[数学]福建省部分学校教学联盟2024_2025学年高二上学期入学适应性检测试题(解析版)

这是一份[数学]福建省部分学校教学联盟2024_2025学年高二上学期入学适应性检测试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】因为，
所以，
解得，
故选：C.
3. 在中，三个内角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D. .
【答案】B
【解析】由，则，
，即，解得.
故选：B.
4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
故选：D.
5. 如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
6. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；
故选：B.
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）（参考数据：，，，）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】在中，，
则，
，
由正弦定理，可得，
在中，可得.
所以该铁塔的高度约为米．
故选：C.
8. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，，，
可得，
故，
又，
所以，
以为直径作圆，则，，，四点共圆，
如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），
则，
又表示在上的投影，
由图可知，，，
故（此时点在劣弧的中点位置），
即的最小值为．故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A. 平面
B
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
【答案】ABD
【解析】选项A：
如图连接交于，连接，
由题意可知为的中点，又为的中点，
故，
又平面，平面，
故平面，故A正确；
选项B：由题意为等边三角形，为的中点，
故,
又棱柱为直三棱柱，
故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则，，，
因，故A3,0,0，
所以，，
设异面直线与所成角为，则
故C错误；
选项D：由题意平面的一个法向量为，
，，，
设平面的法向量为，则
，即，设，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，则，
故，
故，故D正确，
故选：ABD.
10. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等边三角形
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，在中，因为，
又，
所以，即为锐角，但题中没有告诉最大，
所以不一定是锐角三角形，故A错误；
对于B选项，，
由正弦定理得，
整理得，即一定是等边三角形，故B正确；
对于C选项，因为，在0,π单调递减，
所以，故C正确；
对于D选项，由，得，
所以，
由余弦定理可得，
，当且仅当时，等号成立，
则当，时，，即角可以大于，故D错误；
故选：BC．
11. 如图，在棱长为2正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）

A. 在中点时，平面平面
B. 异面直线所成角的余弦值为
C. 在同一个球面上
D. ，则点轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：取的中点，连接，

在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易知，平面，在面内，
所以，面，面，，
所以面，面，所以，
连接，是正方形，，
因面，面，所以，
因为面，面，，
所以面，因为面，所以，
综上，面，面，又，
所以面，面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，则，
所以是异面直线所成的角，
又，则，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
【答案】
【解析】易知向量在向量上的投影向量为
.
13. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，
因此圆锥的高，
所以圆锥的体积.
14. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该木楔子的外接球的表面积为__________.

【答案】
【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，
则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，
且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，可得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角所对的边分别为，已知
（1）求；
（2）若是边上一点，且，求的面积．
解：（1）因为，则，
可得，
则，
若，则，且B∈0,π，所以；
若，则，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合题意；综上所述：.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
则，所以的面积.
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证平面；
（2）求二面角的大小．
解：（1）因为平面，平面，平面，
所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
有题意可知，又，平面，平面，
所以平面．
（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
因平面，平面，
所以，
因为，所以为中点，
故，
平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
由得，
令得，，
则，
所以，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．
17. 三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
解：（1）三棱台中，，则，
有，得，所以，
又，所以在平面内，，有，
平面平面，所以平面．
（2）已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有，
，
因为，所以，
设向量，且满足：，
则有，
令，
在的投影数量为，
异面直线与DE的距离.

18. 如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.

（1）证明：；
（2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求的面积；
（ii）求三棱锥的体积.
解：（1）因为E为边AB的中点，所以.
又，即，即.
，
所以.
又因为，所以，即.
因为平面，
所以平面.
因为平面，
所以.

（2）（i）由余弦定理可得，
所以，
所以.
（ii）由（1）可知，平面，
所以即为与平面所成角.
因为，所以，，
所以，得.
设到平面的距离为，点到直线的距离为，
则.
因为，
又，所以.
19. 在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
解：（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，
，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．