专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc5958" 【题型1 两条直线的平行与垂直】 PAGEREF _Tc5958 \h 3
\l "_Tc20427" 【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 PAGEREF _Tc20427 \h 4
\l "_Tc21533" 【题型3 两直线的交点问题】 PAGEREF _Tc21533 \h 5
\l "_Tc21108" 【题型4 距离问题】 PAGEREF _Tc21108 \h 7
\l "_Tc14004" 【题型5 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc14004 \h 9
\l "_Tc10392" 【题型6 点（或直线）关于点对称】 PAGEREF _Tc10392 \h 11
\l "_Tc435" 【题型7 点关于直线对称】 PAGEREF _Tc435 \h 12
\l "_Tc2557" 【题型8 直线关于直线的对称问题】 PAGEREF _Tc2557 \h 15
\l "_Tc5759" 【题型9 直线系方程】 PAGEREF _Tc5759 \h 17
1、两条直线的位置关系
【知识点1 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【知识点2 三种距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
【知识点3 点、线间的对称关系】
1．六种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
【知识点4 直线系方程】
1．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.
【题型1 两条直线的平行与垂直】
【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线l1:2x+my−1=0，l2:m+1x+3y+1=0，则“m=2”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【解答过程】当m=2时，直线l1:2x+2y−1=0，l2:3x+3y+1=0，则l1//l2，
当l1//l2时，2m+1=m3≠−11，解得m=2，
所以“m=2”是“l1//l2”的充要条件.
故选：C.
【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（ ）
A．−6B．73C．23D．9
【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.
【解答过程】由题意可得−1−mm−4⋅2=−1，解得m=−6.
故选：A.
【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“a=0”是“直线l1:x+2ay−2024=0与直线l2:(a−1)x+ay+2024=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出直线平行的充要条件为a=32，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【解答过程】若l1//l2，则有1×a=2a(a−1)，所以a=0或a=32，
当a=0时，l1:x−2024=0,l2:−x+2024=0，故l1，l2重合；
当a=32时，l1:x+3y−2024=0,l2:12x+32y+2024=0，满足条件，
所以“a=0”是“l1//l2”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（ ）
A．A=−2B≠0B．A=2B≠0
C．B=−2A≠0D．B=2A≠0
【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【解答过程】直线y=2x−3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax+By+C=0的斜率为−12，
即−AB=−12且A≠0，B≠0，所以B=2A≠0.
故选：D.
【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】
【例2】（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）．
A．x−y+2=0B．x−2y+4=0
C．x−y−2=0D．x+2y−4=0
【解题思路】依题意设直线l的方程为x−y+m=0，代入0,−2求出参数的值，即可得解.
【解答过程】因为直线l平行于直线x−y=0，所以直线l可设为x−y+m=0，
因为在y轴上的截距是−2，则过点0,−2，代入直线方程得0−−2+m=0，
解得m=−2，所以直线l的方程是x−y−2=0.
故选：C.
【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x−2y+5=0B．x+2y−3=0
C．2x−y+4=0D．2x+y=0
【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】直线x+2y+3=0的斜率为−12，故所求直线的斜率为2，
所以，过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y−2=2x+1，
即2x−y+4=0.
故选：C.
【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则AB边上的高所在的直线方程是（ ）
A．2x+y−7=0B．2x−y−1=0
C．x+2y−8=0D．x−2y+4=0
【解题思路】设AB边上的高所在的直线为l，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设AB边上的高所在的直线为l，
由已知可得，kAB=1−21−3=12，所以直线l的斜率kl=−2.
又l过C2,3，所以l的方程为y−3=−2x−2，
整理可得，2x+y−7=0.
故选：A.
【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点−2，0与y=x平行的直线方程是（ ）
A．x−y−2=0B．x+y+2=0
C．x−y+2=0D．x+y−2=0
【解题思路】根据直线与y=x平行设出直线方程，根据过点−2，0即可求解.
【解答过程】设直线方程为y=x+b，因为直线过点−2，0，
所以b=2，所以直线方程为x−y+2=0.
故选C.
【题型3 两直线的交点问题】
【例3】（2024·海南海口·二模）若直线y=−2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k=（ ）
A．4B．2C．12D．14
【解题思路】求出直线y=−2x+4与直线y=x+2的交点，再代入求解作答.
【解答过程】解方程组y=−2x+4y=x+2，得直线y=−2x+4与直线y=x+2的交点(23,83)，
依题意，83=23k，解得k=4，
所以实数k=4.
故选：A.
【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（ ）
A．(3，0)B．(−1,4)C．(−3,6)D．(4,−1)
【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可.
【解答过程】2x−y+6=0……①
x+y=3……②
①+②得：3x=−3⇒x=−1……③
③代入②有：y=4……④
由③④得交点坐标为：−1,4.
故选：B.
【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线2x−y−1=0的直线方程为（ ）
A．x−2y−6=0B．x+2y−2=0
C．2x−y−3=0D．2x+y−2=0
【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.
【解答过程】由题知：2x−3y+10=03x+4y−2=0，解得：x=−2y=2，交点(−2,2).
直线2x−y−1=0的斜率为2，所求直线斜率为−12.
所求直线为：y−2=−12(x+2)，即x+2y−2=0.
故选：B.
【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,l3:x+my−1=0，若三条直线无法构成三角形，则实数m可取值的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】分l1//l2、l1//l3、l2//l3及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的m的值，即可得解.
【解答过程】①l1//l2时，则2m=7×1，解得m=72，经检验符合题意；
②l1//l3时，则7m=2×1，解得m=27，经检验符合题意；
③l2//l3时，则m2=1×1，解得m=±1，经检验符合题意；
④三条直线交于一点7x+2y+1=0mx+y=0x+my−1=0，解得m=2x=−13y=23或m=−4x=−115y=−415，
则实数m可取值的集合为72,27,−1,1,2,−4，即符合题意的实数m共6个.
故选：D.
【题型4 距离问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线l1:2x+y−5=0与l2:x−by+5=0之间的距离为（ ）
A．5B．25C．35D．55
【解题思路】先通过平行求出b，再利用平行线的距离公式求解.
【解答过程】因为l1∥l2，所以b≠0，21=1−b≠−55，
解得b=−12，所以l2:2x+y+10=0，
故两平行直线间的距离d=10−−54+1=35．
故选：C．
【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设A(0,18)，若函数y=ax2(a>0)图象上任意一点P(x0,y0)满足|PA|=y0+18，则a=（ ）
A．14B．12C．2D．4
【解题思路】根据题意结合两点间距离公式分析运算.
【解答过程】因为点P(x0,y0)在函数y=ax2(a>0)图象上，则y0=ax02≥0，即x02=y0a，
又因为|PA|=x0−02+y0−182=y0+18，则x02+y0−182=y0a+y0−182=y0+182，
整理得a−2y0=0，
由于a−2y0=0对y0恒成立，则a−2=0，解得a=2.
故选：C.
【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程−x2+2ax+22b=2在实数范围内有解，则a2+b2的最小值为（ ）
A．12B．14C．22D．24
【解题思路】将方程中的a,b看成主元，x看成系数可得2xa+22b−(x2+2)=0，表示一条直线，直线上的点为(a,b)，根据a2+b2的几何意义确定点(a,b)到点(0,0)的距离不小于(0,0)到直线的距离，结合点到直线的距离公式和二次函数的性质即可求解.
【解答过程】由题意知，将方程中的a,b看成主元，x看成系数，
则变成二元一次方程2xa+22b−(x2+2)=0，
该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为(a,b)，
a2+b2的几何意义是点(a,b)与(0,0)的距离，
所以直线上的点(a,b)到点(0,0)的距离不小于(0,0)到直线的距离，
(0,0)到直线2xa+22b−(x2+2)=0的距离为
d=2x⋅0+22⋅0−(x2+2)(2x)2+(22)2=x2+24x2+8=x2+22，
即a2+b2≥x2+22，所以a2+b2≥x2+24，
又y=x2+24=14x2+12，是开口向上的抛物线，
当x=0时，ymin=12，所以a2+b2≥12，
即a2+b2的最小值为12.
故选：A.
【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2+b2的取值范围是（ ）
A．[−2,−1)B．(−2,−1)
C．(−2.−1]D．[−2,−1]
【解题思路】
根据题意设直线l：ax+by=0，点A1,−3，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为d=a−3ba2+b2，由直线l的斜率不存在得d>1，由OA⊥l得dmax=2，化简即可求解.
【解答过程】
根据题意，设直线l：ax+by=0恒过原点，点A1,−3，
那么点A1,−3到直线l的距离为：d=a−3ba2+b2，
因为a>0,b<0，所以d=a−3ba2+b2，且直线l的斜率k=−ab>0，
当直线l的斜率不存在时，d=a−3ba2+b2=1，所以d>1，
当OA⊥l时，dmax=OA=1+3=2，
所以1因为3b−aa2+b2=−a−3ba2+b2，所以−2≤3b−aa2+b2<−1.
故选：A.
【题型5 与距离有关的最值问题】
【例5】（2024·吉林·二模）直线l的方程为λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为（ ）
A．−1B．−5C．1D．5
【解题思路】求出直线λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R所过定点A的坐标，分析可知当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数λ的值.
【解答过程】直线方程λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R可化为λx+y−3+2x−y=0，
由x+y−3=02x−y=0可得x=1y=2，
所以，直线λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R过定点A1,2，
当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA=2，
又因为直线l的斜率为k=−λ+2λ−1=−12，解得λ=−5.
故选：B.
【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A．95 B．185 C．2910 D．295
【解题思路】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.
【解答过程】因为36=48≠−125，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即|−24−5|62+82=2910，所以|PQ|的最小值为2910.
故选：C.
【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合A=x,ykx−y+k=0，集合B=x,yy=kx−1，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则d的最大值为（ ）
A．2B．3C．1D．2
【解题思路】将集合A,B看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案.
【解答过程】集合A=x|kx−y+k=0可以看作是表示直线l1:kx−y+k=0上的点的集合，
由kx−y+k=0变形可得，kx+1−y=0，
由x+1=0y=0可得，x=−1y=0，
所以直线l1:kx−y+k=0过定点E−1,0.
集合B=x,yy=kx−1可看作是直线l2:y=kx−1上的点的集合，
由y=kx−1变形可得，kx−y+1=0，
由x=0y+1=0可得，x=0y=−1，
所以，直线l2:y=kx−1过定点F0,−1.
显然，当点M,N与点E,F分别重合，且线段MN与直线l1,l2都垂直时，d有最大值EF=0+12+−1−02=2.
故选：D.
【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点Na,b的距离．结合上述观点，可得y=x2−2x+5+x2−6x+25的最小值为（ ）
A．210B．22C．2+10D．3+5
【解题思路】y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点B3,−4的距离之和，可知当A，P，B三点共线时PA+PB取得最小值可得答案.
【解答过程】y=x2−2x+5+x2−6x+25=x−12+0−22+x−32+0+42，
则y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点B3,−4的距离之和，
即PA+PB，则可知当A，P，B三点共线时，PA+PB取得最小值，
即PA+PBmin=AB=1−32+2+42=210．
故选：A.
【题型6 点（或直线）关于点对称】
【例6】（23-24高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．12,32B．−1,32C．−1,0D．（1，0）
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线l上P1,2的对称点，且该点在直线l1上.
【解答过程】由题设P1,2关于0,1对称的点为(x,y)，若该点必在l1上，
∴1+x2=02+y2=1，解得x=−1y=0，即−1,0一定在直线l1上.
故选：C.
【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（ ）
A．2B．6C．−2D．−6
【解题思路】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【解答过程】由于直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，
所以两直线平行，故2a=4，则a=2，
由于点(3,0)在直线x+2y−3=0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(−1,0)，
故(−1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得−a+b=0，故b=a=2，
故选：A.
【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．(12,32)B．(−1,32)C．(−1,0)D．(12,0)
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l1上.
【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为(x,y)，
∴{1+x2=02+y2=1，解得{x=−1y=0，即(−1,0)一定在直线l1上.
故选：C.
【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A．3x+4y−5=0B．3x+4y+5=0
C．3x−4y+5=0D．3x−4y−5=0
【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【解答过程】设所求对称直线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于原点对称点的坐标为(−x,−y)，该点在已知的直线上，则−3x+4y+5=0，即3x−4y−5=0.
故选：D.
【题型7 点关于直线对称】
【例7】（2024·浙江·模拟预测）点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是（ ）
A．1,0B．0,1C．0,−1D．2,1
【解题思路】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【解答过程】解：设点A1,2关于直线x+y−2=0的对称点是Ba,b，
则有b−2a−1=1a+12+b+22−2=0，解得a=0，b=1，
故点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是0,1.
故选：B.
【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A−3,0,B0,3，从点P−1,0射出的光线经y轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A．210B．6C．25D．26
【解题思路】利用光线反射定理结合点关于直线的对称点即可求得光线所经过的路程.
【解答过程】直线AB的方程为x−y+3=0，P点关于y轴的对称点为E(1,0)，
设点E关于直线AB的对称点为F(x,y)，
则y−0x−1=−1x+12−y+02+3=0，解之得x=−3y=4，则F(−3,4)
设点P−1,0射出的光线交y轴于点C，交直线AB于点D，
则光线所经过的路程为
PC+CD+DP=EC+CD+DP=ED+DP=FP
=(−3+1)2+(4−0)2=25
故选：C.
【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−4,1．若将军从山脚下的点B−3,2处出发，河岸线所在直线方程为x−y+3=0，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．2B．5C．10D．23
【解题思路】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.
【解答过程】如图，设点A−4,1关于直线x−y+3=0的对称点为A′(m,n)，A′B与直线交于P0，且设饮马处为P，

由轴对称性质得，n−1m+4=−1，m−42−n+12+3=0，
解得m=−2，n=−1，故A′(−2,−1)，
即P与P0重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为AP0+BP0=A′B=(−2+3)2+(−1−2)2=10.
故选：C.
【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点B6,−5，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A．55B．214C．58D．215
【解题思路】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.
【解答过程】
一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射,与x+y+1=0交于点P,
由题意可得，点A1,0关于直线x+y+1=0的对称点C在反射光线上，
设Cx0,y0,则y0x0-1=1x0+12+y02+1=0,∴x0=−1y0=−2,
∴C−1,−2
故光线从A到B所经过的最短路程是AP+PB=CP+PB=BC=6+12+−5+22=58.
故选：C.
【题型8 直线关于直线的对称问题】
【例8】（2024·上海静安·二模）设直线l1:x−2y−2=0与l2关于直线l:2x−y−4=0对称，则直线l2的方程是（ ）
A．11x+2y−22=0B．11x+y+22=0
C．5x+y−11=0D．10x+y−22=0
【解题思路】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线l2上一点，即可求解.
【解答过程】联立x−2y−2=02x−y−4=0，得x=2y=0，
取直线l1:x−2y−2=0上一点0,−1，设点0,−1关于直线l:2x−y−4=0的对称点为a,b，则b+1a=−122×a2−b−12−4=0，解得：a=125,b=−115，
直线l2的斜率k=−112，所以直线l2的方程为y=−112x−2，
整理为：11x+2y−22=0.
故选：A.
【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线l1:3x−2y−6=0，直线l2:x−y−4=0，则l1关于l2对称的直线方程为（ ）
A．3x+2y−14=0B．2x−3y−14=0
C．3x+2y−6=0D．2x−3y−6=0
【解题思路】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线l2的对称点N(x1,y1)，利用轴对称的性质列出方程组解出x1=y+4,y1=x−4，由点N(x1,y1)在直线l1上，代入l1方程可得答案.
【解答过程】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线l2:x−y−4=0的对称点N(x1,y1)，
则y−y1x−x1×1=−1x+x12−y+y12−4=0，解得x1=y+4,y1=x−4，
∵点N(x1,y1)在直线l1:3x−2y−6=0上，即3x1−2y1−6=0，
∴3y+4−2x−4−6=0，化简得2x−3y−14=0，即为所求直线方程.
故选：B.
【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3y−1=0B．3x−y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【解题思路】求出A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C的坐标，由B,C都在反射光线所在直线上得直线方程．
【解答过程】设A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C(x,y)，
则(x−2)−y+12+10=0y−1x+2=−12，解得x=−6y=3，即C(−6,3)，
所以反射光线所在直线方程为y−3=−3−3−8+6⋅(x+6)，即3x−y+21=0．
故选：B．
【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（ ）
A．x−2y−13=0B．x−2y+2=0
C．x−2y+4=0D．x−2y−6=0
【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【解答过程】因为直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0，
所以n=−2×2=−4，
又两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，
所以|2m+6|4+16=25,解得m=7
即直线l1：x−2y+7=0，l2：x−2y−3=0，
设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x−2y+c=0，
则|−3−7|5=|−3−c|5，解得c=−13，
故所求直线方程为x−2y−13=0，
故选：A.
【题型9 直线系方程】
【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线l1:x−3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为x−3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原点坐标，得4+5λ=0，求解即可.
【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为x−3y+4+λ(2x+y+5)=0，
代入原点坐标，得4+5λ=0，解得λ=−45，
故所求直线方程为x−3y+4−45(2x+y+5)=0，即3x+19y=0.
故选：D.
【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y−7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．x+y+1=0B．x−y+1=0
C．x+y+1=0或3x+4y=0D．x−y+1=0或x+y+1=0
【解题思路】设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y−7)=0，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【解答过程】解：设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y−7)=0，
即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6−7λ=0
令x=0，得y=7λ−62+5λ，
令y=0，得x=7λ−63+2λ.
由7λ−62+5λ=7λ−63+2λ，
得λ=13或λ=67.
所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.
故选：C.
【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线2023x−2022y−1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为 4045x+y=0 ．
【解题思路】根据直线相交设所求直线为2023x−2022y−1+λ(2022x+2023y+1)=0，结合直线过原点求参数，即可得方程.
【解答过程】令所求直线为2023x−2022y−1+λ(2022x+2023y+1)=0，
又直线过原点，则−1+λ=0⇒λ=1，
所以所求直线为4045x+y=0.
故答案为：4045x+y=0.
【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x−3y+1=0与l2:x+4y−3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为 9x+5y−5=0 ．（写成一般式）
【解题思路】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.
【解答过程】由题设，令直线l的方程为7x−3y+1+λ(x+4y−3)=0，且直线过(0,1)，
所以0−3+1+λ(0+4−3)=0⇒λ=2，故直线l的方程为9x+5y−5=0.
故答案为：9x+5y−5=0.
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线l1:ax+3y−6=0，直线l2:2x+a−1y−4=0，则“l1∥l2”是“a=3或a=−2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【解答过程】若直线l1:ax+3y−6=0和直线l2:2x+a−1y−4=0平行，
则a×a−1=2×3a×−4≠2×−6，解得a=−2，
所以“l1∥l2”是“a=3或a=−2”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−1=0之间的距离是（ ）
A．1B．2C．22D．2
【解题思路】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【解答过程】因为l1：x+y+1=0，l2：x+y−1=0，
所以它们之间的距离为d=1−−11+1=2.
故选：B.
3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由l1⊥l2，计算得m=1或m=−12，即可判断.
【解答过程】因为l1⊥l2，
所以1+m(1−2m)=0，
解得m=1或m=−12，
所以“m∈{1,−2}”是“l1⊥l2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4．（2024·重庆·三模）当点P−1,0到直线l：3λ+1x+λ+1y−4λ+2=0的距离最大时，实数λ的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【解题思路】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【解答过程】直线l：3λ+1x+λ+1y−4λ+2=0，
整理得λ3x+y−4+x+y−2=0，
由3x+y−4=0x+y−2=0，可得x=1y=1，
故直线恒过点A1,1，
点P−1,0到A1,1的距离dmax=(−1−1)2+(0−1)2=5，
故kPA=1−01+1=12；
直线l：3λ+1x+λ+1y−4λ+2=0的斜率k=−3λ+1λ+1，
故−3λ+1λ+1⋅12=−1，解得λ=1.
故选：B.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 l:x+y−1=0， 一束光线从原点 O 出发沿射线 y=kxx≥0 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N. 若 MN=136， 则 k 的值为（ ）
A．32B．23
C．12D．13
【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求O关于直线l的对称点A，后求直线AP，可得M、N两点坐标，进而由MN=136可得k.
【解答过程】
如图，设点O关于直线l的对称点为Ax1,y1，
则x12+y12−1=0y1x1×−1=−1得x1=1y1=1，即A1,1，
由题意知y=kxx≥0与直线l不平行，故k≠−1，
由y=kxx+y−1=0，得x=1k+1y=kk+1，即P1k+1,kk+1，
故直线AP的斜率为kAP=kk+1−11k+1−1=1k，
直线AP的直线方程为：y−1=1kx−1，
令y=0得x=1−k，故M1−k,0，
令x=0得y=1−1k，故由对称性可得N0,1k−1，
由MN=136得(1−k)2+1k−12=1336，即k+1k2−2k+1k=1336，
解得k+1k=136，得k=23或k=32，
若k=32，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件．
故k=23，
故选：B.
6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点A2,3,B4,1,直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是（ ）
A．x+y−2=0B．x+y+2=0
C．x−y+2=0D．x−y−2=0
【解题思路】令x=0,得点C坐标,再根据CE⊥AB和斜率公式,得直线CE的斜率,结合点斜式求解即可.
【解答过程】∵直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,令x=0,得y=2,∴C0,2.
由题知CE⊥AB,且直线AB的斜率kAB=3−12−4=−1,∴kCE×kAB=−1,得kCE=1,
易知点C在直线CE上,根据点斜式得y−2=x,即x−y+2=0.
故选：C.
7．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．5B．3C．13D．5
【解题思路】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可.
【解答过程】设点B−1,1关于直线x+y=1对称的点为Cx,y，
则有−1+x2+1+y2=11−y−1−x⋅−1=−1⇒x=0y=2⇒C0,2，
所以“将军饮马”的最短总路程为AC=32+22=13，
故选：C.
8．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【解答过程】对于①，若l1//l2，则−1a+1=−121−a≠0，该方程组无解，①错；
对于②，若l1⊥l2，则−11+a⋅−12=−1，解得a=−32，②对；
对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=−12x，此时，l1、l2重合，③错；
对于④，直线l1的方程为x+a+1y+a−1=0，
若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a−11+a+12=2，整理可得3a2−10a+7=0，
Δ=100−4×3×7>0，方程3a2−10a+7=0有解，④对.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线l1:x+2y−2=0，直线l2:k−1x+ky+3=0，则（ ）
A．直线l2可以与x轴平行B．直线l2可以与y轴平行
C．当l1 ∥ l2时，k=2D．当l1⊥l2时，k=−13
【解题思路】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】当k=0时，直线l2:x=3，此时直线l2与y轴平行，B项正确；
若k=1，则直线l2:y+3=0，此时直线l2与x轴平行，A项正确；
若l1 ∥ l2，则k−2k−1=0，解得k=2，
经验证可知此时两直线不重合，C项正确；
若l1⊥l2，则k−1+2k=0，解得k=13，D项错误.
故选：ABC.
10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线l经过点2,3，且点A−3,2，B5,−4到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．4x−y−5=0B．4x+y−11=0
C．3x+4y−18=0D．3x−4y+6=0
【解题思路】当直线l的斜率不存在时不满足题意，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【解答过程】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−3=kx−2，即kx−y+3−2k=0.
由已知得−3k−2+3−2kk2+1=5k+4+3−2kk2+1，
所以k=4或k=−34，
所以直线l的方程为4x−y−5=0或3x+4y−18=0.
故选：AC.
11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A3,1，军营所在位置为B6,3，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是5
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是85
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是213
【解题思路】确定A(3,1)关于直线m,n对称点A1,A2，确定B(6,3)关于直线m,n对称点B2,B1，利用两点之间距离最小来判断.
【解答过程】对于A，如图①所示，设点A(3,1)关于直线2x−y=0的对称点为A1(x1,y1)，
由y1−1x1−3×2=−1,2×3+x12−1+y12=0解得A1(−1,3)，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为C(32,3)，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点A3,1关于直线y=0的对称点为A23,−1，
将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是BA2=(6−3)2+(3+1)2=5，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点B6,3关于直线y=0的对称点分别为，B1(6,−3)；
点A(3,1)关于直线2x−y=0的对称点为A1(−1,3)，
所以将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程A1B1=85，故C正确；
对于D，如图④所示，设点B6,3关于直线2x−y=0的对称点分别为B2(x2,y2)，
由y2−3x2−6×2=−1,2×6+x22−3+y22=0解得B2(−65,335)；点A(3,1)关于直线y=0的对称点为A2(3,−1)，
将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是A2B2=18855，故D错误.
故选：ABD.


三、填空题
12．（2024·山东·二模）过直线x+y+1=0和3x−y−3=0的交点，倾斜角为45°的直线方程为 y=x−2 .
【解题思路】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【解答过程】联立x+y+1=0与3x−y−3=0可得x=12,y=−32，
故交点为12,−32，倾斜角为45°，所以斜率为1，
故直线方程为y+32=x−12，即y=x−2，
故答案为：y=x−2.
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线l1:−2x+a−2y+3=0与直线l2:bx−y−1=0,a>0,b>0，若l1⊥l2，则aba+2b的最大值为 14 .
【解题思路】根据直线垂直的条件得2=a+2b，根据基本不等式得ab≤12，从而可得结果.
【解答过程】因为l1⊥l2⇒−2b−a−2=0，
即2=a+2b≥22ab⇒ab≤12，当且仅当a=1,b=12时取等号，
∴aba+2b=ab2≤14，即aba+2b的最大值为14.
故答案为：14.
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线l经过点P(0,1)，且被两条平行直线l1:3x+y+1=0和l2:3x+y+5=0截得的线段长为22，则直线l的方程为 (2+3)x−y+1=0或(2−3)x+y−1=0 ．
【解题思路】直线l分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线l是y轴，求交点坐标即可；当直线l的斜率存在时，设定直线l的方程并与直线l1,l2的方程联立求交点，满足弦长即可.
【解答过程】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x＝0，
此时与l1,l2的交点分别为(0,−1)和(0,−5)，
截得的线段的长为：−5−(−1)=4≠22，不符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，
解方程组y=kx+13x+y+1=0，得点A(−2k+3,−k+3k+3)，
解方程组y=kx+13x+y+5=0，得点B(−6k+3,−5k+3k+3).
由AB=22，得−2k+3−−6k+32+−k+3k+3−−5k+3k+32=8，
即k2−23k−1=0，解得：k=3±2，
则直线l的方程为：(2+3)x−y+1=0或(2−3)x+y−1=0.
故答案是：(2+3)x−y+1=0或(2−3)x+y−1=0.
四、解答题
15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线l1:2x+a−1y+1=0，直线l2:a+4x+3y+3=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
【解题思路】（1）依题意可得3×2−a−1a+4=0，求出参数的值，再代入检验；
（2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【解答过程】（1）因为l1//l2，所以3×2−a−1a+4=0，
整理得a2+3a−10=0，即a−2a+5=0，
解得a=2或a=−5．
当a=2时，l1:2x+y+1=0,l2:6x+3y+3=0，此时l1与l2重合，不符合题意；
当a=−5时，l1:2x−6y+1=0,l2:−x+3y+3=0，符合题意．
故a=−5．
（2）因为l1⊥l2，所以2a+4+3a−1=0，
解得a=−1．
16．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线l1:ax−3y+4b=0与直线l2:2x+by−2a=0相交，交点坐标为(1,2)，求a,b的值；
(2)已知直线l过点P(2,3)，且点M(3,1)到直线l的距离为1，求直线l的方程.
【解题思路】（1）利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；
（2）分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离解出斜率，得到直线方程即可.
【解答过程】（1）由题意得a×1−3×2+4b=02×1+2b−2a=0，即a+4b=6a−b=1解得a=2,b=1.
∴ a=2,b=1；
（2）显然直线l：x=2满足条件. 此时，直线l的斜率不存在.
当直线l的斜率存在时，设l:y−3=k(x−2)，即l:kx−y−2k+3=0.
∵点M(3,1)到直线l的距离为1，
∴ 3k−1−2k+3k2+−12=1，即k+2k2+1=1，得k=−34，
得直线l: 3x+4y−18=0
综上所述，直线l的方程为l: x=2和3x+4y−18=0.
17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线l1:3x−y−1=0,l2:x+2y−5=0.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；
(2)已知两点A−1,1,B0,2，动点P在直线l1运动，求PA+PB的最小值.
【解题思路】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；
（2）由对称性得出点B0,2关于直线l1对称的点为Cx,y，进而结合图像得出最值.
【解答过程】（1）解：联立3x−y−1=0x+2y−5=0，解得x=1,y=2，
因为所求直线垂直于直线3x+4y−5=0，所以所求直线的斜率为43；
故所求直线方程为y=43x−1+2，即4x−3y+2=0
（2）设点B0,2关于直线l1对称的点为Cx,y，
y−2x=−13x2×3−y+22=1，解得x=95,y=75
则PA+PB=PA+PC≥AC=95+12+75−12=22，
故PA+PB的最小值为22.
18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知A6,63，B0,0，C12,0，直线l：k+3x−y−2k=0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P2,23，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点P关于直线BC与AC的对称点P1与P2，进而可得kP1P2，再根据对称性可得kPK，即可得直线方程.
【解答过程】（1）由直线l：k+3x−y−2k=0，即kx−2+3x−y=0，
令x−2=03x−y=0，解得x=2y=23，
故直线l恒过定点2,23；
（2）设P关于BC的对称点P1，则P12,−23，
P关于AC的对称点P2m,n，
由直线AC的方程为y−063−0=x−126−12，即y=−3x−12，
所以n−23m−2⋅−3=−1n+232=−3m+22−12，解得m=14n=63，
所以P214,63，
由题意得P1、K、I、P2四点共线，kP1P2=233，
由对称性得kPK=−233，
所以入射光线PK的直线方程为y−23=−233x−2，
即2x+3y−10=0．
19．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是点A(5,1)、B(4,3)与C(0,−1)，直线m:(k+2)x+(k−1)y+k−1=0 (k∈R).
(1)求边AC所在直线l1的倾斜角和边AC上的高所在直线l2的方程;
(2)记d为点A到直线m的距离，试问:d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，说明理由;
【解题思路】（1）求出直线AC的斜率，根据k=tanα即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线l2的方程；
（2）根据直线m:(k+2)x+(k−1)y+k−1=0 (k∈R)只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点A(5,1)到直线m的距离为d，则d≤AC，再探究是否存在最大值.
【解答过程】（1）因为A(5,1)、C(0,−1)，所以kl1=1−(−1)5−0=25，
所以直线l1的倾斜角为arctan25，
因为l1⊥l2，所以kl2=−52，
所以直线l2的方程为：y−3=−52(x−4)，化简得：5x+2y−26=0.
（2）将直线m变形可得：kx+y+1+2x−y−1=0，
对于k取任何实数时，此方程恒成立，则
x+y+1=02x−y−1=0得x=0y=−1，
即直线m恒过两直线x+y+1=0及2x−y−1=0的交点C(0,−1)，
由图象可知，对于任何一条过点C的直线，点A到它的距离不超过AC=29，即d≤29．

又因为过点C(0,−1)且垂直于AC的直线方程是5x+2y+2=0，
但无论k=3时，直线表示为5x+2y+2=0，
此时距离最大d=29．所以，d存在最大值．考点要求
真题统计
考情分析
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直
(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
2022年上海卷：第7题，5分
2024年北京卷：第3题，4分
从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）