平罗中学2025届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份平罗中学2025届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
3．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
4．已知函数则函数的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
5．若函数是定义在R上的奇函数，函数是偶函数，则( )
A.2B.0C.60D.62
6．函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
7．若对任意的，当时，恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列选项中，正确的是( )
A.若，，则，
B.若不等式的解集为，则
C.函数(且)的图象恒过定点
D.若，，且，则的最小值为9
10．已知函数，对于任意实数a，b，下列结论成立的有( )
A.函数在区间上的最大值为，最小值为1
B.函数在定义域上单调递增
C.曲线在点处的切线方程是
D.若，则
11．已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A.a的取值范围是B.
C.的取值范围是D.的取值范围是
三、填空题
12．设，，，则a，b，c的大小关系是________.
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________.
14．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”.下列函数：
①；②；③；④.
其中存在“3倍值区间”的序号为________.
四、解答题
15．已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．已知函数是偶函数.
(1)求k的值；
(2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求a的取值范围.
17．如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，M，N分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小.
18．某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，）
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为集合，
，
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意可知：，在R内单调递增，可知在R内单调递增，
且，，
可知函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是.
故选：A.
3．答案：B
解析：的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以是奇函数，
其图象关于原点对称，排除A选项；
取，则，排除C、D选项；
故选：B.
4．答案：C
解析：由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为函数是R上的奇函数，所以，
又函数是偶函数，则，令，
.
故选：B.
6．答案：A
解析：函数，因为，解得.
所以函数的定义域为，且，.
因为函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
故选：A
7．答案：C
解析：当时，恒成立，即当时，恒成立，
设，，则单调递减，
而在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A：由题知，“”的否定是“”，故A正确；
对于B：若不等式的解集为，
则的两根为，3，且，
根据韦达定理有:，解得， ，所以，故B错误；
对于C：对数函数(且)恒过，
所以(且)恒过，故C错误；
对于D：因为，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故的最小值为9，故D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A，由，则，
当时，有，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，又，
，故A正确；
对于B，由A选项，可判断B错误；
对于C，，，所以在点处的切线方程为，故C正确；
对于D，因为，所以，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以在上单调递增，则，
即，即，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意知，若，当时，至多一个零点，不符合题意；
若，则，解得，即a的取值范围是为，故A错误；
因为，是的两个不同的根，所以，，故B，C正确；
，故D正确.
故选BCD.
12．答案：
解析：因为在单调递增，所以，即，
因为在R上单调递增，所以，即，
因为在R上单调递减，所以，即，
所以，
故答案为：.
13．答案：2
解析：直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则两个切点都在直线上，设两个切点分别为，，
则两个曲线的导数分别为，，
由导数的几何意义可知，则，
且切点在各自曲线上，
则将代入①可得，，③
③②可得，
故答案为：2.
14．答案：②③
解析：对于①，函数为增函数，若函数存在“3倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“3倍值区间”；
对于②，函数为减函数，若存在“3倍值区间”，则有得：，，，例如：，.所以函数存在“3倍值区间”；
对于③，若函数存在“3倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“3倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“3倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“3倍值区间”.
故答案为：②③.
15．答案：(1)；
(2)
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
解析：（1）因为数列的首项为1，且，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）函数是偶函数，
故，
即，，故.
（2），故，，
若函数与的图象有且只有一个交点，
即在上只有一个解，故，
即，即，
设，，，
故只有一个解，即，
当时，，则，不符合，故舍去；
当时，函数的对称轴为，
故在单调递减，且，故方程在无解；
当时，函数的对称轴为，且，，
故方程在上有唯一解，符合题意，
综上所述，a的取值范围是.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）M，N分别为，的中点，
，
四边形为正方形，
，则，
平面，不在平面内，
平面；
（2）四边形为正方形，，
平面，平面，
，，，，两两垂直，
故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则即得
令，则，则，
设直线与平面所成角为，，
由，故直线与平面所成角的大小为.
18．答案：(1)74；
(2)0.8186；
(3)证明见解析，
解析：（1）；
（2）由，，，，
，.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件，，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，
小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；
②小兔了先跳到第n格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为；
，.
当时，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，
.
获胜的概率.
19．答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）由题意得定义域为R，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得：，当时，解得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），，
若证成立，只需证成立即可，
所以，定义域为，，
，在上单调递增，
在上单调递增，
，，
在上有唯一实根，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，时，，
（3）若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，，
在上单调递增，
，，
，，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到a的取值范围是.