2025中考复习数学考点专题探究课件：专题18　图形旋转问题

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专题18　图形旋转问题
1. [2024山东泰安中考，中]如图(1)，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB ＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE中 点F，连接BF.
∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°，∴∠BQC＝90°， ∴BF⊥CD.
(1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图(2)的位置.
①请直接写出BF与CD的位置关系： 　　　　；
②求证：CD＝2BF.
延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG. 延长EB到M，使BM＝BE， 连接AM并延长交CD于点N，如图.
∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF(SAS)，
∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE，∴AG∥BE，AG＝BD，
∴∠GAB＋∠ABE＝180°.
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE＋∠DBC＝180°，
∴∠GAB＝∠DBC.
又∵AB＝BC，∴△AGB≌△BDC(SAS)，
∴∠ABG＝∠BCD.
∵F是AE中点，B是EM中点，
∴BF是△AEM的中位线，∴BF∥AN，
∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ANC＝90°，∴AN⊥CD.
∵BF∥AN，∴BF⊥CD. 故答案为BF⊥CD.
②【证明】由(2)①得△AGB≌△BDC(SAS)，∴CD＝BG. ∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.
2. [2023湖南岳阳中考，较难]如图(1)，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分 别为边AB，BC的中点，连接MN. 初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是 　　　　　，MN与AC的位置关系 是 　　　　　.
深入探究：(3)若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF. 当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由.
(3)∠BAE＝∠ABF或∠BAE＋∠ABF＝180°.理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°－2θ.如图(3)所示，当点C，E，F在同一直线上，且点E在线段FC上时，由(1)得MN∥AC，∴∠MNB＝∠ACB＝∠MBN＝θ，∠BMN＝∠BAC＝180°－2θ.∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，∴∠EBF＝∠EFB＝θ，∠BEF＝180°－2θ.
∵点C，E，F在同一直线上，∴∠BEC＝2θ，∴∠BEC＋∠BAC＝180°，∴点A，B，E，C在同一个圆上，∴∠EAC＝∠EBC＝α－θ，
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝(180°－2θ)－(α－θ)＝180°－α－θ.∵∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝α＋θ，∴∠BAE＋∠ABF＝180°.
如图(4)所示，当点C，E，F在同一直线上，且点F在线段EC上时，由(1)得MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC. 由旋转的性质得∠BEF＝ ∠BMN，∴∠BEF＝∠BAC，∴易知点A，E，B，C在同一个圆上.设∠NBF＝β.∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴∠EBM ＝β，∴ α＋β＝360°，∠ABF＝θ－β.
∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC＋∠ECB，∴∠ECB＝∠EFB－∠FBC＝θ－β，∴∠EAB＝∠ECB＝θ－β，∴∠BAE＝∠ABF. 综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE＋∠ABF＝180°.
3. [2024陕西西安校级二模，中]在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形ABCD得到矩形AEFG，旋转角为α(0°＜α＜180°).
(1)如图(1)，当点E落在DC边上时，线段EC的长度为 　　　　；
(2)如图(2)，连接CF，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连 接AC，求线段DH的长度；
(2)当点E落在线段CF上时，
∠AEC＝∠ADC＝90°.
∴Rt△ACD≌Rt△CAE(HL)，
又∵∠AHD＝∠CHE，∠ADH＝∠CEH＝90°，
∴△AHD≌△CHE，∴AH＝HC.
设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，∵AD2＋DH2＝AH2，
(3)如图(3)，设点P为边GF的中点，连接PB，PE，BE，在矩形ABCD旋转 的过程中，求△PBE面积的最大值.

4. [2023湖南湘潭中考，中]问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后， 进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG 为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰 为DF的中点，如图(1).针对小红发现的结论，请给出证明.
(1)【证明】如图(1)，延长FG交AC于H.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴BC＝CD，FG＝BG， CD∥FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°，∴∠CHG＝∠CAB＝ ∠ACB＝45°，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，∴CG＝GH， ∴CG＋BG＝GH＋FG，∴BC＝FH，∴CD＝FH， ∴△CDP≌△HFP(ASA)，∴DP＝PF，即点P是DF的中点.
(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如 图(2).根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由.规律探究：
【解】(2)△APE是等腰直角三角形.理由如下：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴∠BEG＝∠PAE＝ 45°，∴∠APE＝90°，AP＝EP，∴△APE是等腰直角三角形.
(3)如图(3)，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中 点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由.
延长EP至Q，使PQ＝PE，连接DQ，AQ，延长DA和FE交于点N.
【解】(3)△APE的形状不变.
理由如下：如图(2)，
∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE(SAS)，
∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，
∴∠N＋∠ADQ＝180°.
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，