新高考数学之圆锥曲线综合讲义第1讲轨迹问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学之圆锥曲线综合讲义第1讲轨迹问题(原卷版+解析)，共26页。
1．方程所表示的曲线是
A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆
2．方程表示的曲线为
A．两个半圆B．一个圆C．半个圆D．两个圆
3．在数学中有这样形状的曲线：．关于这种曲线，有以下结论：
①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意两点之间的距离都不超过2；
③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5．
其中正确的结论有
A．①③B．②③C．①②D．①②③
4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有
①双纽线经过原点； ②双纽线关于原点中心对称；③；④双纽线上满足的点有两个．
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有
①双纽线关于原点中心对称；②；
③双纽线上满足的点有两个；④的最大值为．
A．①②B．①②④C．②③④D．①③
6．如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，，则点的轨迹方程为
A．（原点除外）B．（原点除外）
C．（原点除外）D．（原点除外）
7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为
A．B．3C．D．4
8．由曲线围成的图形面积为
A．B．C．D．
9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是
A．B．
C．D．
10．已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是
A．1B．C．D．
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为．给出下列四个结论：
①曲线有四条对称轴；
②曲线上的点到原点的最大距离为；
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴
围成的矩形面积最大值为；
④四叶草面积小于．
其中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
12．曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的个数为
（1）曲线一定经过原点；
（2）曲线关于轴、轴对称；
（3）的面积不大于8；
（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内．
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（共2小题）
13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有
A．曲线关于原点中心对称
B．的取值范围是，
C．曲线上有且仅有一个点满足
D．的最大值为
14．在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则
A．曲线关于原点对称
B．
C．曲线围成的区域面积小于18
D．到点的最近距离为
三．填空题（共6小题）
15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过．
③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是 ．
17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：
①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；
③曲线围成区域的面积大于；
④方程表示的曲线在第二象限和第四象限．
其中正确结论的序号是 ．
18．曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹．则曲线与轴交点的坐标是 ；又已知点，为常数），那么的最小值（a） ．
19．已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为 ．
20．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）．则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 ；
四．解答题（共5小题）
21．如图，直线和相交于点，，点．以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等．若为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．
22．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，，，是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程．
23．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．
24．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．
（Ⅰ）设为点的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点的轨迹的方程；
（Ⅲ）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使△的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由．
第1讲 轨迹问题
一．选择题（共12小题）
1．方程所表示的曲线是
A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆
【解答】解：将方程化简，
得，其中，．
因此方程表示以为圆心，半径的圆．
故选：．
2．方程表示的曲线为
A．两个半圆B．一个圆C．半个圆D．两个圆
【解答】解：两边平方整理得：，
化简得，
由得，即或，
当时，方程为，
表示圆心为且半径为1的圆的右半圆；
当时，方程为，
表示圆心为且半径为1的圆的左半圆
综上所述，得方程表示的曲线为两个半圆
故选：．
3．在数学中有这样形状的曲线：．关于这种曲线，有以下结论：
①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意两点之间的距离都不超过2；
③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5．
其中正确的结论有
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【解答】解：①曲线经过的整点有，，，，，，，，，恰有9个点，即①正确；
②点和均在曲线上，而这两点间的距离为，即②错误；
③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．
此时有，，整理得，，是以为圆心，为半径的圆，
作出曲线在第一象限的图形如图所示，
面积，
故曲线的面积为，即③正确．
故选：．
4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有
①双纽线经过原点； ②双纽线关于原点中心对称；③；④双纽线上满足的点有两个．
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
【解答】解；根据双纽线的定义可得，，
将，代入，符合方程，所以①正确；
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，②正确；
根据三角形的等面积法可知，，即，
亦即，③正确；
若双纽线上点满足，则点在轴上，即，代入方程，
解得，所以这样的点只有一个，④错误．
故选：．
5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有
①双纽线关于原点中心对称；②；
③双纽线上满足的点有两个；④的最大值为．
A．①②B．①②④C．②③④D．①③
【解答】解：根据双纽线的定义可得，，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，①正确；
根据三角形的等面积法可知，，即，
亦即，②正确；
若双纽线上点满足，则点在轴上，即，代入方程，
解得，所以这样的点只有一个，③错误；
因为，所以
由余弦定理可得，
，所以的最大值为，④正确．
故选：．
6．如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，，则点的轨迹方程为
A．（原点除外）B．（原点除外）
C．（原点除外）D．（原点除外）
【解答】解：设，直线的方程为，
由得，
联立和
消去得，所以，
所以，
由得，所以，所以，
所以，把代入得，
故选：．
7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为
A．B．3C．D．4
【解答】解：曲线围成的平面区域，关于，轴对称，设曲线上的点，可得．
所以曲线围成的平面区域的直径为：3．
故选：．
8．由曲线围成的图形面积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据对称性，曲线围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍，
当且时等价为，
即，
即，
圆心，半径，
则的面积，的面积，
在第一象限部分的面积，
则四个象限的面积为，
故选：．
9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是
A．B．
C．D．
【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，
选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；
选项等价于，或，表示折线的全部，故错误；
选项等价于或，表示折线在双曲线的外部
（包括有原点）的一部分，表示双曲线，符合题中图象，故正确；
选项等价于或，
表示表示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，
表示双曲线在轴下方的一部分，故错误．
故选：．
10．已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是
A．1B．C．D．
【解答】解：当时，只需要满足，即可；
当时，对不等式两边平方整理得到，所以区域如下图．
易知其面积为．
故选：．
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为．给出下列四个结论：
①曲线有四条对称轴；
②曲线上的点到原点的最大距离为；
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴
围成的矩形面积最大值为；
④四叶草面积小于．
其中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
【解答】解：四叶草曲线方程为，
将换为，不变，可得方程不变，则曲线关于轴对称；将换为，不变，可得方程不变，则曲线关于轴对称；
将换为，换为，可得方程不变，则曲线关于直线对称；将换为，换为，可得方程不变，则曲线关于直线对称；
曲线有四条对称轴，故①正确；
由与联立，可得或，即有曲线上的点到原点的最大距离为，故②错误；
设曲线第一象限上任意一点为，，可得围成的矩形面积为，由，
则，即，当且仅当取得最大值，故③正确；
易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于，则④正确．
故选：．
12．曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的个数为
（1）曲线一定经过原点；
（2）曲线关于轴、轴对称；
（3）的面积不大于8；
（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：设，则，
对于（1），原点代入方程，得，即方程不成立，
则曲线一定经过原点，命题错误；
对于（2），以代替，代替，方程成立，
方程也成立，
即曲线关于、轴对称，命题正确；
对于（3），，，的最大面积为，命题正确；
对于（4），令，可得，根据距离乘积为16可以得出的取值只可能在到之间；
同理的取值只可能在到之间；
所以曲线在一个面积为的矩形范围内，命题错误．
综上，正确的命题有（2）（3），共2个．
故选：．
二．多选题（共2小题）
13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有
A．曲线关于原点中心对称
B．的取值范围是，
C．曲线上有且仅有一个点满足
D．的最大值为
【解答】解：在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．
故点，满足，
点，代入，得到，故正确；
对于：设轴上范围的最大值为，所以，
解得，
故的范围为．故错误；
对于：若，则点在的垂直平分线上，即，设点，所以，所以，即仅原点满足，故正确；
对于，
化简得，
根据，，得到，
所以的最大值为，的最大值为，故错误．
故选：．
14．在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则
A．曲线关于原点对称
B．
C．曲线围成的区域面积小于18
D．到点的最近距离为
【解答】解：当，时，曲线的方程为，
去掉绝对值化简可得，
将的中心平移到位于第一象限的部分，
因为点，，都在曲线上，
所以曲线的图象关于轴、轴和坐标原点对称，
作出图象如图所示，
由图可知曲线关于原点对称，故选项正确；
令中的，解得，
向右平移一个单位可得到横坐标为3，
根据对称性可知，故选项错误；
令中的，解得，
向上平移个单位可得纵坐标的最大值为，
曲线第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，
所以曲线围成的区域面积小于，故选项正确；
令中的，
可得，
所以到点的最近距离为，故选项正确．
故选：．
三．填空题（共6小题）
15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过．
③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4．
其中，所有正确结论的序号是 ② ．
【解答】解：①令，方程化为：，解得，可得点；令，方程化为：，解得，可得点；
令，方程化为：，解得，可得点．由此可得：曲线恰好经过8个整点，因此不正确．
②，方程化为：，曲线上任意一点到原点的距离，即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，可知正确．
③由四个点作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线所围成的“花形”区域的面积大于4．
其中，所有正确结论的序号是②．
故答案为：②．
16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是 ①② ．
【解答】解：根据题意，曲线，
用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①，当时，，即为，，可得，
所以曲线经过点，，，，
再根据对称性可知，曲线还经过点，，故曲线恰好经过6个整点，①正确；
对于②，由上可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，
再根据对称性可知，曲线上的所有点到原点的距离都不超过，②正确；
对于③，因为在轴上方，图形面积大于四点，，，围成的矩形面积，
在轴下方，图形面积大于三点，，围成的等腰直角三角形的面积，
所以曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误．
故答案为：①②．
17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：
①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；
③曲线围成区域的面积大于；
④方程表示的曲线在第二象限和第四象限．
其中正确结论的序号是 ②④ ．
【解答】解：，
（当且仅当时取等号），
则②正确；
将和联立，
解得，
即圆与曲线相切于点，，，，
则①和③都错误；
由，得方程表示的曲线在第二象限和第四象限，故④正确．
故答案为：②④．
18．曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹．则曲线与轴交点的坐标是 ；又已知点，为常数），那么的最小值（a） ．
【解答】解：（1）设动点，由题意可得，
①当时，，无轨迹；
②当时，化为，化为，与轴无交点；
③当时，化为，化为，．
令，解得．
综上①②③可知：曲线与轴的交点为；
（2）由（1）可知：．
如图所示，令，则，或，
解得或1．
①当或时，，（a）；
②当时，当直线与相交时的交点满足取得最小值，
此抛物线的准线为，直线与准线的交点，此时（a）；
③当时，当直线与相交时的交点满足取得最小值，
此抛物线的准线为，直线与准线的交点，此时（a）．
综上可知：（a）
19．已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为 ．
【解答】解：由，，则，，
所以，
而在三角形中，
所以可得，而，
所以可得，所以为定值且大于，
所以可得的轨迹为椭圆，且长轴长，焦距，焦点在轴上，中心在原点的椭圆，即，，所以，
所以的轨迹方程为：，
故答案为：．
20．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）．则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 ；
【解答】解：显然直线的斜率存在，记为，的方程记为：，，，，，，将直线方程代入得：，则有：
△①，②，③，又，
；
，，
得：且，
，代入①验证，满足；
故；
设的重心为，
则④，⑤，
由④⑤两式消去参数得：的轨迹方程为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
21．如图，直线和相交于点，，点．以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等．若为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．
【解答】解：法一：如图建立坐标系，
以为轴，的垂直平分线为轴，点为坐标原点．
依题意知：曲线段是以点为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中，分别为的端点．
设曲线段的方程为
，，，
其中，分别为，的横坐标，．
所以，，，．
由，得
，①
．②
由①，②两式联立解得．再将其代入①式并由解得
因为是锐角三角形，所以，故舍去
所以，．
由点在曲线段上，得．
综上得曲线段的方程为
．
解法二：如图建立坐标系，
分别以、为、轴，为坐标原点．
作，，，垂足分别为、、．
设，、，、，．
依题意有
，
，
由于为锐角三角形，故有
．
设点是曲线段上任一点，则由题意知属于集合
，，，．
故曲线段的方程为，．
22．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，，，是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程．
【解答】解：由题设知，，，，，
直线的斜率为，
直线的方程为，①
同理可得直线的方程为．②
将①②两式相乘，得．③
点，在双曲线上，
，可得，④
将④代入③，得，整理得，即为轨迹的方程．
点、不重合，且它们不与、重合，
，轨迹的方程为
23．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．
【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为，、，，
由题意得：或，
，
可知圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，
因此，，则，
所以轨迹的方程为．
24．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．
（Ⅰ）设为点的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点的轨迹的方程；
（Ⅲ）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使△的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：设点的坐标为．
记，
则．
由；
（Ⅱ）解：设点的坐标为．
当时，点和点在轨迹上．
当时，由，得．
又，所以为线段的中点．
在△中，，所以有．
综上所述，点的轨迹的方程是；
（Ⅲ）结论：在点的轨迹上，存在点使△的面积，此时的正切值为2．
理由如下：
上存在点，使的充要条件是，
显然，存在点，使；
不妨取，则，，，，
，，
，
又，
，
．