2023届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

2023届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：D

2．已知：，：，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由可得，或，，

所以由推不出，，由，，可以推出，

故是的必要不充分条件.

故选：B.

3．函数的单调递增区间是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性即得.

【详解】由题知的定义域为，

令，则，函数单调递增，

当时，关于单调递减，关于单调递减，

当时，关于单调递增，关于单调递增，

故的递增区间为．

故选：D．

4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.

【详解】当时，原式化为，显然恒成立；

当时，不等式对一切恒成立，

则有且，解得.

综上可得，.

故选：C

5．函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

且，

函数为奇函数，A选项错误；

又当时，，C选项错误；

当时，函数单调递增，故B选项错误；

故选：D.

6．当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

7．已知，则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据中间值法就可比较大小.

【详解】,，则, ,

 ,

故选：D.

8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（    ）

①由图1和图2面积相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③

【答案】A

【解析】根据图形进行计算．

【详解】①由面积相等得，，正确；

②在图3中，由三角形面积得，又，

由得，所以，正确；

③，由得，所以，正确；

④由由得，所以，正确．

四个推理都正确．

故选：A．

【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．

9．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.

【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，

关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，

在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，

所以实数的取值范围为.

故选：A

10．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．3 B．0 C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.

【详解】因为，所以，所以的周期为4，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

所以，

又因为在中，令，得，

所以，又当时，，所以令，，

所以.故A，B，C错误.

故选：D.

12．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可

【详解】当时，，∴，

令，∴在上单调递减，

又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，

∵，∴，

当，即时，，∴；

当，即时，，∴，则

.

故不等式的解集为.

故选：A.

二、填空题

13．若实数，满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】5

【分析】画出线性可行域，结合目标式的几何意义判断取最大时所过的点，即可求最大值.

【详解】由约束条件得可行域如下图示：

要使最大，只需其对应直线与数轴截距最大即可，

所以，当表示直线过的交点时，.

故答案为：5

14．已知函数，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】解：因为定义域为，且，即为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，

则不等式等价为，

即，解得，即不等式的解集为.

故答案为：

15．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.

【答案】4

【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果

【详解】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，

∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，

即函数的图象关于点对称，

则，

又∵，

∴，从而，

∴，即，

∴函数的周期为2，且图象关于直线对称，

画出函数的图象如图所示：

∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.

故答案为：4.

【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.

16．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.

【详解】因，又当时，，

当时，，，

当时，由，解得或，

当时，，，

显然，当时，，

作出函数的大致图象，

对任意，都有，必有，

所以m的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）设，，求证：；

（2）已知，求的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由基本不等式证明；

（2）利用柯西不等式求最小值．

【详解】（1）因为，，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以原不等式成立．

（2），当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值是．

18．已知函数

（1）若，求的值域；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）把代入中,得到是关于的二次函数,

根据定义域求值域即可.

（2）令,将表示为关于的二次函数,分,,

三种情况讨论,即可得出最小值.

【详解】解：（1）当时,

则

因为,所以,.

（2）令,因为,故,

函数可化为,

当时,；

当时,；

当时,；

综上,

【点睛】本题主要考查指数函数、函数的性质,考查了换元法、分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.

19．已知函数在上的最大值与最小值之和为．

（1）求实数的值；

（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；

（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.

【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同，

所以函数在上是单调函数，

所以函数在上的最大值与最小值之和为，

所以，解得和（舍）

所以实数的值为.

（2）由（1）得，

因为对于任意的，不等式恒成立，

所以对于任意的，恒成立，

当时，为单调递增函数，

所以，所以，即

所以实数的取值范围

【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解.

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

【答案】(1)；

(2)在上单调递增.

【分析】（1）利用导数的几何意义即得；

（2）利用函数的单调性与导数符号之间的关系可得出结论.

【详解】(1)因为，

所以，即切点坐标为，

又，

∴切线斜率

∴切线方程为，即；

(2)因为

所以，

令，

则，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上恒成立，

∴在上单调递增.

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)讨论在上的零点个数．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；

（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.

【详解】(1)因为，则，

当时，，此时在上单调递减；

当时，令，可得，

则当时，，单调递增，

当时，，单调递减.

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在单调递增，在上单调递减.

(2)当时，在上单调递减，又，

故当时，，故此时在无零点；

当时，，故在单调递减，

同时，此时在无零点；

当时，，故在单调递增，在单调递减，

，

若，即时，，故在无零点；

若，即时，，此时在有一个零点；

若，即时，，

又因为，故在上一定存在一个零点；

又因为，且，故在上也一定存在一个零点；

下证：

，

令，则，即在单调递减，

故，即

故.

故当时，有两个零点.

综上所述：当时，在无零点；

时，在有一个零点；

时，有两个零点.

【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.

22．已知函数(其中为自然对数的底数)

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.

【详解】(1)解：

①，在上单调增；

②，令，单调减

单调增；

③，单调增

单调减.

综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)解：由题意知在上恒成立

，

令，，

单调递增

∵，

∴使得，即

单调递减；单调递增

，

令，则

在上单调增

，

∴实数的取值范围是