江苏省常州市名校2024年九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】

这是一份江苏省常州市名校2024年九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝1．若∠ABD＝90°，则AD的长为( )
A．10B．13C．8D．11
2、（4分）已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．12
3、（4分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3D．0＜x＜3
4、（4分）某学习小组 8 名同学的地理成绩是 35、50、45、42、36、38、40、42（单位：分），这组数据 的平均数和众数分别为（ ）
A．41、42B．41、41C．36、42D．36、41
5、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外体育占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小彤的这三项成绩（百分制）分别为95分，90分，88分，则小彤这学期的体育成绩为（）
A．89分B．90分C．92分D．93分
6、（4分）y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（ ）
A．1B．﹣1C．0或﹣1D．1或﹣1
7、（4分）分式有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）一组数据：3、4、4、5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是( )
A．平均数B．众数C．中位数D．标准差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为__________．
10、（4分）如图，一同学在广场边的一水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为20m，树的顶端在水中的倒影距自己约5m远，该同学的身高为1.7m，则树高约为_____m．
11、（4分）已知直线与平行且经过点，则的表达式是__________．
12、（4分）如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点F为BC边上的一个动点,把△ABF沿AF折叠。当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为___.
13、（4分）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=1．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
15、（8分）已知：如图，在四边形中，过作交于点，过作交于，且.
求证：四边形是平行四边形.
16、（8分）如图，在中，，是上的中线，的垂直平分线交于点，连接并延长交于点，，垂足为.
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图，在中，，，是上的一点，且，若，请你直接写出的长.
17、（10分）计算：
（1）（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2×2﹣1
（2）（2a2+ab﹣2b2）（﹣ab）
18、（10分）计算：
（1）
（2）
（3）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD＝4，BC＝10，E、F分别是边AB、CD的中点，那么EF＝_____．
20、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
21、（4分）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则________.
22、（4分）如图，在矩形中，对角线，交于点，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______.
23、（4分）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在每个小正方形的边长都是的正方形网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．将绕点旋转得到（点、分别与点、对应），连接，．
（1）请直接在网格中补全图形；
（2）四边形的周长是________________（长度单位）
（3）直接写出四边形是何种特殊的四边形．
25、（10分）因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+y）2﹣14（x+y）+49
26、（12分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE∥BC，且CE=CD．
（1）求证：∠B=∠DEC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：在Rt△BCD中，因为BC=3，CD=1，∠C=90°，所以由勾股定理可得：BD=．
在Rt△ABD中，BA=12，BD=5，∠ABD=90°，由勾股定理可得：AD=．故选B
考点：勾股定理．
2、B
【解析】
因为是整数，且，则1n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1．
【详解】
∵且，且是整数，
∴是整数，即1n是完全平方数，
∴n的最小正整数值为1．
故选B．
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
3、A
【解析】
根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
由图可知，﹣3＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故选：A．
本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．
4、A
【解析】
根据众数和平均数的概念求解．
【详解】
这组数据中42出现的次数最多，
故众数为42，
平均数为： =41.
故选A.
此题考查众数，算术平均数，解题关键在于掌握其定义.
5、B
【解析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】
】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+88×50%=90（分）．
即小彤这学期的体育成绩为90分．
故选：B．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是题的关键，是一道常考题．
6、B
【解析】
由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.
7、C
【解析】
根据分式有意义的定义即可得出答案.
【详解】
∵分式有意义
∴x-2≠0，即x≠2
故答案选择C.
本题考查的是分式有意义，比较简单，分式有意义即分母不等于0.
8、D
【解析】
依据平均数、中位数、众数、标准差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准求解即可．
【详解】
原数据的3，4， 4，5的平均数为，
原数据的中位数为，
原数据的众数为4，
标准差为；
新数据3，4，4，4，5的平均数为，
新数据3，4，4，4，5的中位数为4，
新数据3，4，4，4，5的众数为4，
新数据3，4，4，4，5的标准差为，
∴添加一个数据4，标准差发生变化，
故选D．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠A=10°，再根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，根据角平分线的定义求出∠CBD=10°，根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=90°-60°=10°，
∴DE=AD=×6=1，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE=1，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD=10°，
∴BD=2CD=2×1=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP=BD=×6=1．
故答案为：1．
此题考查含10度角的直角三角形，角平分线的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
10、5.1．
【解析】
因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
由题意可得：∠BCA＝∠EDA＝90°，∠BAC＝∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则，
∴x＝5.1m．
故答案为：5.1．
本题考查的是相似三角形的应用，因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形．
11、
【解析】
先根据两直线平行的问题得到k=2，然后把（1，3）代入y=2x+b中求出b即可．
【详解】
∵直线y=kx+b与y=2x+1平行，
∴k=2，
把(1,3)代入y=2x+b得2+b=3，解得b=1，
∴y=kx+b的表达式是y=2x+1.
故答案为：y=2x+1.
此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于求k的值.
12、2 或9−3.
【解析】
分两种情况考虑：B′在横对称轴上与B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．
【详解】
当B′在横对称轴上，此时AE=EB=3，如图1所示，
由折叠可得△ABF≌△AB′F
∴∠AFB=∠AFB′,AB=AB′=6,BF=B′F，
∴∠B′MF=∠B′FM，
∴B′M=B′F，
∵EB′∥BF，且E为AB中点，
∴M为AF中点,即EM为中位线,∠B′MF=∠MFB，
∴EM=BF，
设BF=x,则有B′M=B′F=BF=x,EM=x,即EB′=x，
在Rt△AEB′中,根据勾股定理得：3 +(x) =6，
解得：x=2 ,即BF=2；
当B′在竖对称轴上时，此时AM=MD=BN=CN=4，如图2所示：
设BF=x,B′N=y，则有FN=4−x，
在Rt△FNB′中,根据勾股定理得：y+(4−x) =x，
∵∠AB′F=90°，
∴∠AB′M+∠NB′F=90°，
∵∠B′FN+∠NB′F=90°，
∴∠B′FN=∠AB′M，
∵∠AMB′=∠B′NF=90°，
∴△AMB′∽△B′NF，
∴ ,即，
∴y= x，
∴(x) +(4−x) =x，
解得x=9+3 ,x=9−3，
∵9+3>4，舍去，
∴x=9−3
所以BF的长为2或9−3，
故答案为：2 或9−3.
此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于作辅助线
13、甲
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】
解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)2．
【解析】
（1）先证明△AOB≌△COD，可得OD=OB，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论；
（2）先根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
解：（1）∵AB//DC，
∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4
又∵AO=CO，
∴△AOB≌△COD，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=2．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法和菱形的判定方法是解答本题的关键．
15、证明见解析.
【解析】
根据HL证明，从而得到，再根据平等线的判断得到，从而得到结论.
【详解】
∵，，
∴，
在和中，

∴
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
考查了平行四边形的判断，解题关键是证明得到，从而证明.
16、（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】
（1）根据题意利用中线的性质和垂直平分线的性质，即可解答.
（2）根据题意和由（1）得到，再利用勾股定理得到，最后利用全等三角形的性质，即可解答.
（3）作于，于，可得，设，则，利用勾股定理即可解答.
【详解】
（1）证明：
∵，AD是上的中线，
∴.
又∵，
∴.
∵是的垂直平分线，
∴.
∴.
又∵，
∴.
（2）解：∵，是上的中线，，
∴.
由（1）知，，
∴.
∵，
∴.
∴.
由，及勾股定理，可得，
∵，
∴.
所以，.
（3）.
解：如图，
作于，于，仿（1）可得，
且
∴
设，则，在中，
，得，（负值已舍）.
∴.
此题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
17、 (1)2；（2）−a1b−a2b2+ab1．
【解析】
（1）根据0次幂和负整数指数幂，即可解答．
（2）根据单项式乘以多项式，即可解答．
【详解】
（1）（1.12﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2×2﹣1
=1+2-2×
=1+2-1
=2．
（2）（2a2+ab-2b2）（-ab）
=−a1b−a2b2+ab1．
本题考查了单项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记单项式乘以多项式的法则．
18、（1）4；（2）；（3）
【解析】
（1）先算括号里面的，再算加减，即可得出答案；
（2）先除法，再进行通分运算，最后化简，即可得出答案；
（3）先对括号里面的进行通分，再进行分式的除法运算，即可得出答案.
【详解】
解（1）原式=-1+1+4=4
（2）原式=
=
=
=
（3）原式=
=
=
（1）本题主要考查，以及负指数幂，注意；
（2）本题主要考查分式的混合运算，通分、约分、因式分解和约分是解答本题的关键；
（3）本题主要考查分式的混合运算，通分、约分、因式分解和约分是解答本题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
根据梯形中位线定理得到EF=（AD+BC），然后把AD=4，BC=10代入可求出EF的长．
【详解】
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EF为梯形ABCD的中位线，
∴EF＝（AD+BC）＝（4+10）＝1．
故答案为1．
本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
20、1.2
【解析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.
21、
【解析】
先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA，即CM=2BM，进而可求出BC的长．
【详解】
如图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN⊥AB，
∴BM=2MN=2，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM=2，
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM=4，
∴BC=2+4=1．
故答案为1.
此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
22、（答案不唯一）
【解析】
根据正方形的判定添加条件即可．
【详解】
解：添加的条件可以是AB＝BC．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．
23、4
【解析】
利用面积公式列出关系式，将已知面积与边长代入即可求出高.
【详解】
解：根据题意得：÷×2=4.
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）；（3）正方形，见解析
【解析】
（1）根据中心对称的特点得到点A1、C1，顺次连线即可得到图形；
（2）根据图形分别求出AC、、、的长即可得到答案；
（3）求出AB、AC、BC的长度，根据勾股定理逆定理及中心对称图形得到四边形是正方形，即可求出答案.
【详解】
（1）如图，
（2）∵，，， ，
∴四边形的周长=AC+++=,
故答案为：；
（3）由题意得： ，，,
∴AB=BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由（2）得，
∴四边形是菱形，
由中心对称得到，,，
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴四边形是正方形.
此题考查中心对称图形的作图能力，勾股定理计算网格中线段长度，等腰直角三角形的判定定理及性质定理，勾股定理的逆定理，正方形的判定定理.
25、（1）1x（x+1）（x﹣1）；（1）（x+y﹣7）1．
【解析】
（1）首先提取公因式1x，再利用平方差公式完全平方公式分解因式得出答案；
（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝1x（x1﹣4）
＝1x（x+1）（x﹣1）；
（1）原式＝（x+y﹣7）1．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DB=DC，从而∠B=∠DCB，由DE∥BC，得到∠DCB=∠CDE，由CE=CD，得到∠CDE=∠DEC，利用等量代换，得到∠B=∠DEC；
(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形ADCE是平行四边形，再由CD=CE，证明平行四边形ADCE是菱形.
【详解】
（1）证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠DCB=∠CDE，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∴∠B=∠CED．
（2）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠DEC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴AD∥EC，
∵EC=CD=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD=CE，
∴四边形ADCE是菱形．
故答案为：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人