列说法正确的有（ ）
A．图象对称中心为
B．的最小正周期为
C．的单调递增区间为
D．若，则
【答案】BD
【分析】A选项，整体法求出函数的对称中心；B选项，根据求出答案；C选项，根据正切函数的性质得到无单调增区间；D选项，得到，结合图象求出不等式.
【详解】A选项，令，则，
即图象对称中心为；故A错误；
B选项，最小正周期为，故B正确；
C选项，根据正切函数的性质可知，只需求的单调递减区间，
显然无单调增区间，故C错误；
D选项，，即，
故，
解得，故D正确．
故选：BD
三、填空题
11．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果.
【详解】当时，，
，
当时，；当时，；
，的值域为.
故答案为：.
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数，若，则 ．
【答案】0
【分析】
根据函数解析式可得，结合题意分析求解即可.
【详解】因为，
可得，所以.
故答案为：0.
四、解答题
13．（23-24高一下·广西百色·阶段练习）已知函数的图象经过点，且关于直线对称．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调递减，求的最大值；
(3)当取最大值时，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用点代入求得，利用三角函数的对称性求得，从而得解；
（2）利用整体代入法与三角函数的单调性即可得解；
（3）由m的最大值可得的取值范围，利用三角函数的图象即可求得值域.
【详解】（1）因为的图象经过成，所以，又因为，所以
因为的图象关于直线对称，所以，解得，
又因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以在上单调递减，所以，故m的最大值为.
（3）m取最大值时，区间即，
的值域为.
14．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数；
(1)确定函数的单调增区间；
(2)当函数取得最大值时，求自变量x的集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；
（2）借助正弦型函数的性质计算即可得.
【详解】（1）
，
由，
∴的单调增区间为；
（2）当，即时，有最大值5．
B能力提升
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简得，再利用三角函数的图象与性质及图象的变换法则可得，又由为偶函数，从而可求解.
【详解】由题意得，
由三角函数图象的变换法则可得，
由为偶函数，得，，得，，
又，所以当时，取得最小值，故B正确.
故选：B.
2．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以，
由，即，得，
当时，，又，则，
因为在的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得，
故选：D
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍，向下平移1个单位长度，向左平移个单位长度，最后所有点的纵坐标不变横坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的取值范围为
【答案】
【分析】由题意易得在上的值域是在上值域的子集，再分析的最值判断值域的包含关系求解即可
【详解】由已知可知，
因为对任意，都存在，使得，
因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确.
故答案为：①②③
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
【答案】(1)不是，与是“自均值函数”
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】
（1）根据所给定义判断即可；
（2）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（3）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【详解】（1）对于函数定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
则，即，
因为，，不符合题意，所以，不是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
（2）函数，定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
又函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（3）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
则在值域包含，
当时又，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，单调递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.