2024-2025学年福建省晋江市高二上册12月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省晋江市高二上册12月联考数学检测试题（附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线绕原点逆时针旋转后所对应的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（ ）
A．16B．18C．D．20
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9B．1C．1或9D．11或9
5．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若为圆上一点，则的最小值为
C．若与圆相交于，两点，则
D．过上一点向圆作切线，切点为，则
10．过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（ ）
A．仅存在一条直线l，使
B．存在直线l，使弦AB的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，则在上的投影向量的模为 .
13．已知实数x，y满足，则的取值范围为 .
14．已知抛物线的焦点为F，现有不同的三点A，B，C在抛物线E上，且，，则p的值是 ；若过点的直线PM，PN分别与抛物线E相切于点M，N，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为．
(1)求顶点的坐标；
(2)求边所在直线的一般式方程．
16．年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.

(1)求小船的运动轨迹方程；
(2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围.
17．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
(3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
18．如图，且，，且，且，平面，.
(1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：；
(2)证明:
(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.
19．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，得，则斜率，
因为绕原点逆时针旋转后所对应的直线与原直线垂直，
所以，所求直线的斜率为，
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】

因为长轴长为10，即，
所以长半轴长，
则由题可知,短半轴长，
半焦距，
故的周长为.
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知，
所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为.
当且仅当在与抛物线的交点时取得等号.
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
5．【正确答案】B
【详解】由题意
，
又，
.
故选：B
6．【正确答案】C
【详解】由题意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】如图1，分别取的中点为,的中点为，则,，连接 ，
因为底面为直角梯形，，，，
所以四边形为正方形，,
因为平面，，
所以平面，平面，
所以；
所以，
而平面，平面，则,
所以,
又为的中点，所以 ，
所以点到三棱锥各个顶点的距离均为，
故为三棱锥的外接球球心；
如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，平面，则,
与底面所成的角为 ，则为等腰直角三角形，,
则，，，.
设平面的法向量为，
因为，，
所以 令，得.
因为，
所以点到平面的距离.
设截面圆的半径为，则，
所以截面圆的面积为.
故选：A.
8．【正确答案】A
【详解】由题知，圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径.
设点为圆与圆的根轴上的任意一点，
则，
所以，
整理得，即圆与圆的根轴为直线.
取关于对称的点，则.因为，所以在上，
所以当，，三点共线时，取得最大值.
因为到的距离为，到的距离为，
所以，即的最大值为.
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于选项A，若，则，得，故选项A正确．
对于选项B，设，可得，
当直线与圆有公共点时，则，解得，
所以的最小值为，故选项B正确．
对于选项C，因为，化简可得，
令，解得，故过定点，
当时，取最小值，则，故选项C不正确．
对于选项D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
而当时，取得最小值为圆心到直线的距离，
故当时，取得最小值为，故选项D正确，
故选：ABD.
10．【正确答案】CD
【详解】对于A，通径，实轴，则有四条直线l，使，故A错误；
对于B，假设存在直线l，使得弦AB的中点为，
设，，则，
两式相减得，
又，则，故直线的斜率，
此时直线方程为，即，由于右焦点不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误；
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为.
联立，得，
则，恒成立.
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，解得，又斜率，
所以，故D正确.
故选：CD.
11．【正确答案】AD
【分析】
对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断.
【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
则，
设，则点坐标为；
对A：设平面的法向量为，，
则，即，取，解得，故；
又，，
考虑到，则，故，
故一定是异面直线，A正确；
对B：，，
若，则，即，
解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误；
对C： ，取平面的法向量，
则，
设直线与平面的夹角为
则，则，
，又，故，
即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误；
对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过的截面经过对称中心，
设截面交于中点，也为中点，
所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大，
取的中点为，连接，如下所示：
故此时截面为正六边形，
其面积，故D正确.
故选AD.
12．【正确答案】/
【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】因为，
所以，其表示为圆的上半部分.
设半圆上一动点Px,y，
表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，
当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，
设直线的方程为，即，
所以，解得或（舍去），
则直线的斜率的最大值为；
当点为2,1时，则直线的斜率取最小值，为，
综上，的取值范围为.
故答案为.

14．【正确答案】 4 /8.5
【详解】设，
则,
，即，
又，解得.
则抛物线.
设，由可得，则，
所以直线PM的方程为，即①，
同理直线PN的方程为②
由直线均过点P可得，，
即直线的方程为，过焦点，
联立，消元得，
所以，
，
故4；
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可设边所在的直线方程为，
则将代入得，则边所在直线的方程为，
，则顶点的坐标为．
（2）设点关于直线的对称点为，则
，所以．直线的方程即为直线的方程.
因为，所以，即为，
则直线的一般式方程为．
16．【正确答案】(1)．
(2)．
【详解】（1）根据已知条件设以为坐标原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且，

由有
，
；
，
即，
整理得，它是以为圆心，为半径的圆．
所以小船的运动的轨迹方程为：．
（2）由（1）可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为
化为一般式方程为，
根据题意，，解得，所以综上可知的取值范围为．
17．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解.
【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点0,1且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
（3）设，则中点是，
于是，即，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，
整理得
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为
【详解】（1）因为，，所以，
又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以.
（2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形，
又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE.
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以CD⊥面，
又面，所以，又，
平面，所以面，又面，
所以.
（3）由于，，，平面，，
则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图，
于是，，设平面ABE的法向量为，
则，，令，得，
假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.
设，，
，
解得.
所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.
19．【正确答案】(1)；
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【详解】（1）
由题意可知，因为，所以.
设，则，所以，
又，所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为.
联立，化简得，
因为直线l与双曲线左、右两支相交，所以，
即满足，所以或；
（ii），
直线AD的方程为直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以，
所以，
所以.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.