重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学检测试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限．
【详解】化简得
所以z在复平面内的坐标为
所以点在第二象限
所以选B
【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题．
2. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件关系，即可判断选项.
【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故选：B
3. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】因为，即，
由余弦定理，
又，所以.
故选：C
4. 已知，，则x，y满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个．
满足的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个，
所以所求事件的概率．
故选：B
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中直线、平面间的位置关系一一判断即可.
【详解】对A，若，，，，则或相交，A错误；
对B，若，，则或相交，
又由，无法确定的位置关系，B错误；
对C，若，，则，
又因为，所以或，C错误；
对D，因为，，所以，
又因为，所以，D正确；
故选:D.
6. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（ ）

A. B. C. 12D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】设交于点，则是中点且，根据数量积的定义计算可得．
【详解】如图，交于点，则是中点且，
由题意可得.
故选：A．

7. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解.
【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，
则甲最终获胜的概率为
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解.
8. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案.
【详解】
如图，取中点为，连接，设外接圆圆心为，连接.
因为，，中点为，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面.
设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面.
因为，，
所以，，，.
设，，过作交于点，连接，
则，.
又平面，，
在中，有.
又在中，有.
所以，有，解得，
所以，.
所以，三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求．若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分.
9. 若复数，则（ ）
A. B.
C. 为实数D.
【答案】BC
【解析】
【分析】首先求解复数，再根据复数的运算，以及共轭复数和复数模的公式，即可判断选项.
【详解】由，得，A错误.
，B正确.
因为，所以为实数，C正确.
D错误.
故选：BC
10. 平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将、、的面积分别记为，则．根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为的内心，且，则
D. 若为的垂心，则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据奔驰定理公式可以直接判断选项A正确；
利用，整理可得结合奔驰定理可判断选项B正确；
根据三角形的内心性质，结合奔驰定理可得，所以，即可判断C正确；
利用三角形的面积公式以及平面向量的基本关系和数量积公式得到，从而可判断选项D正确.
【详解】对A，由，，
且不共线，所以，A正确；
对B，由，可得，
整理得，，所以，B正确；
对C，若为的内心，且，
则，
又，（为三角形内切圆的半径）
所以，则为直角三角形，且，C正确；
对D， ，，
，
若为的垂心，
则，
，
，
所以，，，
又因为，
，
又因为
所以
即，
同理可得，，
所以
，
结合奔驰定理可知，D正确；
故选：ABCD.
11. 在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（ ）
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当，四棱锥的外接球的表面积是
C. 周长的最小值为
D. 若，则点的轨迹长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，所以三棱锥为定值；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值；D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，求出圆的半径，得到轨迹长度.
【详解】A选项，当时，，
故，即，
故点在线段上，
连接，与相交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确；
B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点，
连接相交于点，则⊥平面，
设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，
其中，设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
则表面积是，B正确；
C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点，
由对称性知，，
，此时三点共线，
又，
，C错误；
D选项，因为 ，又点在矩形及其内部，
点轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，
又⊥平面，且，
故 ，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，
如图，其中，，
故，
则，
则，
则轨迹长为，D正确.
故选：ABD
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), ，，，，则这块菜地的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.
【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：，
由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积.
【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13. 已知事件和事件互斥，若且，则_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且，
所以，
而，
所以.
故答案为：
14. 为以为直角顶点的直角三角形，且，，为上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，当长度最短时，______，此时二面角的平面角的正弦值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，设，根据题设可推出长度的表达式，结合三角函数，根据长度最短即可求得答案；第二空，利用线面垂直的性质作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.
【详解】作，垂足为D，连接，
因为二面角为直二面角，平面平面，
且平面，故平面，
平面，则；

设，则，
由,则，
在中，,
，
故
，
当长度最短时，，则，即；
由此可得，，
则，
作,垂足为E，连接,
因为平面，平面，故，
而平面，故平面，
所以即为二面角的平面角，
在中，,
故，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：求解第一空即求的大小时，关键是确定何种情况下长度最短，因此要，求出长度的表达式，结合三角函数求得，即可求解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解；
（2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解.
【小问1详解】
因为，且，所以可设，，
所以，解得，
所以或．
小问2详解】
因为，所以，所以，
又，所以，解得，
又，所以，
又，
设与的夹角为，所以，
即与夹角的余弦值为．
16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
【答案】（1）0.030
（2）84 （3）总平均数是62，总方差是23.
【解析】
【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解；
（2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.
【小问1详解】
每组小矩形的面积之和为1，
，
；
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，
得，故第75百分位数为84；
【小问3详解】
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
17. 已知向量，，，且A为的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若ΔABC中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得，从而求得，结合三角形内角的范围，可以确定；
（2）根据，可以求得，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得，进而求得，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得，利用余弦定理求得，之后应用余弦定理求得，得到结果.
【详解】（1）因为，所以，所以.
因为，所以.
（2）因为，所以.又，，
所以在ΔABC中，由正弦定理，可得，所以，
所以在ΔABC中，.
在ΔABC中，由余弦定理，可得，所以.
在中，由余弦定理，得.
所以.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.
18. 如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.

（1）求证：平面；
（2）设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质定理，即可证明结论；
（2）利用线段之间的关系，采用割补法求得以及，即可求得与之间的关系，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：因为四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，
故平面，由平面平面，
所以，而平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
由（1）知，而，故，
同理可证，由可得，
故，
设A点到平面的距离为d，
则；
又，，故，
设C点到平面的距离为h，则F点到平面的距离为，
故
,
故,
则，
故.
【点睛】难点点睛：解答第二问求解的值，比较困难，解答时要利用割补的方法，求得几何体各部分的体积之间的关系，进而求得答案.
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
（3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．
【答案】（1），
（2）①证明见解析；②证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①实向量，，根据条件，即可得证；
②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证；
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值．
【小问1详解】
因为，所以，
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为；
【小问2详解】
①设实向量，，
则，，
而，
根据已知，当且仅当与平行时取等号，即，
所以，当且仅当时等号成立；
②因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
【小问3详解】
②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，
复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
根据题意，若复向量与平行，
则，
根据中等号成立的条件，
应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．