重庆市朝阳中学2024-2025学年高三上学期10月质量检测数学试题

这是一份重庆市朝阳中学2024-2025学年高三上学期10月质量检测数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2.若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3.展开式中，的系数为（ ）
A．20B．C．160D．
4.化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
5.已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．1D．2
6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144B．72C．36D．24
7.对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，且，则
A．B．C．D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．极差是4B．众数小于平均数
C．方差是1.8D．数据的80%分位数为4
10.已知曲线关于y轴对称，设函数，则（ ）
A．（）B．的最小正周期是
C．的值域是D．在区间上单调递减
11.已知函数（）在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．a的取值范围是B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若随机变量服从正态分布，已知，则 .
13.已知，，则 .
14.如图，在四面体中，，，，用向量，，表示，则 ；若，且平面，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分.第（1）问6分，第（2）问7分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.
（1）求的周长；
（2）若，求的面积.
16.（本小题满分15分.第（1）小问6分，第（2）小问9分）
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，.
（1）求B点到平面的距离.
（2）线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分.第（1）小问7分，第（2）小问8分）
已知函数，（k，）.
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若，且在上恒成立，求的最大值.
18.（本小题满分17分.第（1）小问5分，第（2）小问12分）
已知椭圆：的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线l：（）与椭圆交于两个不同点P、Q，
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
19.（本小题满分17分.第（1）小问4分，第（2）小问5分，第（3）小问8分）
一袋中装8个球，其中3个白球5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从该袋中任取出一个球，如果取出的是白球，就把它放回袋中；如果取出的是黑球，就不放回，并且另补放一个白球到袋中.在重复n次这样的操作后口袋里白球个数记为.
（1）求随机变量的方差；
（2）求随机变量的分布列及数学期望；
（3）设，求（，1，2，…，5），并用表示.
重庆市朝阳中学高2025届高三上10月质量检测
数学试卷答案
1.C2.C3.D4.B5.A6.B7.B8.D
9.AC10.BD11.BCD
13.14.；
8．【答案】D
【详解】由于，
所以，
则，因此.
令，则，故.
由于为奇函数，故，
即，故关于点对称.
由题，，
∴，故关于直线对称，
因此当时，，，…，
故，
因此.
故选：D．
11．【答案】BCD
【详解】令，
令，
由题可知，，，
令，得，
显然，当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递増；
，得示意图
所以都符合题意，故A错误；
由示意图可知，
显然，
当且时，易知x取两个互为倒数的数时，函数值相等，
因为，所以，互为倒数，即，故B正确；
，
等且仅当时等号成立，
因为，所以，故C正确；
因为，要证，
即证，
因为，所以，
即证，
我们分别证明，，
证明：
因为，
所以，，
证明：
要证，即证，
不妨设（），得，
显然，当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
故，故，即，
所以证得，即证得，
即得，故选项D正确.
故选：BCD
14.【答案】；
【解析】【分析】本题考查了空间向量的线性运算，属于较难题.
运用空间向量的线性运算法则，将用基底，，表示出来，延长与交于D，由平面推得，令，，用基底，，表示出，
求得m，，利用，可求得的值.
【解答】解：由条件可知：
；
延长与交于D，连接，如图，
∵平面，平面，平面平面，
∴，
令，，则有，
，
所以，解得，，
∵，∴，∴，
∴
15．【详解】
（1）由得：，
即得，所以的周长为；
（2）由得：，
所以，因为A，，
∴，，
所以，
所以，
又，则，即，
所以，
所以的面积．
16.（本小题满分15分.第（1）小问7分，第（2）小问8分）
解：
（1）取的中点O，连接，，
因为，所以，
又侧面底面，交线为AD，平面，
所以PO⊥平面．
又在直角梯形中，易得，建立如图示空间直角坐标系
则，，，，；
，，，
设平面的法向量为，
则且，取得
所以B点到平面的距离
（注：其他方法如体积法对照给分）
（2）假设Q存在，设（）
因为，所以，，，
设平面的法向量为，则且
即且，
所以取，
又是平面的一个法向量
因为二面角的余弦值为，
所以，即
所以．
所以或（舍去），
所以，，，
故点Q存在，且.
17.【答案】解：
（1）因为，所以.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）结合（1）与题意可得，
即，即.
所以.
令，，
则，令，则.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以.
所以，即的最大值为.
18．【答案】
（1）；
（2）面积的最大值，直线l的方程为.
【详解】
（1）由椭圆的右焦点为，得椭圆半焦距，
由椭圆经过点，得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线，的斜率存在且不为0，
令直线方程为，则直线方程为，
由消去y并整理得，则点P的横坐标，
于是，同理，
因此的面积，，
即函数是偶函数，
不妨令，，
当时，，
当时，，
即函数在上递增，在上递减，
因此当时，，
此时，直线方程为，点，
直线方程为，点，于是直线方程为，
所以面积的最大值，直线l的方程为.
19.解：
（1）∵的取值为3、4，且，
∴
∴
（2）∵的取值为3、4、5
∵表示两次均摸出白球，则
表示两次摸球，一次白球，一次黑球，则
表示两次均摸出黑球，则
∴的分布列为：
的数学期望
（3）∵时，
当时，第次取球后袋中有个白球的可能性有两种：
①第n次后袋中有个白球，显然每次取球后袋中球的总数不变，即个白球，个黑球，则第次取出白球的概率为
②第n次后袋中有个白球，则第次取出的是黑球.由于每次取球后袋中球的总数不变，故此时黑球为个，概率为（）
∴3
4
5
P