山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了已知向量,若共面,则，下列命题中正确的是，已知向量，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线,若,则( )
A.-1或2B.1C.1或-2D.-2
2.过点的直线与线段MN相交，，则的斜率的取值范围为( )
A.B.C.或D.或
3.在三棱柱中,记,点满足,则( )
A.B.C.D.
4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )
A.B.C.D.
5.已知向量,若共面,则( )
A.4B.2C.3D.1
6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A.B.C.D.
7.下列命题中正确的是( )
A.点关于平面对称的点的坐标是
B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则
8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC内,则当|OH|取最小时，点的坐标是( )
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，则( )
A.若，则B.若，则
C.若,则
D.若,则向量在向量上的投影向量
10.下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为
D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.
11.已知正方体的棱长为1,E为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )
A.平面AECB.AP与平面所成角的取值范围为
C.的最小值为D.点到直线的距离的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.
13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.
14.如图,两条异面直线a,b所成的角为,在直线a,b上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.
(1)设,用向量表示,
(2)并求出的长度;
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答
(1)求直线的方程;
(2)求直线关于直线的对称直线的方程
条件①:点关于直线的对称点的坐标为；
条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM平行;
条件③:点N的坐标为,直线过点且与直线PN垂直.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（15分）已知直线.
(1)若坐标原点到直线的距离为,求的值;
(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.
18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB的中点.
(1)证明：平面PEF//平面GAC；
(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.
19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB中点.将沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。连接PA,PB,PC得到四棱锥,记PB的中点为N,连接CN,动点在线段CN上.
（1）证明：平面PAB；
（2）若QC=2QN,连接AQ,PQ,求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；
（3）求动点到线段AP的距离的取值范围.
2024-2025学年高二数学上学期第一次月考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
8【答案】A
【详解】由题意,在空间直角坐标系中,,设为平面ABC的法向量,
则,
则,
令,则,故,
则点到平面ABC的距离为,
,所以,则,
又,即，
所以,代入,
可得,则,所以,则,
10.对于D:经过平面内任意相异两点的直线:
当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程表示，故D正确。
11.ACD
【详解】对于A选项，则，
由题可知，平面ABCD，且平面ABCD，则,
又平面,
平面平面则
同理可得平面,
直线平面,
平面AEC即为平面平面AEC,则选项A正确;
对于选项B：如图，连接AC交BD于点，连接OP，知平面，
所以即为AP与面所成角,所以,
由在上知,所以,
因为，所以的范围是，
即直线AP与平面所成角的范围是，故B错误；
对于C项,把问题转化为在平面内求点使得最小,如图,作点关于线段的对称点,过点作的垂线,垂足分别为和,
则,设,则,
故,故.
对于D项,当时,平面且三点共线.此时,
即此时到直线的距离最小,最小值为.
故选:ACD.
三、填空题
12.或13.14..
14.【详解】依题意,,平方得
因为或,
所以,
故.
四、解答题
15(1)(2)
(1),(3分)
(2)因为，同理可得，
所以(7分)
(3)因为,所以,(8分)
因为(10分)
所以.(12分)
所以异面直线与所成角的余弦值为.(13分)
16.(1)
(2).
【详解】(1)选择条件①:因为点关于直线的对称点的坐标为,所以是线段的垂直平分线，
又,所以直线的斜率为-1.
又线段的中点坐标为,所以直线的方程为,即.
选择条件②:因为,直线与直线PM平行,所以直线的斜率为-1,
又直线过点,所以直线的方程为,即.
选择条件③:因为,直线与直线PN垂直,所以直线的斜率为-1,又直线过点,所以直线的方程为,即.
（2）由解得故的交点坐标为,（8分）
因为在直线上,设关于对称的点为,
则解得
所以直线关于直线对称的直线经过点,(12分)
代入两点式方程得,即,
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
17.(1)或
(2)或
【详解】(1)设原点到直线的距离为,
则,解得或（6分）
（2）由解得,即与的交点为.
当直线过原点时，此时直线斜率为，
所以直线的方程为;
当直线不过原点时,设的方程为,
将代入得,
所以直线的方程为.(14分)
故满足条件的直线的方程为或.(15分)
18.（17分）
【解析】(1)连接EC,设EB与AC相交于点O,连接OG,如图,
因为BC//AD,且,
所以四边形ABCE为矩形,
所以O为EB的中点,又因为G为PB的中点,
所以OG为的中位线,即,(2分)
因为平面平面PEF,
所以平面PEF,(3分)
因为分别为线段的中点,所以,(4分)
因为平面平面PEF,
所以平面分)
因为平面平面,
所以平面平面GAC.(6分)
(2)因为底面平面平面ABCD,
所以,因为,
所以两两互相垂直,(7分)
以A为原点,AB,AD,AP所在的直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示:
则,（8分)
所以分)
设平面PCD的法向量为,则,所以,
令,可得,所以,（14分）
设直线GC与平面PCD所成角为,则,（16分）
所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为.（17分）
19.（17分）
【解析】（1）因为折叠前为PA中点,,所以,折叠后,,所以,所以（2分）
在折叠前D,C分别为PA,PB中点,
所以，又因为折叠前，所以,（2分）
所以在折叠后；以为坐标原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(6,0,0),B(6,12,0),C(0,6,0),P(0,0,6),（3分）
为PB中点,所以,设平面PAB的法向量为
，又，所以,
,令,则,所以（5分）
所以,
所以,所以平面PAB.(6分)
（2）设,由（1）知，，因为动点Q在线段CN上，
且,所以,所以,
所以,所以,（7分）
,设平面PAQ的法向量为,
，令，则，所以（9分）
设平面ABCD的法向量为,（10分）
所以（11分）
所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为.(12分)
（3）设，动点Q在线段CN上，
所以,即,即,
所以分)
,
设点Q到线段AP的距离为(14分)
（15分）
,令,
则,根据二次函数的性质可知,（16分）
所以，由此可知动点Q到线段AP的距离的取值范围为.（17分）1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
B
A
D
C
C
A
9
10
11
ACD
AD
ACD