北师大版（2024）七年级上册数学期中复习第1—4章综合测试卷（含答案解析）

这是一份北师大版（2024）七年级上册数学期中复习第1—4章综合测试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了点P等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共30分）
1．在实数中，，，0.1010010001，中，无理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．点P（3+a，a+1）在x轴上，则点P坐标为（ ）
A．（2，0）B．（0，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）
3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，7，8B．5，6，7C．4.5，6，7.5D．4，5，6
4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥2C．x≥0D．x＞2
5．如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x+4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C坐标是（5，2），则经过第2022次变换后点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（﹣5，2）D．（5，2）
7．我市的用电量与应交电费之间的关系如表，则以下说法不正确的是（ ）
A．用电量每增加1千瓦时，应交电费就增加0.56元
B．在这个变化过程中，用电量和应交电费都是变量，其中应交电费是自变量
C．若用电量是3千瓦时的时候，应交电费是1.68元
D．应交电费是5.6元时，用电量是10千瓦时
8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．15米C．25米D．30米
9．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1B．2C．3D．4
10．如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD+CE+AF＝27，则BD+BF的长是（ ）
A．18B．10+6C．19D．17
二．填空题（共18分）
11．把2个面积为3的正方形纸片沿着对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形纸片，那么大正方形纸片的边长在 和 两个整数之间．
12．如果a，b分别是2021的两个平方根，那么a+b﹣ab＝ ．
13．已知AB∥x轴，点A的坐标为（2，4），并且AB＝3，则点B的坐标为 ．
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于 ．
15．甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为 ．
16．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 ．（填序号）
三．解答题（共72分）
17．计算：
（1）|﹣2|+（﹣3）2﹣；
（2）﹣12021+|1+|﹣+．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+3xy+y2的值．
19．如图所示的是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（﹣1，2），实验室的位置是（2，3）．
（1）根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂宿舍楼和大门的位置．
（2）已知办公楼的位置是（﹣2，1），教学楼的位置是（3，1），在（1）中所画的图中标出办公楼和教学楼的位置．
20．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油测验，并把测验的数据记录下来，表格如下：
（1）根据上表可知，该车油箱的大小为 升，每小时耗油 升．
（2）请求出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）：
（3）当汽车行驶了12小时，油箱还剩多少升油？
21．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
22．如图，在三角形ABC中，AB＝5，BC＝6，AD为BC边上的中线，且AD＝4，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
23．甲、乙两地间的直线公路长为180千米，一辆摩托车和一辆轿车分别从甲、乙两地出发，沿该公路匀速行驶，已知轿车比摩托车早出发1小时，且轿车到达甲地停留t小时后原路原速返回乙地（调头时间忽略不计），最后两车同时到达乙地，在行驶过程中，两车距乙地的距离y（千米）与摩托车行驶的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）轿车的速度是 千米/小时，摩托车的速度是 千米/小时，t的值为 ；
（2）写出摩托车距乙地的距离y（千米）与x（小时）的关系式；
（3）摩托车出发后几小时，两车在途中相距30千米？请直接写出答案．
24．阅读下列解题过程：
＝＝＝﹣1；
＝＝＝﹣．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①＝ ；②＝ ；
（2）应用：求++++…+的值；
（3）拓广：﹣+﹣＝ ．
25．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
参考答案
一．选择题（共30分）
1．解：，0.1010010001是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故选：B．
2．解：∵点P（3+a，a+1）在x轴上，
∴a+1＝0，
∴a＝﹣1，
3+a＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：A．
3．解：A、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴6，7，8不能作为直角三角形的三边长，
故A不符合题意；
B、∵52+62＝61，72＝49，
∴52+62≠72，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长，
故B不符合题意；
C、∵4.52+62＝56.25，7.52＝56.25，
∴4.52+62＝7.52，
∴4.5，6，7.5能作为直角三角形的三边长，
故C符合题意；
D、∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长，
故D不符合题意；
故选：C．
4．解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：B．
5．解：作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P′，
此时，PB+PE＝P′B+P′E的值最小，最小值为B′E的长，
∵线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x+4，
∴A（0，4），C（4，0），
∴AB＝4，BC＝4，
∵E是AB的中点，
∴E（0，2），
∵点B关于AC的对称点B′，
∴BB′⊥AC，OB＝OB′＝AC，AO＝CO，
∴四边形ABCB′是正方形，
∴B′（4，4），
∴PB+PE的最小值是B′E＝＝2．
故选：C．
6．解：点C第一次关于y轴对称后在第二象限，
点C第二次关于x轴对称后在第三象限，
点C第三次关于y轴对称后在第四象限，
点C第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505余2，
∴经过第2022次变换后所得的C点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（﹣5，﹣2）．
故选：A．
7．解：设用电量x（千瓦时），应缴电费y元，由表格中数据得到：y＝0.56x．
∴用电量每增加1千瓦时，应缴电费增加0.56元正确．
∴A不合题意．
在这个变化过程中，应缴电费随用电量的增加而增加，电费单价不变，
∴用电量是自变量，应缴电费是因变量．
∴B符合题意．
∵当x＝3时，y＝0.56×3＝1.68元．
∴C不合题意．
当y＝5.6时，x＝5.6÷0.56＝10．
∴D不合题意．
故选：B．
8．解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，
∴AB＝2CB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
故选：B．
9．解：由图象可得，
甲、乙两地的距离为：150×3＝450（千米），故①正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，
∴轿车每小时比货车多行驶90÷3＝30（千米），
∴轿车的速度为：（450÷3+30）÷2＝90（千米/小时），故②错误；
货车的速度为：（450÷3﹣30）÷2＝60（千米/小时），故③正确；
点C的实际意义是轿车出发450÷90＝5小时后到达乙地，此时两车间的距离为：（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），故④正确；
故选：C．
10．解：连接PA、PB、PC，
设BD＝x，CE＝y，AF＝z，
则CD＝17﹣x，EA＝18﹣y，FB＝19﹣z，
由勾股定理得，
x2+PD2＝（19﹣z）2+PF2①，
同理得，y2+PE2＝（17﹣x）2+PD2②，
z2+PF2＝（18﹣y）2+PE2③，
①+②+③得，
x2+y2+z2＝（17﹣x）2+（18﹣y）2+（19﹣z）2，
化简得，17x+18y+19z＝487，
∵x+y+z＝27，
∴x＝z﹣1，
∴BD+BF＝x+（19﹣z）＝18，
故选：A．
二．填空题（共18分）
11．解：由题意可知大正方形的面积为6，因此边长为，
而2＜＜3，
所以大正方形的边长在2与3之间，
故答案为：2，3．
12．解：∵a，b分别是2021的两个平方根，
∴设a＝，则b＝﹣，
∴a+b﹣ab
＝[+（﹣）]﹣×（﹣）
＝0+2021
＝2021．
故答案为：2021．
13．解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（2，4），并且AB＝3，
∴点B的横坐标为：2+3＝5或2﹣3＝﹣1，纵坐标为4，
∴点B的坐标为（5，4）或（﹣1，4），
故答案为：（5，4）或 （﹣1，4）．
14．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝18π．
故答案为：18π．
15．解：设甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
则，
解得：，
即甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式是y＝30x﹣20（1≤x≤4）；
当甲、乙两人相差15个零件时，
①|30x﹣20﹣40|＝15，
解得，x1＝，x2＝；
②30x﹣20﹣60（x﹣3）﹣40＝15，
解得，x＝，
即当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间是时或时或时，
故答案为：时或时或时．
16．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．
在△BCE和△DCE中，，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝75°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠AED＝60°，
∵AD＝AB＝，
∴AM＝DM＝×＝，
∴ME＝DM＝×＝1，
∴AE＝+1，故②正确；
③根据勾股定理求出AC＝2，
∵DM＝，EM＝1，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，
∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°．
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共72分）
17．解：（1）原式＝2+9﹣2
＝9；
（2）原式＝﹣1+1+﹣+2
＝﹣1+1+﹣+2
＝+．
18．解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，
则x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（2）2+2
＝12+2
＝14．
19．解：（1）如图所示：食堂（﹣4，4）、宿舍楼的位置（﹣5，1）、大门的位置（1，﹣1）；
（2）如图所示：办公楼和教学楼的位置即为所求．
20．解：（1）因为一开始油箱剩余100升，也就是油箱的大小，为100升，
行驶一小时后，剩余94升，说明一小时耗油量为100﹣94＝6（升）；
（2）第小时耗油6升，t小时耗油6t（升），
所以剩余油量为Q＝100﹣6t；
（3）当t＝12时，Q＝100﹣6t＝100﹣6×12＝8（升）．
21．解：（1）着火点C受洒水影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，
∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，
∴600×800＝1000CD，
∴CD＝480，
∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响；
（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280m，
∵飞机的速度为10m/s，
∴280÷10＝28（秒），
∵28秒＞13秒，
∴着火点C能被扑灭，
答：着火点C能被扑灭．
22．（1）证明：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∵AD＝4，AB＝5，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝5，
∴AC＝5，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴×，
解得：DE＝2.4．
23．解：（1）由图象可知：当x＝0时，y＝60，且轿车比摩托车早出发1小时，
∴轿车的速度＝60÷1＝60 （千米/小时），
由图象得：摩托车的速度＝180÷6＝30 （千米/小时），
t＝6﹣＝1，
故答案是：60，30，1；
（2）设y＝kx+b，
把（0，180），（6，0）代入上式得：，
解得：，
∴y＝﹣30x+180 （0≤x≤6）；
（3）分3种情况：
①两车相遇之前：30x+30+60x+60＝180，
解得：x＝1；
②两车相遇之后且轿车到甲地之前：30x+60x+60﹣30＝180，
解得：x＝；
③两车相遇之后且轿车返回途中：30x﹣60（x﹣3）＝30，
解得：x＝5，
综上所述：摩托车出发后1或或5小时，两车在途中相距30千米．
24．解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝﹣；
故答案为：﹣；﹣；
（2）++++…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1；
（3）﹣+﹣
＝﹣+﹣
＝﹣+﹣
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
25．解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案是：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE＝，
∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2，
整理得，b＝．
用电量（千瓦时）
1
2
3
4
5
…
应交电费（元）
0.56
1.12
1.68
2.24
2.80
…
汽车行驶时间t（小时）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（升）
100
94
88
82
…