2025中考复习数学考点专题探究课件：专题13　与圆有关定理的证明与计算

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专题13　与圆有关定理的证明与计算
类型1　垂径定理的证明与计算

2. [2024山东枣庄二模，中]现在很多家庭都使用折叠型餐桌(如图(1))来节省空 间，餐桌两边翻开后成为圆形桌面，餐桌两边AD和BC平行且相等， AB⊥AD(如图(2))，小华用皮尺量得AC＝1.6米，AB＝0.8米，那么桌面翻 开成为圆形桌面后，桌面面积增加 　平方米.(结果保留根号)

3. [2024河北邯郸模拟，中]如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20 m， OE⊥CD于点E.
(2)当水位的高度比(1)中上升1 m时，有一艘宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形MNPQ)，请通过计算判断该货船能否顺 利通过桥洞.
【解】(1)①如图(1)，连接OD. ∵OE⊥CD，
∵货船宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m，
∴该货船能顺利通过桥洞.
(2)由(1)中水位高度为5 m可知此时OE＝5＋1＝6(m).
如图(2)，延长OE交MQ于F，连接OM，则OF⊥MQ.
类型2　圆周角定理及其推论的证明与计算
4. [2023吉林中考，中]如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半 径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP. 若∠BAC＝70°， 则∠BPC的度数可能是(　D　)
5. [2024江苏连云港二模，中]如图，在☉O的内接五边形ABCDE中，∠EBD＝31°，则∠A＋∠C＝ °.
【解析】连接CE. ∵五边形ABCDE是☉O的内接五边形，∴四边形ABCE是 ☉O的内接四边形，∴∠A＋∠BCE＝180°.∵∠ECD＝∠EBD＝31°， ∴∠A＋∠BCD＝180°＋31°＝211°.故答案为211.
6. [2023湖南衡阳中考，中]如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是 弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于 点G.
(1)求证：AF＝DF.
类型3　切线的证明与计算
8. [2023辽宁大连中考，中]如图(1)，在☉O中，AB为☉O的直径，点C为 ☉O上一点，AD为∠CAB的平分线交☉O于点D，连接OD交BC于点E.
(1)求∠BED的度数；
【解】(1)∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AD为∠CAB的平分线，∴∠BAC＝2∠BAD.
∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，
∴OD∥AC，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
9. [2023山东烟台中考，中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点E，☉O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且 AG＝GD.
(1)求证：AB是☉O的切线；
(1)【证明】如图，连接OA，OD.
∵AG＝GD，OA＝OD，∴OF⊥AD，
∴∠OGA＝∠FGA＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠GAF＝ ∠BAF，∴∠GAF＋∠AFG＝∠BAF＋∠AFG＝90°.
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OAF＋∠BAF＝∠OAB＝90°.
又∵OA为☉O的半径，∴AB是☉O的切线.