2025中考复习数学考点专题探究课件：专题10　特殊三角形的分类讨论

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大招专题10　特殊三角形的分类讨论
母题学大招1　等腰三角形1. [2023江苏泰州中考，中]如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线 CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜75°)，与射线AB相交于点 D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 .
22.5°或45°或67.5°
②当DA'＝DE，且点A'位于AB下方时，∠A'＝∠DEA'＝30°.∵∠DEA'是 △ACE的一个外角，∴∠DEA'＞30°，∴此种情况不成立.当DA'＝DE，且点A'位于AB上方时，∵∠CA'D＝30°，∴∠DA'E＝ 150°.∵等腰三角形的底角不能为钝角，∴此种情况不成立.
③当ED＝EA'，且点A'位于AB下方时，如图(3)，∠EDA'＝∠A'＝30°，∴∠DEA'＝180°－∠EDA'－∠A'＝120°.
当ED＝EA'，且点A'位于AB上方时，同②易知此种情况不成立.综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°或67.5°.故答案为22.5°或45°或67.5°.
子题练变式　等腰三角形的形状不确定求线段长或角度
2. [2023辽宁朝阳中考，中]在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边 AD上一点(点M不与点A，D重合)，连接CM，将△CDM沿CM翻折得到 △CNM，连接AN，DN. 当△AND为等腰三角形时，DM的长为 .
【解析】∵四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝6，∴CD＝AB＝5，AD＝ BC＝6，∠ADC＝90°.设DN与CM交于点T. 由翻折的性质得DT＝NT， DM＝NM，CM⊥DN，∠CNM＝∠CDM＝90°.
3. [2024山东烟台模拟，中]如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时 针旋转α(0°＜α＜180°)得到线段AD'，连接BD'，CD'.若△D'BC是等腰三角 形，则α＝ 　.
30°或60°或150°
【解析】当D'B＝BC，D'在AB上方时，如图(1).∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD，∠DAB＝90°.由旋转的性质得AD'＝AD＝AB＝BC＝D'B，∴△ABD'是等边三角形，∴∠BAD'＝60°，∴∠DAD'＝150°，即α＝150°.
当D'B＝BC，D'在AB下方时，如图(2).∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠DAB＝90°.由旋转的性质得AD'＝AD＝AB＝BC＝D'B，∴△ABD'是等边三角形， ∴∠BAD'＝60°，∴∠DAD'＝30°，即α＝30°.当D'B＝D'C时，如图(3)，连接DD'，∴D'在线段BC的垂直平分线上，易知D'也在AD的垂直平分线上， ∴D'D＝AD'.由旋转的性质得AD'＝AD＝DD'，∴△ADD'是等边三角形，∴∠DAD'＝ 60°，即α＝60°.
当CD'＝BC＝AD时，此种情况不存在.综上所述，α的值为30°或60°或150°.故答案为30°或60°或150°.
母题学大招2　直角三角形5. [2023河南中考，中]矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD 上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时， AD的长为 .
子题练变式1　直角三角形的形状不确定求线段长或角度
6. [2023江西中考，中]如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到 AP，连接PC，PD. 当△PCD为直 角三角形时，旋转角α的度数为 ⁠.
90°或180°或270°
如图(2)所示，当点P在AC上时，∠BAP＝90°，则旋转角α的度数为 90°，此时∠DCP＝90°，∴△PCD为直角三角形.当P在BA的延长线上时，旋转角α的度数为180°，如图(3)所示，连接 AC. ∵PA＝AB＝CD，PA∥CD，∴四边形PACD是平行四边形.∵∠BAC＝90°，∴∠PAC＝90°，∴四边形PACD是矩形，∴∠CDP＝90°，∴△PCD是直角三角形.
当点P在CA的延长线上时，如图(4)所示，则α＝360°－90°＝270°， ∠PCD＝90°，∴△PCD是直角三角形.综上所述，旋转角α的度数为90° 或180°或270°.故答案为90°或180°或270°.
7. [2023黑龙江七台河中考，中]矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形 ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则 点E到直线BC的距离是 　.
【解析】由题意可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上.当∠EAD＝ 90°时，如图(1)，易知E，A，B三点共线，∴点E到直线BC的距离为BE的 长度，即BE＝2AB＝6.
当∠AED＝90°时，分两种情况：
子题练变式2　直角三角形的形状不确定求点的坐标
8. [2023四川眉山中考，较难]如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为 (－8，6)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C，点A. 直线y＝ －2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E. 动点M在线段BC上，动点N在直 线y＝－2x－6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点 M的坐标为 ⁠.
【解析】设N(t，－2t－6).①当点N在AB下方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴 于点P，交BC于点Q，如图(1)，∴∠APQ＝∠NQM＝90°.∵△AMN是以点 N为直角顶点的等腰直角三角形，∴AN＝NM，∠ANM＝90°，∴∠ANP＋ ∠MNQ＝∠NMQ＋∠MNQ，∴∠ANP＝∠NMQ， ∴△APN≌△NQM(AAS)，∴AP＝NQ，NP＝MQ. ∵N(t，－2t－6)，∴NP ＝MQ＝－t，OP＝－2t－6.又∵NQ＝AP＝8－NP＝8＋t，AP＋OP＝ OA＝6，∴8＋t－2t－6＝6，∴t＝－4，∴CM＝MQ＋CQ＝MQ＋OP＝ －t－2t－6＝6，∴M(－8，6)，即点M与点B重合.