黑龙江省哈尔滨市德强学校2024-2025学年上学期七年级九月份数学学科试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市德强学校2024-2025学年上学期七年级九月份数学学科试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共27分）
1. 下列各式中，是方程的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键．
、，不是方程，不符合题意；
、是代数式，不是方程，不符合题意；
、是不等式，不符合题意；
、是方程，符合题意；
故选：．
2. 下列四个图形中，与为对顶角的图形是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可．
解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角，
故选：B．
3. 如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意；
D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质，逐项判断，即得．
解：A、，
等号两边都减y加3，
得，
故本选项正确，
符合题意；
B、，
当时，，
故本选项错误，
不符合题意；
C、，
当时，
，
故本选项错误，
不符合题意；
D、，
两边都乘以2，
得，
故本选项错误，
不符合题意．
故选：A．
5. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）
A. 测量跳远成绩B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直D. 两钉子固定木条
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．
解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
6. 已知是关于的方程的解，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把x=2代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键．
解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 把方程去分母正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握相关方法是解题关键．根据题意可得将方程两边同时乘以6即可去掉分母，据此进一步计算判断即可．
解：，
去分母，得：，
故选：B．
8. 如图，按各组角的位置，说法正确的是（）
A. 与是同旁内角B. 与是内错角
C. 与是同旁内角D. 与是同位角
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可．
解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
B、与是内错角，原说法正确，符合题意；
C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
D、与是内错角，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
9. 下列说法正确的是（）
A. 相等的角是对顶角
B. 两个角的和为，那个这两个角互为邻补角
C. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断D．
解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
B、两个角的和为，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共27分）
10. 比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
解：由题意得：，
故答案为：．
11. 已知是关于x的一元一次方程，则a的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
解；∵是关于x的一元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：2．
12. 如图所示，如果，则的度数为__________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角的性质，先根据对顶角线段得到，再由邻补角互补即可得到答案．
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：，那么______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
解：
故答案为：1
14. 已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可．
解：把代入方程中得，，
∴，
∴
．
故答案为：0．
15. 如图，直线AB与CD相交于点，，射线平分，若，则______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵与是对顶角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ 射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 一件服装进价100元，按标价的8折销售，仍可获利，该服装的标价是__________元．
【答案】150
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先根据获利求出打折后的售价，再除以折扣即可得到答案．
解：元，
∴该服装的标价是150元，
故答案为：150．
17. 探索规律：，个位数字是3；，个位数字是9；，个位数字是7；，个位数字是1；，个位数字是3；，个位数字是9……那么的个位数字是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知这列数的个位数字每4个数字为一个循环，个位数字分别为3，9，7，1，再由即可得到答案．
解：，个位数字是3；，个位数字是9；，个位数字是7；，个位数字是1；，个位数字是3；，个位数字是9，
……，
以此类推，可知这列数的个位数字每4个数字为一个循环，个位数字分别为3，9，7，1，
∵，
∴的个位数字是1，
故答案为：1．
18. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为_____．
【答案】或6
【解析】
【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE=S四边形AECD-S△PCD-S△PAE建立方程求出其解即可；如图3，当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE=PE•BC=18建立方程求出其解即可．
解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm．
∵CP=2t（cm），
∴S△PCE=×2t×8=18，
∴t=；
如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，
∵AE=2BE，
∴AE=AB=4．
∵DP=2t-6，AP=8-（2t-6）=14-2t．
∴S△PCE=×（4+6）×8-（2t-6）×6-（14-2t）×4=18，
解得：t=6；
当点P在AE上，即7＜t≤9时，
PE=18-2t．
∴S△CPE=（18-2t）×8=18，
解得：t=＜7（舍去）．
综上所述，当t=或6时△APE的面积会等于18．
故答案为：或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．
三、解答题（共66分）
19. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【小问1】
解：
移项，
合并同类项，
化系数1，
【小问2】
解：
去分母，
去括号，
移项，
合并同类项，
化系数为1，
20. 根据下列要求画图：
（1）连接，画直线，画射线；
（2）在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短：
（1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可；
（2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求．
【小问1】
解：如图所示，即为所求；
小问2】
解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求．
21. 若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，进而根据题意得到是方程的解，把代入方程中求出，再把代入方程中进行求解即可．
解：解方程得，
∵方程的解与方程的解相同，
∴是方程的解，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
解得．
22. 某车间有名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓个或螺母个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
【答案】生产螺栓有人，则生产螺母的有人．
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．先设分配人生产螺栓，则有人生产螺母，根据人生产的螺栓数人生产螺母数，由等量关系列出方程即可．
解：设生产螺栓有人，则生产螺母的有人。
解得，
∴，
答：生产螺栓有人，则生产螺母的有人．
23. 【阅读材料】规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．
例如：方程的解为，
而，
所以方程为“和谐方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）下列关于的一元一次方程是“和谐方程”的有______；（填写序号）
①；②；③．
（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，求的值；
（3）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，并且它的解是，求，的值．
【答案】（1）②（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了“和谐方程”的定义、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解此题的关键．
（1）根据“和谐方程”的定义逐项判断即可；
（2）根据“和谐方程”的定义计算即可得出答案；
（3）根据“和谐方程”的定义计算即可得出答案．
【小问1】
解：①解得：，
，
不是“和谐方程”，故①不符合题意；
②解得：，
，
是“和谐方程”，故②符合题意；
③解得：，
，
不是“和谐方程”，故③不符合题意；
故答案为：②；
【小问2】
解：的解为，
方程是“和谐方程”，
，
；
【小问3】
解：方程是“和谐方程”，而且方程的解为，
，
．
方程化为：，
解得，
，
．
24. 某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是50元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）．
（1）第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？
（2）第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套50件起售，超过50件的部分，每件优惠2元，不超过50件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过50件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子．
【答案】（1）帽子件，手套件
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解；
（2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解；
【小问1】
解：设第一次购买顶帽子，副手套，
由题意得：，
解得：，
故：第一学年购买帽子件，手套件
【小问2】
解：设第二次购买了顶帽子，副手套，
由题意得：，
解得：，
∴学校需要准备资金：（元）
25. 如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．
（1）将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．
（2）在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．
（3）将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）射线平分，理由见解析
（3）6或15
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分；
（3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案．
【小问1】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2】
解：射线平分，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴射线平分；
【小问3】
解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴旋转角度，
∴；
当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴此时旋转的角度为，
∴；
综上所述，t的值为6或15．
26. 如图1，有理数a，b分别对应数轴上的点A，B，且a，b满足．
（1）__________，__________；
（2）如图2，点C表示的数为2，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；
（3）如图3，我们将图2的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段和仍然水平，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即，其中、、代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？
【答案】（1），
（2）或6
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可；
（2）首先得到点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据得到，进而求解即可；
（3）分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，（Ⅱ）点P在上，点Q在上时，然后根据题意分别列式求解即可．
【小问1】
解：∵
∴，
∴，；
【小问2】
解：根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵
∴
解得或；
【小问3】
解：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，
设点P与点Q运动的时间为t秒时，，
∵，
，
解得：；
（Ⅱ）∵点P在上运动速度1个单位/秒，点Q在上运动速度为2个单位/秒，
点P在上运动速度为2个单位/秒，点Q在上运动速度为1个单位/秒，
∴点P运动到点C的时间为：秒，点Q运动到点O的时间为，
∴6秒时，点Q运动到点O左侧距离点O1个单位处，
设继续运动秒后使得
∵，
∴，
∴经过秒后，，
综上，经过秒或秒，．
【点睛】本题考查数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的运用，路程，时间，速度三者的关系等知识点，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，分类计算时不重不漏．