山东省青岛市胶州市、黄岛区、西海岸新区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（有解析）

这是一份山东省青岛市胶州市、黄岛区、西海岸新区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（有解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形．下列每组数分别是三根木棒的长度（单位：cm），其中能摆出直角三角形的一组是（ ）
A．4，4，7B．32，42，52C．9，12，15D．6，7，8
2．（3分）如图，已知OA＝OB，点A表示的数为a，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为﹣3.1B．a的绝对值为
C．a的相反数为3.1D．a的倒数为
3．（3分）在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足+|3y+5|＝0，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（ ）
A．35mB．42mC．44mD．52m
5．（3分）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
6．（3分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
7．（3分）若点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，1）都在一次函数y＝kx+7的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x（k，b是常数，且kb≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）下列各数3.14159，﹣，，﹣π，0，，2.34010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有 个．
10．（3分）若的平方根为±4，则a＝ ．
11．（3分）将直线y＝5x﹣1向下平移2个单位，可以得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，距离每个坐标轴都是4个单位，则点P关于y轴的对称点P′的坐标为 ．
13．（3分）比较大小： ．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
14．（3分）若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 cm2．
15．（3分）已知关于x的方程kx+b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，在一次函数y＝kx+b（k≠0）图象中，当x每增加1个单位时，y增加了3个单位．若点P（5，y）为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上一点，则点P到x轴的距离为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（8，0），（8，6），（0，6），点D为线段BC上一动点，将△OCD沿OD翻折，使点C落到点E处．当B，E两点之间距离最短时，点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）（1+）（2﹣）；
（2）（+）×；
（3）+3+；
（4）+．
18．（6分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
19．（6分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了“请党放心，强国有我”党史知识竞赛，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
（1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
（3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
20．（6分）在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
21．（6分）A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，甲先出发．图中l1，l2表示甲乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系，请结合图象回答下列问题：
（1）图中表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是 （填l1或l2）；
（2）当其中一人到达B地时，另一人距B地 km；
（3）乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距10km？
22．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，图中四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）画出以点A所在的横线为横轴，以点D所在的纵线为纵轴的直角坐标系；
（2）在（1）的直角坐标系中，写出点C关于x轴对称的点C′的坐标；
（3）在（1）的直角坐标系中，求直线BD的函数关系式；
（4）求△ABD的面积．
23．（10分）问题提出：
如图是某城市规划的“五横五纵”轨道交通示意图（每条线的交点代表一个站点），如果要想从站点A到站点B（只能按照从上往下，从左往右的方向行进），那么会有多少种不同的线路可以选择？
问题探究：
为了解决问题，我们可以采用从特殊到一般的数学思想，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
如果有“两横两纵”四条轨道，如图1所示．要想从站点A到达站点B，要么先从上往下到站点①，要么先从左往右到站点②，而从站点A到达站点①，站点②的路线都只有一条，所以，从站点A到达站点B的路线数为到达站点①和站点②的路线数之和，即1+1＝2条．
探究二：
如果有“三横三纵”六条轨道，如图2所示．要想从站点A到达站点B，必须先到达站点⑥或者站点⑦，所以为了探究从站点A到达站点B的路线数，我们可以先探究从站点A到达站点⑥和站点⑦的路线数，两者之和即为从站点A到达站点B的路线数．由探究一可知，从站点A到达站点⑤，有1+1＝2条路线；从站点A直接到达站点②，只有1条路线，所以，从站点A到达站点⑥共有1+2＝3条路线；从站点A直接到达站点④，也只有1条路线，所以，从站点A到达站点⑦共有1+2＝3条路线，因此，从站点A到达站点B共有3+3＝6条路线．
探究三：
如果有“四横四纵”八条轨道，如图3所示．要想从站点A到达站点B，请仿照上面的探究过程，完成下表：
问题解决：
在“五横五纵”轨道交通中，要想从站点A到站点B（只能按照从上往下，从左往右的方向行进），那么会有 种不同的线路可以选择．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题：
（1）当CE⊥AB时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形AEFC的面积为y cm2，求y与t之间的关系式．
2021-2022学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、西海岸新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形．下列每组数分别是三根木棒的长度（单位：cm），其中能摆出直角三角形的一组是（ ）
A．4，4，7B．32，42，52C．9，12，15D．6，7，8
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、42+42≠72，不能摆出直角三角形；
B、∵32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，不能摆出三角形；
C、92+122＝152，能摆出直角三角形；
D、62+72≠82，不能摆出直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．（3分）如图，已知OA＝OB，点A表示的数为a，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为﹣3.1B．a的绝对值为
C．a的相反数为3.1D．a的倒数为
【分析】根据勾股定理求出OB，即可得出a的值，再逐项分析可得答案．
【解答】解：由勾股定理得：OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
即a的值是﹣，
∴a的绝对值是，a的相反数是﹣，a的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，能用勾股定理得到OB的长是解此题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足+|3y+5|＝0，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据算术平方根、绝对值的定义求出x、y的值，再根据坐标判断所在的象限即可．
【解答】解：∵+|3y+5|＝0，
∴2x﹣3＝0，3y+5＝0，
∴x＝＞0，y＝﹣＜0，
∴点P（x，y）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根、绝对值的非负性，求出x、y的值是正确判断的关键．
4．（3分）近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（ ）
A．35mB．42mC．44mD．52m
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝40m，OB＝20m，
∴AB＝＝＝20（m），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（3分）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
【分析】利用表格中的数据可得：当时间每经过1秒，速度下降10m/s，由此判定速度v与时间t之间的函数关系式可能是一次函数，利用待定系数法将表中的两对对应值代入求得解析式，再将其余两对对应值代入检验即可得出结论．
【解答】解：由表格的对应值发现：当时间每经过1秒，速度下降10m/s，
∴判定速度v与时间t之间的函数关系式可能是一次函数，
设速度v与时间t之间的函数关系式为：v＝kt+b，
将（0，25）和（1，15）代入得：
．
解得：．
∴v＝﹣10t+25．
将t＝2，v＝5和t＝3，v＝﹣5代入上式均成立，
∴速度v与时间t之间的函数关系式为v＝﹣10t+25．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的关系式，待定系数法，利用表格中的数据猜想：速度v与时间t之间的函数关系式可能是一次函数是解题的关键．
6．（3分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3，进而解答即可．
【解答】解：左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3，
所以该几何体的最大高度4×＝24（cm），
故选：D．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．以及几何体的表面积，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，1）都在一次函数y＝kx+7的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】由点C（3，1）在一次函数y＝kx+7的图象上，得k＝﹣2＜0，则y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：∵点C（3，1）在一次函数y＝kx+7的图象上，
∴3k+7＝1，
∴k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的增减性等知识，求出k的值是解题的关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x（k，b是常数，且kb≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得﹣的符号，从而判断y＝﹣x的图象是否符合，进而可得答案．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，﹣＞0；正比例函数y＝﹣x的图象可知﹣＜0，故此选项不符合题意；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即﹣＜0，与正比例函数y＝﹣x的图象可知﹣＞0，故此选项不符合题意；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＜0；即﹣＜0，与正比例函数y＝﹣x的图象可知﹣＜0，故此选项符合题意；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即﹣＞0，与正比例函数y＝﹣x的图象可知﹣＜0，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）下列各数3.14159，﹣，，﹣π，0，，2.34010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有 2 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数；
﹣是分数，属于有理数；
＝3，3、0是整数，属于有理数；
2.34010101…（相邻两个1之间有1个0）无限循环小数，属于有理数；
∴无理数有：﹣π，，共有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001（相邻两个1中间依次多1个0），等有这样规律的数．
10．（3分）若的平方根为±4，则a＝ 256 ．
【分析】根据的平方根是±4可求，进而可求a．
【解答】解：∵的平方根是±4，
∴＝16，
∴a＝256，
故答案是256．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根．注意平方根与算术平方根的区别．
11．（3分）将直线y＝5x﹣1向下平移2个单位，可以得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 y＝5x﹣3 ．
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减”，就可以求出平移以后函数的解析式．
【解答】解：将直线y＝5x﹣1向下平移2个单位，得到直线的解析式是：y＝5x﹣1﹣2＝5x﹣3，
故答案为：y＝5x﹣3．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，距离每个坐标轴都是4个单位，则点P关于y轴的对称点P′的坐标为 （4，4） ．
【分析】根据“点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，距离每个坐标轴都是4个单位”可以确定点P的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征可得答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，
∴点P在第二象限，
又∵距离每个坐标轴都是4个单位，
∴点P（﹣4，4），
又∵点P关于y轴的对称点P′，
∴点P′的坐标为（4，4），
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查关于y轴对称点的坐标特征以及位置的确定，确定点P的坐标是解决问题的前提，掌握关于y轴对称点的坐标特征是正确解答的关键．
13．（3分）比较大小： ＞ ．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【分析】根据无理数的估算，可得5﹣小于2，分母相等时，当分子是正数时，分子越大时，值越大，可进行大小比较．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴1＜5﹣＜2，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、无理数的估算等．
14．（3分）若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 8或12 cm2．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm，
∴等腰三角形的底边上的高为（cm），
∴该等腰三角形的面积为（cm2）；
当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm，
∴等腰三角形的底边上的高为（cm），
∴该等腰三角形的面积为（cm2）；
故答案为：8或12．
【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程kx+b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，在一次函数y＝kx+b（k≠0）图象中，当x每增加1个单位时，y增加了3个单位．若点P（5，y）为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上一点，则点P到x轴的距离为 21 ．
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），（﹣1，3），根据待定系数法求得解析式，进而求得P点的纵坐标，即可得到结论．
【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），（﹣1，3），
∴，
解得，
∴此函数表达式是y＝3x+6，
∵点P（5，y）为一次函数y＝3x+6图象上一点，
∴y＝3×5+6＝21，
∴点P到x轴的距离为21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（8，0），（8，6），（0，6），点D为线段BC上一动点，将△OCD沿OD翻折，使点C落到点E处．当B，E两点之间距离最短时，点D的坐标为 （3，6） ．
【分析】如图1，连接OB，根据勾股定理得到BO＝＝10，推出当O，E，B三点共线时，BE的值最小，即当点E在对角线OB上时，BE的值最小，如图2，根据折叠的性质得到OE＝OC＝6，DE＝CD，∠DEO＝∠DCO＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图1，连接OB，
∵点A，B，C的坐标分别为（8，0），（8，6），（0，6），
∴OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10，
∵BE≥OB﹣OE，
∴当O，E，B三点共线时，BE的值最小，
即当点E在对角线OB上时，BE的值最小，
如图2，∵将△OCD沿OD翻折，使点C落到点E处，
∴OE＝OC＝6，DE＝CD，∠DEO＝∠DCO＝90°，
∴∠BED＝90°，BD＝8﹣CD＝8﹣DE，
∵BD2＝DE2+BE2，
∴（8﹣DE）2＝DE2+（10﹣6）2，
解得：DE＝3，
∴CD＝DE＝3，
∴点D的坐标为（3，6），
故答案为：（3，6）．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）（1+）（2﹣）；
（2）（+）×；
（3）+3+；
（4）+．
【分析】（1）利用多项式乘法展开，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简即可；
（3）把二次根式化为最简二次根式即可；
（4）先把二次根式化为最简二次根式，再把合并后进行二次根式的除法运算，然后进行有理数运算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2﹣3
＝﹣1；
（2）原式＝+
＝+3；
（3）原式＝3+3+；
（4）原式＝+
＝+
＝﹣+
＝0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
18．（6分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，
解得：x＝2．
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵与互为相反数，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4．
当a＝1，b＝4时，
a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．
【点评】本题主要考查了实数的性质，平方根，立方根，相反数的意义，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．
19．（6分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了“请党放心，强国有我”党史知识竞赛，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
（1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
（3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
【分析】（1）根据“总费用＝单价×数量”可得购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）把x＝30代入（1）的结论解答即可；
（3）根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）根据题意，得：
y＝32x+15（120﹣x）＝17x+1800，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为y＝17x+1800；
（2）当x＝30时，y＝17×30+1800＝2310，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得x≤50，
由（1）可知为y＝17x+1800，
∵17＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大值为y最大＝17×50+1800＝2650，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
20．（6分）在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
【分析】先根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
∴S△ABC＝BC•AD＝×21×8＝84．
因此△ABC的面积为84．
故答案为84．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
21．（6分）A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，甲先出发．图中l1，l2表示甲乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系，请结合图象回答下列问题：
（1）图中表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是 l2 （填l1或l2）；
（2）当其中一人到达B地时，另一人距B地 10 km；
（3）乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距10km？
【分析】（1）根据题意可得，表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是l2；
（2）根据题意可得甲的速度以及乙的速度，进而得出结论；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】（1）由题意可知，表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是l2；
故答案为：l2；
（2）乙的速度为：40÷2＝20（km/h），甲的速度为：（40﹣20）÷2＝10（km/h），
乙到达B地所需时间为：60÷20＝3（h），此时甲距B地：60﹣20﹣10×3＝10（km）；
故答案为：10；
（3）设乙出发多x小时时，甲乙两人刚好相距10km，根据题意，得：
20+10x﹣20x＝10或20x﹣（20+10x）＝10，
解得x＝1或x＝3．
即乙出发多1小时或3小时时，甲乙两人刚好相距10km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
22．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，图中四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）画出以点A所在的横线为横轴，以点D所在的纵线为纵轴的直角坐标系；
（2）在（1）的直角坐标系中，写出点C关于x轴对称的点C′的坐标；
（3）在（1）的直角坐标系中，求直线BD的函数关系式；
（4）求△ABD的面积．
【分析】（1）根据条件建立直角坐标系；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用待定系数法求直线BD的解析式；
（4）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图，
（2）C点坐标为（3，2），
所以C点关于x轴对称的点C′的坐标为（3，﹣2）；
（3）设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把B（2，﹣3），D（0，2）分别代入得，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；
（4）△ABD的面积＝5×4﹣×2×2﹣×3×4﹣×2×5＝7．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
23．（10分）问题提出：
如图是某城市规划的“五横五纵”轨道交通示意图（每条线的交点代表一个站点），如果要想从站点A到站点B（只能按照从上往下，从左往右的方向行进），那么会有多少种不同的线路可以选择？
问题探究：
为了解决问题，我们可以采用从特殊到一般的数学思想，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
如果有“两横两纵”四条轨道，如图1所示．要想从站点A到达站点B，要么先从上往下到站点①，要么先从左往右到站点②，而从站点A到达站点①，站点②的路线都只有一条，所以，从站点A到达站点B的路线数为到达站点①和站点②的路线数之和，即1+1＝2条．
探究二：
如果有“三横三纵”六条轨道，如图2所示．要想从站点A到达站点B，必须先到达站点⑥或者站点⑦，所以为了探究从站点A到达站点B的路线数，我们可以先探究从站点A到达站点⑥和站点⑦的路线数，两者之和即为从站点A到达站点B的路线数．由探究一可知，从站点A到达站点⑤，有1+1＝2条路线；从站点A直接到达站点②，只有1条路线，所以，从站点A到达站点⑥共有1+2＝3条路线；从站点A直接到达站点④，也只有1条路线，所以，从站点A到达站点⑦共有1+2＝3条路线，因此，从站点A到达站点B共有3+3＝6条路线．
探究三：
如果有“四横四纵”八条轨道，如图3所示．要想从站点A到达站点B，请仿照上面的探究过程，完成下表：
问题解决：
在“五横五纵”轨道交通中，要想从站点A到站点B（只能按照从上往下，从左往右的方向行进），那么会有 70 种不同的线路可以选择．
【分析】根据“五横五纵”轨道交通中，共有25个站点，根据规则得出每个站点的线路数即可．
【解答】解：探究三：由图知，到达②站的线路数和①相同为4条，
到达③站的路线数为4+6＝10，
达到④站的线路数与③相同也为10，
∴到达B站的线路数为10+10＝20，
故答案为：4，10，10，20；
问题解决：如图所示：
由探究知到达④站有20条线路，
∵到达①⑤站各有5条线路，到达②⑥站各有15条线路，
∴达到③⑦站各有20+15＝35条线路，
∴到达B站的路线数为35+35＝70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查排列组合的问题，根据图形的变化总结站点路线数的变化规律是解题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题：
（1）当CE⊥AB时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形AEFC的面积为y cm2，求y与t之间的关系式．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，用含t的代数式分别表示出线段AE，CF，BF的长度，利用△ACE∽△ABC，得出比例式，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（2）过点E作ED⊥AC于点D，在Rt△CDE中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程结论求得结论；
（3）过点E作EH⊥BC于点H，用△ABC的面积减去△BEF的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AE＝BF＝t cm，
∴CF＝BC﹣BF＝（4﹣t）cm．
如图1，当CE⊥AB时，
∵AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，
∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AB，
∴△ACE∽△ABC，
∴．
∴．
∴t＝．
∴当CE⊥AB时，t的值为s．
（2）存在某一时刻t，使CE＝CF，理由：
过点E作ED⊥AC于点D，如图，
∵CF＝BC﹣BF＝（4﹣t）cm，CE＝CF，
∴CE＝（4﹣t）cm．
∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC．
∴△ADE∽△ACB．
∴．
∴．
∴AD＝t，DE＝t．
∴CD＝AC﹣AD＝3﹣t．
在Rt△CDE中，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴，
解得：t＝．
∴存在某一时刻t，使CE＝CF，此时t的值为s．
（3）过点E作EH⊥BC于点H，如图，
∵AE＝t cm，
∴BE＝AB﹣AE＝（5﹣t）cm．
∵EH⊥BC，AC⊥BC，
∴EH∥AC．
∴△BEH∽△BAC．
∵．
∴．
∴EH＝（5﹣t）．
∴y＝S△ABC﹣S△BFE
＝AC•BC﹣BF•EH
＝×3×4﹣×t×（5﹣t）
＝﹣t+6．
∴y与t之间的关系式为y＝﹣t+6．
【点评】本题是一道四边形的综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是动点问题，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
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