专题8.1 直线的方程（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

这是一份专题8.1 直线的方程（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用），文件包含专题81直线的方程举一反三新高考专用教师版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx、专题81直线的方程举一反三新高考专用学生版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29491" 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 PAGEREF _Tc29491 \h 3
\l "_Tc21087" 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 PAGEREF _Tc21087 \h 3
\l "_Tc23679" 【题型3 求直线的方程】 PAGEREF _Tc23679 \h 4
\l "_Tc20323" 【题型4 直线过定点问题】 PAGEREF _Tc20323 \h 5
\l "_Tc27231" 【题型5 三线能围成三角形的问题】 PAGEREF _Tc27231 \h 5
\l "_Tc2086" 【题型6 两直线的夹角问题】 PAGEREF _Tc2086 \h 5
\l "_Tc17804" 【题型7 轨迹问题——直线】 PAGEREF _Tc17804 \h 6
\l "_Tc24663" 【题型8 直线方程的综合应用】 PAGEREF _Tc24663 \h 6
1、直线的方程
【知识点1 直线的方程】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
4．辨析直线方程的五种形式
【知识点2 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【方法技巧与总结】
1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2024·陕西西安·二模）直线2x−23y−1=0的倾斜角α=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【变式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,csπ3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．4π3
【变式1-2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线l1，l2的斜率分别为1，2，l1，l2夹角为θ，则sin2θ=（ ）
A．34B．45C．35D．310
【变式1-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线l的倾斜角α满足120∘<α≤135∘，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．−1,−33B．−3,−1
C．−3,−1D．−∞,−3∪−1,+∞
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例2】（2024·山西太原·模拟预测）已知点A(2,3)，B(−3,−2)与直线l:kx−y−k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．k≥2或k≤34B．k≥34或k≤−14C．−4≤k≤34D．34≤k≤2
【变式2-1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点A2,3，B3,−1，若直线l过点P0,1且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≤−23或k≥1B．k≤−23或0≤k≤1
C．−23≤k≤0或k≥1D．−23≤k≤1
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知点A−1,1、B1,2、C0,−1， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．−2,3B．(−2,0)∪(0,3)
C．−∞,−2∪3,+∞D．以上都不对
【变式2-3】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线l:m+2x+m−1y+m−1=0，若直线l与连接A1,−2，B2,1两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（ ）
A．−π4,π4B．3π4,π
C．π4,3π4D．0,π4∪3π4,π
【题型3 求直线的方程】
【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为v=1,−3，且经过点0,2，则直线的方程为（ ）
A．3x−y+2=0B．3x+y−2=0
C．3x+y+2=0D．3x−y−2=0
【变式3-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x−2y+5=0B．x+2y−3=0
C．2x−y+4=0D．2x+y=0
【变式3-2】（2024·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则AB边上的高所在的直线方程是（ ）
A．2x+y−7=0B．2x−y−1=0
C．x+2y−8=0D．x−2y+4=0
【变式3-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为−55，且经过点(2,1)，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y−5=0B．2x−y−3=0C．x−2y=0D．x+2y−4=0
【题型4 直线过定点问题】
【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直线kx−y+1−3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．3,1B．0,1C．0,0D．2,1
【变式4-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知a，b满足2a+b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（ ）
A． −13,2B．16,12
C．12,16D．2,−13
【变式4-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线l:x+ky+3=0与直线x+y−3=0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．π3,5π6B．π6,3π4C．π3,π2∪π2,3π4D．π3,3π4
【变式4-3】（2024·吉林通化·模拟预测）若直线kx−y+2k−1=0恒过点A，点A也在直线mx+ny+2=0上，其中m,n均为正数，则mn的最大值为（ ）
A．14B．12C．1D．2
【题型5 三线能围成三角形的问题】
【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线l1:ax+y+2=0，l2:x+y−1=0，l3:x−y+3=0不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）
A．{−1,1}B．{4,1}C．−12,1D．{4,−1,1}
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x−my=2不能围成三角形，则实数m的取值最多有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．6个
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知三条直线ax+2y−1=0、3x+y+1=0、2x−y+1=0不能围成一个三角形，则实数a的值为 ．
【变式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线l1:3x−y+1=0,l2:x+y−5=0,l3:x−ay−3=0，若直线l1,l2,l3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值 ．
【题型6 两直线的夹角问题】
【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线l1:x−1=0与直线l2:x−3y+2=0的夹角为（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
【变式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+3y−3=0的夹角为60°，则θ的值为（ ）
A．30°或150°B．60°或0°C．90°或30°D．60°或180°
【变式6-2】（2024·上海长宁·二模）直线2x−y−3=0与直线x−3y−5=0的夹角大小为 ．
【变式6-3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线y=ax−2与直线y=3x的夹角θ∈0,π6，则a的取值范围是 ．
【题型7 轨迹问题——直线】
【例7】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）方程x2−4x2+4=0表示的图形是（ ）
A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知Mx,y满足方程|x−2y+3|=5(x+1)2+5(y−1)2，则M的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
【变式7-2】（23-24高三·全国·课后作业）若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为 .
【变式7-3】（23-24高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线l1:x−2y−6=0和l2:x−2y+4=0上移动，则AB中点到原点的距离的最小值为 .
【题型8 直线方程的综合应用】
【例8】（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知三角形的顶点为A2,3，B0,−1，C−2,1.
(1)求直线AC的方程；
(2)若直线l过点B且与直线AC交于点E，BE=3，求直线l的方程.
【变式8-2】（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，
(1)求三角形ABC外心D的坐标；
(2)求顶点C的坐标.
【变式8-3】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线l:kx−y+2+k=0k∈R.
(1)若直线不经过第三象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程.
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）直线x⋅tanπ5+y−2=0的倾斜角为（ ）
A．π5B．3π10C．7π10D．4π5
2．（23-24高二上·广东东莞·期末）若直线l的一个方向向量是1,−3，则直线l的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α=β”是“tanα=tanβ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）．
A．x−y+2=0B．x−2y+4=0
C．x−y−2=0D．x+2y−4=0
5．（2024·四川·模拟预测）已知直线ax+by−2=0a>0,b>0经过点1,4，则4a+1b的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．252
6．（2024·全国·模拟预测）已知直线l1:y=2x和l2:y=kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．−2B．−43C．5−12D．5+12
7．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点A−3,2，B2,1，过点P0,−1的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．−∞,−1∪[1,+∞)B．[−1,1]C．−∞,−15∪1,+∞D．−15,1
8．（2024·江西上饶·一模）作圆x2+y2=4一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A．x+2−3y−2=0B．x+y+1+3=0
C．x−y+1−3=0D．2−3x+y−2=0
二、多选题
9．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tanα
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
10．（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点1,2，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（ ）
A．2x−y=0B．x+y−3=0
C．2x+y−4=0D．x−y+1=0
11．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）对于直线l：x=my+1，下列说法错误的是（ ）
A．直线l恒过定点(1,0)B．直线l斜率必定存在
C．m=3时直线l的倾斜角为60∘D．m=2时直线l在y轴上的截距为−0.5
三、填空题
12．（2024·上海嘉定·一模）直线x=1与直线3x−y+1=0的夹角大小为 .
13．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=xtan80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为 ．
14．（2024·陕西西安·一模）过点P(1,3)，在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点Mm+3,3m+5,N2m−1,1.
(1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围；
(2)若直线MN的方向向量为a=1,−2023，求m的值.
16．（2024·河南·模拟预测）已知直线y−3=kx−4k∈R分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数k的值；
(2)求OA+OB的最小值．
17．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为a+1x+y−2−a=0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>−1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
18．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是3,0、1,3，点D是线段AB上的动点.
(1)求AB所在直线的一般式方程；
(2)当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程.
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线l:a−1y=2a−3x+1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
(2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)
2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分
从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法.
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程