新高考数学之圆锥曲线综合讲义第17讲斜率定值问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学之圆锥曲线综合讲义第17讲斜率定值问题(原卷版+解析)，共31页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．
2．如图，在平面直角坐标系xy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
3．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
4．已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C经过点，点A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
5．已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
6．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．
7．已知圆F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．
（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(mb>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．
【答案】(1)x22+y2=1;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（1）解：由题意，得c=1，e=ca=22，故a=2，
从而b2=a2−c2=1，
所以椭圆的方程为x22+y2=1． ① 5分
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx， ②
直线CD的方程为y=−k(x−1)， ③ 7分
由①②得，点A，B的横坐标为±22k2+1，
由①③得，点C，D的横坐标为2k2±2(k2+1)2k2+1， 9分
记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1−x3))，D(x4，k(1−x4))，
则直线AC，BD的斜率之和为
kx1−k(1−x3)x1−x3+kx2−k(1−x4)x2−x4
=k⋅(x1+x3−1)(x2−x4)+(x1−x3)(x2+x4−1)(x1−x3)(x2−x4)
=k⋅2(x1x2−x3x4)−(x1+x2)+(x3+x4)(x1−x3)(x2−x4)13分
=k⋅2(−22k2+1−2(k2−1)2k2+1)−0+4k22k2+1(x1−x3)(x2−x4)
=0． 16分
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
2．如图，在平面直角坐标系xy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得的值，进而得的关系，再利用与椭圆相交于，两点，，可得；（2）斜率存在时设出直线，的斜率分别为，，，利用，表示的斜率，利用直线相交分别求的坐标，再利用斜率公式求，运算化简含式子，得出结果，最后再考虑斜率不存在情况亦成立．
试题解析：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；
故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，
由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；
故=2，=2；
（2）由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），
显然k1≠k2；所以kCB=﹣； 同理kDB=﹣，
于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；
从而点N的坐标为；
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；
即直线MN的斜率为定值﹣1；
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；
此时CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N ，从而kMN=﹣1也成立；
由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；
考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、分类讨论；4、直线的斜率．
【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．
3．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
【答案】Ⅰ ；（Ⅱ）
【分析】
（I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值；
（II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去或的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示．再由斜率公式可得直线的斜率为定值．
【详解】
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,
所以, . 因为,
解得, ,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴,
所以与所在直线关于直线对称.
设直线的斜率为, 则直线的斜率为.
所以直线的方程为,
直线的方程为.
设点, ,由消去,
得. ①
因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根,
则, 所以.
同理.所以.
又.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率为定值，该值为.
法2：设点，
则直线的斜率, 直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即, ①
因为点在椭圆上,
所以，② . ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化简得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②③得,得.
所以直线的斜率为为定值.
法3：设直线的方程为，点，
则,
直线的斜率, 直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴,
所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即,
化简得.
把代入上式, 并化简得
. (*)
由消去得, (**)
则,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一个根为，不合题意.
若时, 合题意.
所以直线的斜率为定值，该值为.
4．已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C经过点，点A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为.
【分析】
（1）先求出直线的方程，再由点到直线的距离公式得出原点到直线的距离，从而可得出答案.
(2)由条件结合（1）先求出椭圆方程，根据条件可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立，求解出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可得直线的斜率，得出答案.
【详解】
解：（1）过点，的直线的方程为
则坐标原点到直线的距离为
可得.
（2）由（1）易知，则椭圆：经过点，
解得，则椭圆：.
因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称.
则，设直线的斜率为，则直线的斜率为
所以设直线的方程为，直线的方程为
设点，.
由，消去，得.
因为点在椭圆上，则有，即.
同理可得.
所以，又.
所以直线的斜率为.
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和椭圆中的定值问题，解答本题的关键是由条件得出，设直线的方程，与椭圆方程联立，求解出点的横坐标，属于中档题.
5．已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）是定值，且定值为．
【分析】
（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可求出椭圆方程；
（2）设，，，，，，所以，，，由得，代入得，所以，即，从而得到直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．
【详解】
解：（1）由题意可知：，解得，
∴椭圆C的方程为：；
（2）设，，，
∴，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为．
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
6．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为，定值为
【分析】
（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出即可
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线与椭圆有且仅有一个公共点，推出，然后通过直线与圆的方程联立，
设，，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出为定值，然后再验证直线的斜率不存在时也满足即可
【详解】
（1）由题意得：，
又因为点在椭圆上
所以
解得
所以椭圆的标准方程为：
（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为
证明如下：
假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：
当直线的斜率存在时，设的方程为
由方程组得
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点
所以
即
由方程组得
则
设，，则
设直线，的斜率分别为，
所以
将代入上式得
要使得为定值，则，即
所以当圆的方程为时，
圆与的交点，满足为定值
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为
此时圆与的交点，也满足为定值
综上：当圆的方程为时，
圆与的交点，满足为定值
【点睛】
涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
7．已知圆F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．
（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(m