新高考数学之圆锥曲线综合讲义第5讲四形面积问题(原卷版+解析)

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1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．
2．设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．
3．设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线l：x＝a2交x轴于点A，且．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．
4．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
5．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
6．已知点在椭圆:（）上，且点到左焦点的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于坐标原点的对称点为，又､两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.
7．如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．
8．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.
9．已知椭圆，过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点（与不重合）.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.
10．已知椭圆的左焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于、．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
11．已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．
13．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程
（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．
（1）求动点的轨迹方程；
（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．
15．已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.
16．已知，分别为椭圆的左､右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.
17．已知抛物线，圆，当时，抛物线与圆仅有两个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，若圆与抛物线有四个交点，且交点分别为，，，，求四边形面积的最大值．
18．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，，，四点，求四边形面积的最大值．
第5讲 四形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=．
【详解】
（I）由已知可得：，
解得a2=6，b2=2，
∴椭圆C的方程为；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．
联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，
∴线段AB的中点D，
∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．
联立，解得=，x3=﹣3ky3．
∵四边形MF1NF2为矩形，
∴=0，
∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，
∴=0，
∴=0，解得k=，
故直线方程为y=．
考点：椭圆的简单性质．
2．设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．
【答案】（I）； （Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论．
①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；
②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值．
【详解】
（Ⅰ）设椭圆E的焦距为，则有，解得，∴，
因此，椭圆E的方程为；
（Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为．
①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，，
此时，四边形PMQN的面积为；
②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、，
将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，
，由韦达定理可得，，
∴
，
同理可得，
所以，四边形PMQN的面积为 ，
令，则，
所以，
∵，所以，，由二次函数的基本性质可知，当，
所以，．
综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
3．设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线l：x＝a2交x轴于点A，且．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为．
【分析】
（1）由题意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程；
（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y＝k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．
【详解】
（1）由题意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0）
∵
∴F2为AF1的中点
∴a2＝3，b2＝2
∴椭圆方程为
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积．
同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y＝k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）＝0
设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2，x1x2
所以，|x1﹣x2|，所以|DE||x1﹣x2|，
同理|MN|.
所以四边形的面积
令u，则S＝4
因为u2，当k＝±1时，u＝2，S，且S是以u为自变量的增函数，所以．
综上可知，．
故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．
4．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
【考点】
圆锥曲线综合问题
【名师点睛】
高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
5．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.
【分析】
根据的面积为列出一个关于的等式，削去求出离心率；根据关系巧设直线的方程，与直线FP的方程联立解出焦点的坐标，利用|FQ|=解出斜率，把直线FP的方程与椭圆方程联立，解出点坐标，分别求出和的面积，利用四边形的面积为，解出，得出椭圆的标准方程.
【详解】
（Ⅰ）设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.
由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，
即，与直线FP的方程联立，
可解得，即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=，有，
整理得，所以，即直线FP的斜率为.
（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.
由（i）得直线FP的方程为，
与椭圆方程联立消去，
整理得，解得（舍去）
或.因此可得点，进而可得，所以.
由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，
故直线和都垂直于直线.
因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.
所以，椭圆的方程为.
【点睛】
列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围.“减元”思想是解决解析几何问题的重要思想，巧设直线方程利用题目条件列方程求解斜率，求椭圆方程的基本方法就是待定系数法，根据已知条件列方程通过解方程求出待定系数.
6．已知点在椭圆:（）上，且点到左焦点的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于坐标原点的对称点为，又､两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题意点到左焦点的距离为3，结合两点间距离公式可求得的值，将点代入椭圆，根据椭圆中的关系式即可求得，进而得椭圆的标准方程.
（2）由可设直线的方程为，联立椭圆方程，整理变形根据两个交点可令求得的范围.设､，由韦达定理表示出，，由弦长公式求得，点到直线距离公式求得到的距离，结合用表示出，令，可化简为，再令，利用导函数求得的单调性和最值，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆经过点，所以.
设左焦点（），
则由得，
解得.
又，于是，
解得（舍负），
进而.
故椭圆的标准方程为.
（2）因为，可设直线的方程为（），
联立并整理得.
由，解得.
设､，则，.
所以
.
又与之间的距离即到的距离，且.
所以四边形的面积.
设，由可得，
则，
记之为函数，则，
易知在区间内单调递增，在区间内单调递减.
故的最大值为，此时，解得，符合题意，
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，弦长公式及点到直线距离公式的用法，椭圆中四边形面积问题的解法，利用导数求函数的最值，换元法在函数中的应用，综合性强，属于难题.
7．如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．
【答案】（1）＋＝1(x≠0)；（2）.
【分析】
（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)，求出直线NB1 ，直线NB2，两式相乘，结合，即可求解.
（2）设MB1为，可得直线NB1，直线NB2，两式联立可得xN＝，由S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)，利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．
由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，
所以kMB1＝，kMB2＝.
因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
所以直线NB1：y＋3＝－x，①
直线NB2：y－3＝－x，②
①×②得y2－9＝x2.
又因为，
所以y2－9＝x2＝－2x2，
整理得动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
（2）由（1），设MB1为
可得得直线NB1：y＝－x－3，①
直线NB2：y＝2kx＋3，②
联立①②解得x＝，即xN＝，
故四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)
＝3×＝＝≤，
当且仅当|k|＝时，S取得最大值.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆中的四边形面积问题，解题的关键求出，考查了计算求解能力.
8．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据题意求出，进而可求出结果；
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.
【详解】
解：（1）由题设条件可得，，解得，
∴，所以椭圆的方程为
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积
当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，
设直线的方程为，与椭圆联立可得
，
由，得
显然直线的直线方程为，直线，间的距离
，
同理可求得，间的距离为
所以四边形面积为

（等号当且仅当时成立）
又，
故由以上可得外切矩形面积的取值范围是
【点睛】
本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.
9．已知椭圆，过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点（与不重合）.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【分析】
（1）先设出直线的方程，利用垂直关系求出的值即可；
（2）由（1）有直线的方程为，，，求得中点，根据，求得，再由四边形的面积为，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
【详解】
（1）根据题意有：直线、、斜率均存在.
设，、
联立：，有：，
所以：，.
因为，
所以：，
化简得：，
所以：，
化简得：，解得或.
当时，过点，则与或重合，不满足题意，舍去，
所以：，即
所以：直线过定点.
（2）由（1）有：，
则：，，.
如图所示：
设线段的中点为，
则：，.
因为以为圆心的圆与直线相切于的中点，
所以：，
又因为：，且与平行，
所以：，
解得或.
由上图有：四边形的面积.
①当时：，易得：、，
所以：.
②当时：
有：，
所以：.
由①②有：或.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的综合问题，以及定点问题，面积问题，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于难题.
10．已知椭圆的左焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于、．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由焦点坐标和离心率及、、之间的关系求出、的值，进而可得椭圆的标准方程；
（2）由题意设的坐标为，由（1）得左焦点的坐标，可得直线的斜率，由题意可得的方程，将直线与椭圆的方程联立求出两根之和，运用韦达定理求得，再由四边形是平行四边形，可得，由此求出的值，从而可得的长，进而求出四边形的面积．
【详解】
（1）由已知得：，，所以，又，解得，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设点的坐标为，则直线的斜率，
当时，直线的斜率，直线的方程是；
当时，直线的方程也符合的形式．
由，得（*），其判别式，
设、，则，，
因为四边形是平行四边形，所以，即，
所以，解得，
此时，方程（*）为，得，则.
此时的面积．
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，及平行四边形的性质，考查了四边形面积的计算，属于中档题．
11．已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件求出、、的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）求出曲线的方程，设、、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，代入曲线的方程，可得出，求得以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
（1）由已知，，所以，
又因为双曲线的离心率为，
可知，椭圆的离心率为即，故，进而，
所以椭圆的方程为；
（2）将椭圆上每一点横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线的方程为，
设、、，由，
由韦达定理可得，，
且，即，
由四边形是平行四边形，所以，
则，，
因为点在椭圆上，所以，整理可得，
所以，
则，
到直线的距离，
所以四边形的面积为.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或或或．
【分析】
（1）由题意知，当的面积的最大值为时，得到，再根据，得到，代入求解；
（2）设直线的方程为，，，由及梯形的面积为，得到，然后由与联立，结合韦达定理求解.
【详解】
（1）由题可知，当点与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，
设，，因为的面积的最大值为，
所以，即，
又，
所以，，
则，解得，
由，结合，可得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
由及四边形的面积为，可知点，位于轴同侧，
且，
将代入，消去可得，
则，，且，即，
所以，
整理可得，解得或，即或，
所以直线的方程为或或或．
【点睛】
方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
13．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程
（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）根据题意可得，进而判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程；
（2）可得轴时和轴时不符合题意，设方程为，则直线方程为，联立直线与椭圆，表示出点到直线的距离，即可表示出四边形的面积，求出，得出直线方程.
【详解】
（1）在线段的垂直平分线上，，
又在上，，
则可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，
则，即，，，
故的方程为；
（2）若轴时，如图，此时，，则，不符合题意；
若轴时，如图，此时，，则，不符合题意；
当都不与坐标轴垂直时，如图，
设斜率分别为，由于倾斜角互补，则斜率为，
则直线方程为，直线方程为，
联立直线与椭圆，可得，
设，则，，
则点到直线的距离为，
同理可得点到直线的距离为，
则
，解得，
故直线的方程为或.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．
（1）求动点的轨迹方程；
（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；②.
【分析】
（1）设点的坐标为，根据已知条件得出，结合椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆的焦点位置可得出点的轨迹方程，并求出的取值范围；
（2）①分析出直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与点的轨迹方程联立，求出点的坐标，同理求出点的坐标，求出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标；
②求得、，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值．
【详解】
（1）设点，依题意，
，
所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，，
动点的轨迹方程是；
（2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
设直线的方程为，则直线的方程为，
直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点．
设、，由，
由韦达定理可得，则，
所以点的坐标为，同理可得点，
直线的斜率为，
直线的方程是，
即，
当时，直线的方程为，直线过定点．
综上，直线过定点；
②由①可得，，
，
同理可得，
所以，四边形的面积为，
当且仅当取等号．
因此，四边形的面积的最小值为.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
15．已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求点的坐标，根据求椭圆方程；（2）首先设点，利用点的坐标表示点的坐标，并利用四边形的对角线表示四边形的面积，化简为定值.
【详解】
（1）由题意，设直线：，
令，则，于是.所以，，
故椭圆的方程为.
（2）设，且，
又，，所以直线：，
令，，则.
直线：，令，，
则.
所以四边形的面积为
，
所以四边形的面积为定值.
【点睛】
方法点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
16．已知，分别为椭圆的左､右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据条件得，从而得解；
（2）由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，设的中点为，则，知四边形为平行四边形，由，结合韦达定理可得表达式，进而可得范围.
【详解】
（1）由题意可知，，
∵恰好垂直平分线段，∴，
令，代入得：，∴，
∴，解得，
∴椭圆的方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，
设，，
联立方程，消去得：，
∴，
∴，，
设的中点为，则，
∴与互相平分，四边形为平行四边形，
∴
，
令，则，
∵在上单调递增，
∴，∴，
∴.
综上所述，四边形面积的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；
（4）利用代数基本不等式： 代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性.：直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. 因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式求解.
17．已知抛物线，圆，当时，抛物线与圆仅有两个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，若圆与抛物线有四个交点，且交点分别为，，，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）联立方程组，结合，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）联立方程组方程组，列出不等式组，求得的范围，设，，求得面积，利用换元法和导数求得函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）联立方程组，整理得有两个相同的解，
因为抛物线与圆仅有两个交点，可得因此，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）若圆与抛物线有四个交点，则方程组有四组解，
可得方程有两个不同的解，所以，
解得，
由抛物线和圆的对称性可知，四边形是梯形，
设四边形的面积为，，，
则，，
因为，是方程的两个不同的解，，，
则，
则
，
设，则，则．
构造函数，，
则，时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减．
因此当时，函数取得最大值，为，
故时，取得最大值，为．
【点睛】
解后反思 关于求的最大值亦可用推广的基本不等式来处理，即，当且仅当，即时，有最大值．
18．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，且定值为.
【分析】
（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；
（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.
【详解】
（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，，，四点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由，得的关系，再由弦长得关系，结合可解得得椭圆方程；
（2）设直线，的方程分别为，．设，，直线方程代入椭圆方程由韦达定理得主，，由弦长公式得弦长，求出两平行线间距离，求得面积的表达式，利用换元法结合基本不等式可得最大值．
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为．
由，得，
即，
即，即．
由，得，．
根据椭圆的焦点弦可知过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为，得，即，解得，则．
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线，的方程分别为，．
联立消去得，．
设，，则，，
所以
．
又直线，之间的距离，
所以．
令，则，
则，当且仅当，即时等号成立．
所以四边形面积的最大值为．
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆相交中的面积的最值．解题方法是设而不求的思想方法．设交点坐标，即设直线方程了，与椭圆方程联立消元应用韦达定理，然后由弦长公式求弦长，再求得平行线间距离后可把面积表示炎参数的函数，然后由换元法、基本不等式等求得最大值．