湖南省永州市零陵区2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市零陵区2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2023的相反数是（ ）
A．B．C．2023D．﹣2023
解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．下列四个数中是负分数的是（ ）
A．﹣2B．3.14C．﹣0.618D．
解：﹣0.618是负分数；﹣2是负整数；3.14，是正分数；
故选：C．
3．下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2bB．﹣2ab2C．abD．ab2c
解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
4．10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F是捆绑四级助推器的两级运载火箭，其起飞重量为480吨，火箭全长58.34米，近地轨道运载能力为8500千克．请你将8500用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×103B．85×102C．0.85×104D．850×10
解：8500＝8.5×103，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．﹣52＝25B．C．7ab﹣5ab＝2D．a﹣3a＝﹣2a
解：A．﹣52＝﹣25，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．7ab﹣5ab＝2ab，故本选项不符合题意；
D．a﹣3a＝﹣2a，故本选项符合题意．
故选：D．
6．若a＝（﹣1）2022，b＝（﹣1）2023，c＝﹣2024，则下列对a，b，c的值大小排列正确的是（ ）
A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b
解：a＝（﹣1）2022＝1，b＝（﹣1）2023＝﹣1，
∵1＞﹣1＞﹣2024，
∴a＞b＞c．
故选：C．
7．下列对于0的说法错误的是（ ）
A．0是整数
B．0既不是正数也不是负数
C．0的倒数是0
D．0的任何正整数次幂是0
解：0是整数，所以A正确；
0既不是正数也不是负数，所以B正确；
0不能做分母，所以0没有倒数，所以C错误；
0的任何正整数次幂是0，所以D正确；
故选：C．
8．在一次数学课外实践活动中老师提出一个问题，假设有一张足够长和宽的纸，纸的厚度约为0.1毫米，对折30次，请大家猜想折叠后有多厚？下面是四个同学的猜想：
甲同学：大约有一本数学书厚；
乙同学：大约比姚明的身高还高（注：姚明身高226cm）；
丙同学：大约比我们的5层教学楼还高；
丁同学：大约比珠穆朗玛峰还高．
你认为哪个同学的猜想更合理？（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
解：根据题意可知0.1×230＝107374182.4（毫米），
107374182.4毫米＝107374.1824米，
107374.1824＞8848，
∴大约比珠穆朗玛峰还高．
故选：D．
9．下列图形是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图形①需要8根小木棒，图形②需要15根小木棒，图形③需要22根小木棒，…，按此规律，第n个图形需要小木棒的根数是（ ）
A．7n+1B．7n+8C．8n+1D．8n﹣1
解：由图可得，
图案①有：1+7＝8根小木棒，
图案②有：1+7×2＝15根小木棒，
图案③有：1+7×3＝22根小木棒，
…，
则第n个图案有：（7n+1）根小木棒，
故选：A．
10．如图，在数轴上有a，b，c三个数，则下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜bB．a+b＜0C．abc＞0D．|a﹣b|＝a﹣b
解：由数轴得，a＜﹣1，0＜b＜1，c＞1，
∴|a|＞b，a+b＜0，abc＜0，a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（﹣2）3＝ ﹣8 ．
解：（﹣2）3＝﹣8．
12．单项式﹣2a2b的次数是 3 ．
解：单项式﹣2a2b的次数是：3．
故答案为：3．
13．已知有两个数a，b，且ab＝1，若，则b＝ ﹣4 ．
解：∵ab＝1，而a＝﹣，即﹣b＝1
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．第三届“一带一路”国际合作论坛于2023年10月17日至18日在北京隆重举行，期间共有140多国家，30多个国际组织代表参加了会议．其中，俄罗斯总统于10月17日到达北京，已知俄罗斯首都莫斯科与北京的时差是﹣5小时（即同一时刻莫斯科时间比北京时间晚5小时），俄罗斯总统普京乘坐的专机飞往北京需6小时，普京乘坐的专机从莫斯科凌晨1：00（当地时间）出发，则到达北京机场的北京当地时间是 12：00 ．
解：1+5+6＝12（时），
即到达北京机场的北京当地时间是12：00，
故答案为：12：00．
15．11月8日零陵区第二届学生运动会在永州工商职业中专隆重召开，开幕式上蘋洲校区七年级三百多人为大家表演了一场精彩绝伦，美轮美奂的集体舞．学校为每位表演的同学购买了一套演出服装，下面是商家给出购买服装的优惠措施：①若购买服装不超过100套按每套标价120元出售；②若购买服装不超过200套，超过100套部分按标价8折出售；③若购买服装超过200套，超过200套部分按标价6折出售．若学校购买的服装为x套（x≥300），则应付款 （72x+7200） 元（用含x的代数式表示，结果要化简）．
解：由题意可得，
100×120+（200﹣100）×120×0.8+（x﹣200）×120×0.6
＝12000+100×120×0.8+120×0.6x﹣200×120×0.6
＝12000+9600+72x﹣14400
＝（72x+7200）元，
即应付款（72x+7200）元，
故答案为：（72x+7200）．
16．高斯是德国著名的数学家，他首次用[x]表示不大于x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣1.6]＝﹣2，根据定义计算：[0.618]﹣[﹣5.1]×[4.3]＝ 24 ．
解：由题意得：
[0.618]﹣[﹣5.1]×[4.3]
＝0﹣（﹣6）×4
＝0+24
＝24．
故答案为：24．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．计算：
（1）2﹣（﹣3）+（﹣5）；
（2）．
解：（1）2﹣（﹣3）+（﹣5）
＝2+3+（﹣5）
＝0；
（2）
＝×24﹣×24﹣×24
＝12﹣16﹣20
＝﹣24．
18．计算：
（1）﹣2x2﹣3﹣x2+1；
（2）3x2y﹣5xy2﹣3（x2y﹣2xy2）．
解：（1）﹣2x2﹣3﹣x2+1
＝（﹣2x2﹣x2）+（﹣3+1）
＝﹣3x2﹣2；
（2）3x2y﹣5xy2﹣3（x2y﹣2xy2）
＝3x2y﹣5xy2﹣3x2y+6xy2
＝xy2．
19．先化简，再求值：xy﹣（3x﹣2xy）+（3xy﹣2x），其中x＝2，．
解：原式＝xy﹣3x+2xy+3xy﹣2x
＝6xy﹣5x，
当x＝2，y＝﹣时，
原式＝6×2×（﹣）﹣5×2＝﹣6﹣10＝﹣16．
20．为实施乡村振兴战略，零陵区委区政府打造特色经济作物产业，根据我区地域优势发展种植“四季水果园”．黄田铺镇的万亩纽荷尔脐橙便是其中精品项目之一，纽荷尔脐橙质优价美，深受大家喜爱．下面是小明家种植的一块地所采摘的20袋脐橙，小明在记录重量时采用了如下记录方法，以25千克为标准，超过或不足部分分别用正，负数表示，记录如下：
（1）请求出20袋脐橙中最重一袋比最轻一袋重 4 千克；
（2）与标准质量相比，20袋脐橙总质量超过或不足多少千克；
（3）若这批脐橙每千克售价为5元，那么这20袋脐橙可卖多少元？
解：（1）2﹣（﹣2）＝2+2＝4（千克），
即20袋脐橙中最重一袋比最轻一袋重4千克，
故答案为：4；
（2）﹣2×5﹣1.5×4﹣1×1+0×3+1×3+2×4＝﹣6（千克），
即与标准质量相比，20袋脐橙总质量不足6千克；
（3）（25×20﹣6）×5
＝494×5
＝2470（元），
即这20袋脐橙可卖2470元．
21．零陵历史文化悠久，风景优美，其中位于潇水中路的零陵楼是零陵古城的标志性建筑，如图所示，零陵楼下的桥洞是由一个半圆和一个长方形组成．
（1）若桥洞宽为a，桥墩高为b，求桥洞横截面的面积S（用含a，b，π的代数式表示）；
（2）当a＝20m，b＝9m，则它的面积是多少平方米（结果保留π）．
解：（1）桥洞横截面面积＝半圆的面积+长方形的面积，
半圆的面积＝×π×（）2＝，
长方形的面积＝ab，
桥洞横截面的面积S＝ab+；
（2）当a＝20m，b＝9m时，
S＝180+50π，
它的面积是（80+50π）平方米．
22．已知多项式A＝2x2+3xy﹣5x，B＝x2﹣xy+y2．
（1）化简2A﹣4B；
（2）若x是最大的负整数，y是绝对值最小的数，求2A﹣4B的值；
（3）若2A﹣4B的值与x的取值无关，求y的值．
解：（1）2A﹣4B
＝2（2x2+3xy﹣5x）﹣4（x2﹣xy+y2）
＝4x2+6xy﹣10x﹣4x2+4xy﹣4y2
＝10xy﹣10x﹣4y2．
（2）∵x是最大的负整数，y是绝对值最小的数，
∴x＝﹣1，y＝0，
∴原式＝10×（﹣1）×0﹣10×（﹣1）﹣4×02＝10．
（3）因为2A﹣4B的值与x的取值无关，
所以2A﹣4B
＝10xy﹣10x﹣4y2
＝10x（y﹣1）﹣4y2，
所以y﹣1＝0，
所以y＝1．
23．材料1：在一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，多项式的值不变，则称这样的多项式为“二元轮换对称式”．例如x2+y2，x3+y3，（5x﹣3）（5y﹣3），…都是“二元轮换对称式”，对于所有的“二元轮换对称式”都可以用含相同字母的另一个“二元轮换对称式”来表示，形成一个“基本轮换对称式”，例如：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy是一个“基本轮换对称式”．
材料2：求形如xn+yn（n≥2且为整数）的“基本轮换对称式”
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
x3+y3＝（x2+y2）（x+y）﹣xy（x+y）
x4+y4＝（x3+y3）（x+y）﹣xy（x2+y2）
…
通过阅读上列材料，解决以下问题．
（1）式子①2a﹣2b；②3a2+3b2；③a3+2ab+b3；④a3+ab2+a2b+b3中，属于“二元轮换对称式”的是 ②③④ （填序号）；
（2）若已知x+y＝5，xy＝3，求x4+y4的值；
（3）请你直接写出xk+1+yk+1的“二元轮换对称式”．
解：（1）在①2a﹣2b；②3a2+3b2；③a3+2ab+b3；④a3+ab2+a2b+b3中，
②3a2+3b2；③a3+2ab+b3；④a3+ab2+a2b+b3，a、b互换值不变，
∴②③④是二元对称式，
故答案为：②③④；
（2）将x+y＝5，xy＝3代入得：
∵x3+y3＝（x2+y2）（x+y）﹣xy（x+y）
∴x3+y3＝5（x2+y2）﹣15，
∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴x2+y2＝25﹣6＝19，
∴x3+y3＝5（x2+y2）﹣15＝5×19﹣15＝80；
∴x4+y4＝（x3+y3）（x+y）﹣xy（x2+y2）
＝80×5﹣3×19
＝343．
（3）根据题意xk+1+yk+1的“二元轮换对称式”为：
xk+1+yk+1＝（xk+yk）（x+y）﹣xy（xk﹣1+yk﹣1），其中k为正整数．
24．【新知学习】在数轴有两点M，N，则点M与点N的距离可以记“MN”，若点M表示的数为m，点N表示的数为n，则点M与点N的距离是MN＝|m﹣n|．例如：﹣3与1的距离可以计算为|﹣3﹣1|＝4．
（1）【呈现问题】若在数轴上A，B两点所对应点的数分别是a，b，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，则a＝ ﹣3 ，b＝ 9 ，AB＝ 12 ；
（2）【解决问题】在（1）的条件下，有一动点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，然后在新的位置向右移动2个单位长度，在此位置第3次运动，向左运动3个单位长度，…，按照此规律不断地左右运动，当运动到4052次时，求点P所对应的数；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一位置，使得PB＝3PA，求此时点P所对应的数，并直接写出是第几次运动？
解：（1）由题意得，a+3＝0，b﹣9＝0，
∴a＝﹣3，b＝9．
∴AB＝|﹣3﹣9|＝12．
故答案为：﹣3，9，12．
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：﹣3﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+4050﹣4051+4052，
＝﹣3+2026
＝2023．
答：点P所对应的数为2023．
（3）设点P对应的有理数的值为x，
①当点P在点A的左侧时：PA＝﹣3﹣x，PB＝9﹣x，
依题意得：
9﹣x＝3（﹣3﹣x），
解得：x＝﹣9；
②当点P在点A和点B之间时：PA＝x﹣（﹣3）＝x+3，PB＝9﹣x，
依题意得：9﹣x＝3（x+3），
解得：x＝0；
③当点P在点B的右侧时：PA＝x﹣（﹣3）＝x+3，PB＝x﹣9，
依题意得：x﹣9＝3（x+3），
解得：x＝﹣9，这与点P在点B的右侧（即x＞9）矛盾，故舍去．
综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣9和0．
∴﹣9和0分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．
25．在一般情况是不成立的，但是在有些特殊情况下有些数可以使它成立，例如：a＝b＝0．我们把使得成立的一对数a，b称为“好闺蜜数对”，记作（a，b）．
（1）请你判断（1，）是不是“好闺蜜数对”；
（2）请你分别求出当a＝2，3，﹣4时对应的b的值；
（3）通过上面计算请你猜想a，b的关系，直接写出结论；
（4）若（m，n）是“好闺蜜数对”，求代数式的值．
解：（1）是；
理由：由公式，
当a＝1，b＝﹣时，
则＝＝﹣，
＝＝﹣，
∴＝成立，
∴（1，）是不是“好闺蜜数对”；
（2）由公式，
当a＝2时，＝，
解得：b＝﹣4.5，
记作（2，﹣4.5）；
当a＝3时，，
解得：b＝﹣，
记作（3，﹣）；
当a＝﹣4时，，
解得：b＝9，
记作（﹣4，9）；
（3）由公式成立，
则15a+10b＝6a+6b，
整理得：9a+4b＝0，
故a，b的关系为9a+4b＝0；
（4）当（m，n）是“好闺蜜数对”，
根据（3）中结论可得9m+4n＝0，
则
＝﹣m﹣n﹣4m+2（3n﹣1）
＝﹣3m﹣n+6n﹣2
＝﹣3m﹣n﹣2
＝﹣（9m+4n）﹣2
＝3×0﹣2
＝﹣2．与标准质量差值
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
2
袋数
5
4
1
3
3
4