高一预习-2.1 等式性质与不等式性质（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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这是一份高一预习-2.1 等式性质与不等式性质（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共10页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
知识点一基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a知识点二重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点三等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
知识点四不等式的性质
【基础自测】
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M2．若eq \f(1,a)|b|，②ab3.
则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A．eq \f(1,a)b2
C．eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|
4．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)
5．若α，β满足－eq \f(1,2)<α<β【例题详解】
一、用不等式(组)表示不等关系
例1 (1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（）
A．B．
C．D．
(2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为______．
跟踪训练1 (1)下列说法正确的是（）
A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”
B．若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
(2)一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．
二、作差法比较大小
例2 (1)已知，，则 _______ ．（填“>”或“<”）
（2）已知，求证：；
（3）已知，且，比较与的大小．
跟踪训练2 已知，试比较与的值的大小．
三、作商法比较大小
例3 (1)设，，则（）．
A．B．C．D．
(2)若，求证：．
跟踪训练3 如果，，那么，，从小到大的顺序是___________
四、利用不等式的性质判断或证明
例4 (1)若，则下列命题为假命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
(2)利用不等式的性质证明下列不等式：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)若，，则；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，，则．
跟踪训练4 已知为三角形的三边长，求证：
(1)；
(2).
五、利用性质比较大小
例5 (1)（多选）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（）
A．B．C．D．
(2)（多选）若，则（）
A．B．C．D．
跟踪训练5 （多选）下列说法正确的是（）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
六、利用不等式的性质求范围
例6 (1)已知，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
(2)已知且满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
跟踪训练6 已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【课堂巩固】
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）
A．B．C．D．
2．设，则的大小顺序是（）
A．B．
C．D．
3．下列命题为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若，，则的取值范围为______.
5．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．
7．已知为实数，则__________(填 “”、“”、“”或“”).
8．已知，，求证：.
9．设，，，，，证明：．
10．（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【课时作业】
1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
2．已知，则下列大小关系正确的是（）
A．B．
C．D．
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
4．设，，则与的大小关系是（）
A．B．C．D．
5．已知a，，下列表达式中为的充要条件的是（）
A．B．C．D．
6．已知，，则（）
A．B．C．D．无法确定
7．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有（）
A．9艘B．10艘C．11艘D．12艘
8．若，且，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
9．（多选）下列四个命题中，正确的是（）
A．若，则B．若a>b，且，则ab<0
C．若a>b>0，c>0，则D．若，则
10．（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（）．
A．B．
C．D．
11．（多选）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）
A．B．
C．D．
12．（多选）下列命题为真命题的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
13．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）
14．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
15．若，则的取值范围是______．
16．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____．
17．（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，，求证：．
18．试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
依据
如果a>b⇔a－b>0.
如果a＝b⇔a－b＝0.
如果a结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b⇔
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac5
同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正

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