5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题10规律探究题(针对16、17、18、19题)(真题5题模拟60题)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题10规律探究题(针对16、17、18、19题)(真题5题模拟60题)特训（学生版+解析），共95页。试卷主要包含了【观察思考】，观察以下等式，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
2．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
3．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为
（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
4．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
5．（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
一．解答题（共60小题）
1．（2023•淮南一模）观察下列各式：
①＝5；
②＝11；
③＝19；
…
（1）观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
（2）根据上述规律，猜测写出＝ ，并加以证明．
2．（2023•濉溪县模拟）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
（1）图6中的“☆”的个数有 个；
（2）图n中的“☆”的个数有 个；
（3）图n中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
3．（2023•全椒县一模）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
（1）在图5中，白点有 个，黑点有 个；图n中，白点有 个，黑点有 个；
（2）在图n中，若白点和黑点共有169个，求n的值．
4．（2023•大观区校级二模）用若干个“〇”与“▲”按如图方式进行拼图：
（1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
（2）根据你所观察到的规律，分别写出图n中“〇”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）．
5．（2023•合肥二模）观察如图中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示）；
（3）若第n组图形中等号左右两边各有171个小黑点，求n．
6．（2023•蜀山区二模）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表1个C原子，通常省略H原子）．
已知：苯的结构式是，结构简式为，分子式是C6H6；
2个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是C10H8；
3个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是C14H10；
根据以上规律，回答下列问题：
（1）4个苯环相连的分子式是 ；
（2）n个苯环相连的分子式是 ；
（3）试通过计算说明分子式为C2622H1314是否属于上述类型的芳香族化合物．
7．（2023•凤阳县二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2022年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．
（1）如图2，设日历中所示图形左上角的数字为x，则框中其余四个数可以表示为 ， ， ， ．
（2）请用含x的式子表示发现的规律 ；
（3）利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
8．（2023•包河区三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
9．（2023•金安区一模）观察下列等式：
第1个等式：1+1+＝2
第2个等式：2+
第3个等式：3+
第4个等式：4+
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
10．（2023•庐阳区校级三模）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22﹣32＝1×a﹣b，
第2个等式：22+32﹣42＝2×0﹣b，
第3个等式：32+42﹣52＝3×1﹣b，
第4个等式：42+52﹣62＝4×2﹣b．
…
（1）根据以上等式规律：a＝ ，b＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
11．（2023•雨山区校级一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
12．（2023•瑶海区校级一模）观察下列算式：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；
②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；
③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第④个算式： ；
（2）根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明．
13．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
14．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
15．（2023•安徽模拟）观察下列等式：
第1个等式：1+8×1＝52﹣16×12；
第2个等式：1+8×2＝92﹣16×22；
第3个等式：1+8×3＝132﹣16×32；
第4个等式：1+8×4＝172﹣16×42；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并验证其正确性．
16．（2023•包河区一模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
17．（2023•滁州二模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出第n个等式： ，并证明．
18．（2023•庐阳区校级模拟）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图所示是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和四个H，分子式是CH4；第2个结构式中有两个C和六个H，分子式是C2H6；第3个结构式中有三个C和八个H，分子式是C3H8；按照此规律，回答下列问题：
（1）第5个结构式的分子式是 ；
（2）在第n个结构式的分子式是 ；
（3）试通过计算说明分子式为C2023H4048是否属于上述的碳氢化合物．
19．（2023•天长市校级三模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．
（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为 块；
（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为 块；
（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．
20．（2023•裕安区校级二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
（1）第4个图案L（4）有白色地砖 块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块 地砖（用含n的代数式表示）；
（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．
21．（2023•安庆模拟）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边长作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形ACEF的对角线AE为边长作第3个正方形，如此进行下去，…
①记正方形ABCD的边长为a1＝1，依上述方法
②所作的正方形的边长依次记为a2、a3、a4，则a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ；
③据上述规律写出第n个正方形的边长an的表达式，an＝ ．
22．（2023•南陵县校级一模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第⑤个图中有 个黑色圆点；第⑩个图中有 个黑色圆点；
（2）第 个图中有210个黑色圆点．
23．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
（1）图4灰砖有 块，白砖有 块；图n灰砖有 块时，白砖有 块；
[问题解决]
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
24．（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．
【观察思考】
当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．
【规律总结】
（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加 块；
（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为 块；（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？
25．（2023•合肥模拟）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：
​（1）图10中小正方形的数量是 个：图2023的周长是 个单位长度；
（2）若图1中小正方形个数记作 a1，图2中小正方形图个数记作a2…，图n中小正方形个数记作an，则a1+a2+…+an＝ 个（用含n的代数式表示）．
26．（2023•金安区校级三模）填空：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
……
（1）（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝ ；
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ ；（其中n为正整数，且n≥2）
（3）利用（2）中的猜想的结论计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1；
27．（2023•天长市校级二模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第4个等式： ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式并证明（n为正整数）．
28．（2023•无为市三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
解决下列问题：
（1）按照以上规律，写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明；
（3）利用上述规律，直接写出结果：＝ ．
29．（2023•六安三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：1+；
第4个等式：；
…
根据以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
30．（2023•花山区二模）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
31．（2023•无为市四模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
32．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：
第3个等式：；第4个等式：
第5个等式：_……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
33．（2023•明光市二模）观察下列关于自然数的等式：
2×4﹣12+1＝8
3×5﹣22+1＝12
4×6﹣32+1＝16
5×7﹣42+1＝20
…
利用等式的规律，解答下列问题：
（1）若等式8×10﹣a2+1＝b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a＝ ，a+b＝ ．
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．
34．（2023•蚌埠二模）观察以下等式：
第1个等式：12+32﹣2＝8×1；
第2个等式：32+52﹣2＝8×4；
第3个等式：52+72﹣2＝8×9；
第4个等式：72+92﹣2＝8×16；
第5个等式：92+112﹣2＝8×25；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明．
35．（2023•包河区三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
36．（2023•合肥三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
规律探究：
（1）如图1所示，第8个正方形的边长为 ；
（2）如图2所示，相应长方形的周长如表所示．
若按此规律继续作长方形，则x＝ ，y＝ ；
拓展延伸：
（3）按一定规律排列的一列数：101，102，103，105，108，1013，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且x＜y＜z，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
37．（2023•宣州区三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式，并证明你的结论．
38．（2023•贵池区二模）观察下列关于自然数的等式：
3×1×2＝1×2×3﹣0×1×2，①
3×2×3＝2×3×4﹣1×2×3，②
3×3×4＝3×4×5﹣2×3×4，③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：3×4×5＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
（3）根据你发现的规律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100＝ ．（直接写出结果即可）
39．（2023•烈山区一模）观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明你的结论．
40．（2023•淮北一模）观察下列等式：
第1个等式．＝1；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
⋯
请根据上述规律，解答下列问题：
（1）请直接写出第5个等式： ；
（2）猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
41．（2023•花山区一模）观察下列等式：
①13+23＝3×（1﹣2+4）
②23+33＝5×（4﹣6+9）
③33+53＝8×（9﹣15+25）
④63+103＝16×（36﹣60+100）
…
（1）请再写出一个符合上述规律的式子： ；
（2）请你把发现的规律用字母a、b表示出来，并证明．
42．（2023•贵池区二模）观察下列等式：
第1个等式：＝1；
第2个等式：＝3；
第3个等式：＝5；
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
43．（2023•歙县校级模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
44．（2023•瑶海区一模）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
45．（2023•霍邱县二模）如图是用棋子摆成的图案：
​根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
（1）第4个图中有 颗棋子，第5个图中有 颗棋子；
（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是 ．
（3）请求出第多少个图形中棋子的个数是274个．
46．（2023•蜀山区校级三模）图形规律．
如图，按此规律摆放，
（1）第6个图中梯形数为 ，第7个图中梯形数为 ；第8个图中梯形数为 ，第9个图中梯形数为 ；
（2）第（2n+2）个图中梯形数与第（2n﹣1）个图中梯形数的差为 ．
​
47．（2023•芜湖三模）观察与思考：我们知道，那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？
请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：​
（1）尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
（2）概括：13+23+33+…+n3＝ ；
（3）拓展应用：求的值．
48．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．
​​按照以上规律，解决下列问题：
（1）第4个图案需要花卉 盆；
（2）第n个图案需要花卉 盆（用含n的代数式表示）；
（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
49．（2023•金安区校级一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．
[观察思考]
第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．
[规律总结]
（1）第5个图形有 盆花；
（2）第n个图形中有 盆花（用含n的代数式表示）；
[问题解决]
（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？
50．（2023•定远县校级一模）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．
[观察思考]
第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；
……
以此类推
[规律总结]
（1）第（5）个图形中有 张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+……+n＝ ；（用含n的代数式表示）
[问题解决]
（3）根据你的发现计算：101+102+103+……+200．
51．（2023•安庆二模）设一个两位数可表示为10a+3，当a取不同的值时，的平方如下：
第1个等式：13×13＝169＝（10×1+6）×10×1+9；
第2个等式：23×23＝529＝（10×2+6）×10×2+9；
第3个等式：33×33＝1089＝（10×3+6）×10×3+9；
…
（1）请写出第4个等式： ；
（2）根据上述规律，请写出的平方的一般性规律，并予以证明．
52．（2023•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；
②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；
③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）由等式a+b＝ab猜想： ，并证明你的猜想；
（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
53．（2023•迎江区校级二模）观察下列一组等式，解答后面的问题：
＝＝﹣1
＝＝﹣
（1）化简：＝ ，＝ （n为正整数）；
（2）比较大小：﹣ ﹣（填“＞”，“＜”或“＝”）；
（3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：+++…+＝ ．
54．（2023•安徽模拟）【观察思考】如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点ABCDE把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】
（1）填写下表：
【问题解决】
（2）原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点；若不能，请说明理由．
55．（2023•安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，
第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，
第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，
第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的代数式表示），并证明．
56．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：
（1）第6个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；
（2）第n个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；（用含n的式子表示）
（3）当摆放到第 个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．
57．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
（1）写出④x4＝ ；
（2）猜想：xn＝ ；
（3）由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022﹣2023的值．
58．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①；
②；
③；
（1）1×2+2×3+3×4＝ ；
（2）1×2+2×3+⋅⋅⋅+n（n+1）＝ ；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋅⋅⋅+n（n+1）（n+2）＝ ．
59．（2023•蚌山区校级模拟）研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律并计算7×9+1＝ ＝（ ）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律： ．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：＝ ．
60．（2023•舒城县模拟）用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数；
（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？
专题10 规律探究题（针对16、17、18、19题）（真题5题模拟60题）
1．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，
第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，
第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，
…，
∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，
故答案为：3n；
（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：＝2×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．
2．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
3．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为
（用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【解答】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
故答案为：2；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；归纳得：4+2n（即2n+4）；
∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 2n+4块；
故答案为：2n+4；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，
∴用2021﹣1＝2020块，
再由题意得：2n+4＝2020，
解得：n＝1008，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．
4．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．
证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，
∴等式成立．
故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
5．（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
一．解答题（共60小题）
1．（2023•淮南一模）观察下列各式：
①＝5；
②＝11；
③＝19；
…
（1）观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ＝41 ；
（2）根据上述规律，猜测写出＝ （n2+3n+1）2 ，并加以证明．
【分析】（1）根据①②③等式的规律解答；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）第⑤个等式为：＝41，
故答案为：＝41；
（2）＝（n2+3n+1）2，
证明如下：n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∴＝（n2+3n+1）2，
故答案为：（n2+3n+1）2．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2023•濉溪县模拟）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
（1）图6中的“☆”的个数有 35 个；
（2）图n中的“☆”的个数有 （n2﹣n+5） 个；
（3）图n中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
【分析】（1）图1中的“☆”的个数有12﹣1+5＝5个，图2中的“☆”的个数有22﹣2+5＝7个，图3中的“☆”的个数有32﹣3+5＝11个，图4中的“☆”的个数有42﹣4+5＝17个，由此得到规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）令n2﹣n+5＝100，解方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到答案．
【解答】解：（1）图1中的“☆”的个数有12﹣1+5＝5个，
图2中的“☆”的个数有22﹣2+5＝7个，
图3中的“☆”的个数有32﹣3+5＝11个，
图4中的“☆”的个数有42﹣4+5＝17个，
……
∴可以得到规律，图n中的“☆”的个数有（n2﹣n+5）个，
∴图6中的“☆”的个数有62﹣6+5＝35个，
故答案为：35；
（2）由（1）得图n中的“☆”的个数有（n2﹣n+5）个，
故答案为：（n2﹣n+5）；
（3）图n中的“☆”的个数不可能是100个，理由如下：
令n2﹣n+5＝100，则n2﹣n﹣95＝0，
解得，
又∵n为整数，
∴图n中的“☆”的个数不可能是100个．
【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
3．（2023•全椒县一模）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
（1）在图5中，白点有 24 个，黑点有 25 个；图n中，白点有 4（n+1） 个，黑点有 n2 个；
（2）在图n中，若白点和黑点共有169个，求n的值．
【分析】（1）根据图1﹣4中的白点和黑点数量的规律即可得；
（2）根据（1）的结果建立方程，解方程即可得．
【解答】（1）解：图1中白点数量为8＝4×（1+1）个，黑点数量为1＝12个，
图2中白点数量为12＝4×（2+1）个，黑点数量为4＝22个，
图3中白点数量为16＝4×（3+1）个，黑点数量为9＝32个，
图4中白点数量为20＝4×（4+1）个，黑点数量为16＝42个，
则图5中白点数量为4×（5+1）＝24个，黑点数量为25＝52个，
归纳类推得：图n中，白点有4（n+1）个，黑点有n2个，
故答案为：24，25，4（n+1），n2．
（2）解：由题意得：n2+4（n+1）＝169，即（n+2）2＝132，
解得n1＝11，n2＝﹣15（不符合题意，舍去），
故n的值为11．
【点评】本题考查了图形类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
4．（2023•大观区校级二模）用若干个“〇”与“▲”按如图方式进行拼图：
（1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
（2）根据你所观察到的规律，分别写出图n中“〇”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果；
（2）根据（1）即可得到规律．
【解答】解：（1）图1，〇的个数3＝3（21﹣1），▲的个数1＝3×21﹣1﹣2，
图2，〇的个数9＝3（22﹣1），▲的个数4＝3×22﹣1﹣2，
图3，〇的个数21＝3（23﹣1），▲的个数10＝3×23﹣1﹣2，
图4，〇的个数3（24﹣1）＝45，▲的个数3×24﹣1﹣2＝22，
故答案为：45，22；
（2）由（1）得到规律，图n，〇的个数3（2n﹣1），▲的个数3×2n﹣1﹣2．
【点评】本题主要考查探求规律的问题，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键．
5．（2023•合肥二模）观察如图中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： 25+30＝50+5 ．
（2）写出你猜想的第n个等式： n2+n（n+1）＝2n2+n （用含n的等式表示）；
（3）若第n组图形中等号左右两边各有171个小黑点，求n．
【分析】（1）根据所给的图形进行求解即可；
（2）分析所给的图形的特点，再进行总结即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）第5个等式为：25+30＝50+5，
故答案为：25+30＝50+5；
（2）猜想：第n个等式为：n2+n（n+1）＝2n2+n，
故答案为：n2+n（n+1）＝2n2+n；
（3）∵第n组图形中等号左右两边各有171个小黑点，
∴2n2+n＝171，
解得：n＝9．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
6．（2023•蜀山区二模）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表1个C原子，通常省略H原子）．
已知：苯的结构式是，结构简式为，分子式是C6H6；
2个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是C10H8；
3个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是C14H10；
根据以上规律，回答下列问题：
（1）4个苯环相连的分子式是 C18H12 ；
（2）n个苯环相连的分子式是 C4n+2H2n+4 ；
（3）试通过计算说明分子式为C2622H1314是否属于上述类型的芳香族化合物．
【分析】（1）根据所给的式子的形式进行求解即可；
（2）不难看出相邻的两个式中C的个数相差4，H的个数相差2，据此可求解；
（3）根据（2）进行求解即可．
【解答】解：（1）4个苯环相连的分子式是：C18H12；
故答案为：C18H12；
（2）由题意得：第n个苯环相连的分子式是：C6+4（n﹣1）H6+2（n﹣1）＝C4n+2H2n+4；
故答案为：C4n+2H2n+4；
（3）4n+2＝2622，
解得：n＝655，
则2×655+4＝1314，
故C2622H1314是属于上述类型的芳香族化合物．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
7．（2023•凤阳县二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2022年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．
（1）如图2，设日历中所示图形左上角的数字为x，则框中其余四个数可以表示为 x+2 ， x+14 ， x+16 ， x+8 ．
（2）请用含x的式子表示发现的规律 （x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100 ；
（3）利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
【分析】（1）根据图中的数据和题意，可以写出其余四个数；
（2）根据图中的数据和题意，可以写出这一规律；
（3）根据整式的乘法和合并同类项的方法可以证明（2）中的这一规律成立．
【解答】解：（1）设日历中所示图形左上角的数字为x，由图可得，
框中其余四个数可以表示为：x+2；x+14；x+16，x+8；
故答案为：x+2；x+14；x+16，x+8；
（2）由图可得，
这一规律是：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100，
故答案为：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100；
（3）证明：设中间的数字为x，则左上角的数字为x﹣8，右上角的数字为x﹣6，左下角的数字是x﹣6，右下角的数字是x+8，
（x+8）（x﹣8）+（x+6）（x﹣6）﹣2x2
＝x2﹣64+x2﹣36﹣2x2
＝﹣100，
故（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100这一规律成立．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握整式混合运算的计算方法是关键．
8．（2023•包河区三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察所给的四个等式，从中发现等式的左右两边，哪些没有变化，哪些变化了，变化的部分与等式的序号有什么关系，从而根据序号5写出第5个等式；
（2）同（1）方法，根据序号n写出第n个等式，然后对等式左边分式进行计算，得出和右边的式子一样即可．
【解答】解：（1）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第5个等式为：，
故答案为：；
（2）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第n个等式为：，
证明：左边＝
＝
＝
＝＝右边，
∴．
【点评】本题考查数式规律探究，解答时涉及分式的运算，理解题意，探究出规律是解题的关键．
9．（2023•金安区一模）观察下列等式：
第1个等式：1+1+＝2
第2个等式：2+
第3个等式：3+
第4个等式：4+
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 5++﹣＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： n++﹣＝ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．
【解答】解：（1）5+++5＝；
故答案为：5++﹣＝；
（2）n++n＝．
证明：∵左边＝n+
＝n+
＝n+
＝n+
＝n+
＝．
右边＝．
故答案为：n++﹣＝．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．
10．（2023•庐阳区校级三模）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22﹣32＝1×a﹣b，
第2个等式：22+32﹣42＝2×0﹣b，
第3个等式：32+42﹣52＝3×1﹣b，
第4个等式：42+52﹣62＝4×2﹣b．
…
（1）根据以上等式规律：a＝ ﹣1 ，b＝ 3 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）由等式的规律，可以发现a的取值，由其中任一等式可以得到b的值；
（2）根据等式中各部分与序号间的关系，猜想出第n个等式，然后证明左右两边相等即可．
【解答】解：（1）等式右边由两部分组成，前面部分是序号与比序号小2的数的积，
∴a＝﹣1，
由22+32﹣42＝2×0﹣b，
解得b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）等式左边是连续的三个整数平方组成，前两个和减去第3个，且第1个底数与序号相同，可表示为：n2+（n+1）2﹣（n+2）2，
等式右边由两部分的差，第一部分为序号乘以比序号小2的数，第二部分为3，可表示为：n（n﹣2）﹣3，
因此，猜想的第n个等式为：n2+（n+1）2﹣（n+2）2＝n（n﹣2）﹣3，
证明：左边＝n2+（n2+2n+1）﹣（n2+4n+4）
＝n2+n2+2n+1﹣n2﹣4n﹣4
＝n2﹣2n﹣3，
右边＝n2﹣2n﹣3，
∵左边＝右边，
∴n2+（n+1）2﹣（n+2）2＝n（n﹣2）﹣3．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，解题时涉及列代数式，完全平方公式，发现变化部分与等式序号间的关系是解题的关键．
11．（2023•雨山区校级一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式；
（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．
【解答】解：（1）第1个等式：，
第2个等式，
第3个等式，
第4个等式，……
∴第5个等式为：．
故答案为：．
（2）由（1）得，第n个等式：，
证明如下：＝＝＝＝，
等式左边＝右边，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．
12．（2023•瑶海区校级一模）观察下列算式：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；
②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；
③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第④个算式： 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ；
（2）根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据规律进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1＝2﹣1，
3＝2+1，
2＝3﹣1，
4＝3+1，
3＝4﹣1，
5＝4+1，
∴第④个算式为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；
（2）第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝（n2+2n）﹣（n2+2n+1）＝﹣1．
证明：n（n+2）﹣（n+1）2
＝n2+2n﹣（n2+2n+1）
＝n2+2n﹣n2﹣2n﹣1
＝﹣1．
【点评】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键．
13．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ×﹣＝1 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ×﹣＝1 （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据前4个等式的规律求解此题；
（2）根据前5个等式归纳出此题规律进行求解．
【解答】解：（1）∵第1个等式：1×﹣＝1×＝1，
第2个等式：＝1，
第3个等式：＝1，
第4个等式：＝＝1，
∴第5个等式：＝＝1，
故答案为：＝1；
（2）由题意得，
第1个等式：1×﹣＝1×＝1，
第2个等式：＝1，
第3个等式：＝1，
第4个等式：＝＝1，
……，
∴第n个等式：×﹣＝1．
故答案为：×﹣＝1．
【点评】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．
14．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．
【解答】解：（1）第5个等式为：，
故答案为：．
（2）第n个等式为：，
证明：
＝
＝
＝
＝，
∴．
【点评】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．
15．（2023•安徽模拟）观察下列等式：
第1个等式：1+8×1＝52﹣16×12；
第2个等式：1+8×2＝92﹣16×22；
第3个等式：1+8×3＝132﹣16×32；
第4个等式：1+8×4＝172﹣16×42；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 1+8×5＝212﹣16×52 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并验证其正确性．
【分析】（1）根据等式左、右两边的变化规律写出第5个等式即可；
（2）等式左边都可以表示成：1+8n的形式，等式右边都可以表示成：（4n+1）2﹣16n2，由此可写出第n个等式，再验证即可．
【解答】解：（1）∵第1个等式：1+8×1＝52﹣16×12；
第2个等式：1+8×2＝92﹣16×22；
第3个等式：1+8×3＝132﹣16×32；
第4个等式：1+8×4＝172﹣16×42；
∴第5个等式：1+8×5＝212﹣16×42，
故答案为：1+8×5＝212﹣16×52；
（2）第n个等式：1+8n＝（4n+1）2﹣16n2，
证明：∵右边＝16n2+8n+1﹣16n2＝8n+1＝左边，
∴1+8n＝（4n+1）2﹣16n2．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，解答中涉及完全平方公式，整式的加减．发现等式中变化部分与序号之间的关系是解题的关键．
16．（2023•包河区一模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行解答即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
【解答】解：（1）第6个等式为：．
故答案为：；
（2）猜想：第n个等式为：＝1，
证明：等式左边＝
＝
＝
＝
＝1
＝右边，
故猜想成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
17．（2023•滁州二模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出第n个等式： ，并证明．
【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现等号左边是按照顺序1，2，3⋯，n，等号右侧存在三个规律，第1个式子从2 开始，比2多1，分子从0开始，比1少1，分母从1开始，加号后面的分子都为1，分母为按顺序，以此类推即可；
（2）将（1）中得到的数字用n字母代替，然后证明出右侧与左侧相等即可．
【解答】解：（1），
（2），理由如下：
∵右侧＝，左侧＝n，
∴左侧＝右侧，等式成立．
【点评】本题主要考查了一般的数字规律探究，关键在于将数字和序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出一般规律．
18．（2023•庐阳区校级模拟）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图所示是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和四个H，分子式是CH4；第2个结构式中有两个C和六个H，分子式是C2H6；第3个结构式中有三个C和八个H，分子式是C3H8；按照此规律，回答下列问题：
（1）第5个结构式的分子式是 C5H12 ；
（2）在第n个结构式的分子式是 ∁nH2n+2 ；
（3）试通过计算说明分子式为C2023H4048是否属于上述的碳氢化合物．
【分析】（1）根据题目中的规律，第一个结构式中的H有2×1+2＝4个，第二个结构式中H为2×2+2＝6个，第三个结构式中的H有2×3+2＝8个，第四个结构式中H有2×4＝10个，据此规律可写出第5个结构式的分子式；
（2）根据（1）中找到规律即可求解；
（3）根据（2）的规律列式计算求解，即可判断．
【解答】解：（1）根据题意得，第一个结构式为CH4＝CH2×1+2，
第二个结构式为C2H6＝C2H2×2+2，
第三个结构式为C3H8＝C3H2×3+2，
第四个结构式为C4H10＝C4H2×4+2，
第五个结构式为C5H2×5+2＝C5H12，
故答案为：C5H12；
（2）由（1）得，
若含有n个C，则第n个化学式为∁nH2n+2．
故答案为：∁nH2n+2；
（3）由题意得2n+2＝4048，
解得：n＝2023，
故C2023H4048属于上述的碳氢化合物．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，在不同的结构式中找到C与H个数的关系，发现规律，写出代数式．
19．（2023•天长市校级三模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．
（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为 16 块；
（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为 块；
（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．
【分析】（1）通过观察图形，总结出规律：图n中红色正方形地砖为n2块，白色地砖为块4n，即可得出答；
（2）根据（1）的规律，设第x个图中白色正方形地砖为n，则，红色地砖为，即可得求解；
（3）根据（1）的规律，设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，列方程为x2﹣4x＝140，求解即可．
【解答】解：（1）图1，红色正方形地砖为1＝12块，白色地砖为4＝（1×4）块；
图2，红色正方形地砖为4＝22块，白色地砖为8＝（2×4）块；
图3，红色正方形地砖为9＝32块，白色地砖为12＝（3×4）块；
…
图n，红色正方形地砖为n2块，白色地砖为4n块；
∵n2＝16，
∴n＝4（负值不符合题意，已舍去），
∴白色地砖为4×4＝16；
（2）第x个图中白色正方形地砖为n，根据（1）的规律，得，
∴红色地砖为；
（3）设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，根据的规律得：
x2﹣4x＝140，
解得x＝14，x＝﹣10（不合题意，舍去），
∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，
答：这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．
【点评】本题考查探究图形规律，解二元一次方程；总结归纳出图形规律是解题的关键．
20．（2023•裕安区校级二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
（1）第4个图案L（4）有白色地砖 15 块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块 （3n+3） 地砖（用含n的代数式表示）；
（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．
【分析】（1）不难看出，相邻的两个图案中白色地砖相差3块，据此可求解；
（2）由题意可得L（n）的长度为（2n+1）米，从而可求解，再结合（1）运算即可．
【解答】解：（1）∵第1个图案L（1）的白色地砖块数为：6，
第2个图案L（2）的白色地砖块数为：6+3＝6+3×1，
第3个图案L（3）的白色地砖块数为：6+3+3＝6+3×2，
第4个图案L（4）的白色地砖块数为：6+3×3＝15，
…，
第n个图案L（n）的白色地砖块数为：6+3（n﹣1）＝3n+3，
故答案为：15，（3n+3）；
（2）∵L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，
∴L（n）的长度为：（2n+1）米，
∴当2n+1＝2023时，
解得：n＝1011，
∴L（1011）中白色地砖的块数为：3n+3＝3×1011+3＝3036．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是分析清楚图形中存在的规律．
21．（2023•安庆模拟）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边长作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形ACEF的对角线AE为边长作第3个正方形，如此进行下去，…
①记正方形ABCD的边长为a1＝1，依上述方法
②所作的正方形的边长依次记为a2、a3、a4，则a2＝ ，a3＝ 2 ，a4＝ 2 ；
③据上述规律写出第n个正方形的边长an的表达式，an＝ （）n﹣1 ．
【分析】②找到正方形对角线为正方形边长的倍的关系，根据a1即可求a2，进而可以求a3，a4；
③由②发现的规律可求an与n的关系．
【解答】解：②a2为边长为a1的正方形的对角线，
a3为边长为a2的正方形的对角线，…
又因为正方形中对角线长为边长的倍，
所以a2＝，
a3＝2，
a4＝2；
故答案为：，2，2；
③根据a1、a2、a3、a4的大小可以推断an与n的关系，
an＝（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为90°的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到an与n的关系是解题的关键．
22．（2023•南陵县校级一模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第⑤个图中有 15 个黑色圆点；第⑩个图中有 55 个黑色圆点；
（2）第 20 个图中有210个黑色圆点．
【分析】图形问题，可以作差比较，发现第一个图形得两个得到第二个图形，第二个图形加三个得到第三个图形，第三个图形加四个得到第四个图形，以此类推，可找出规律．
【解答】解：第一个图形的数量是1，可以表示为；第二个图形的数量是3，可以表示为；第三个图形的数量是6，可以表示为；第四个图形的数量是10，可以表示为，根据此规律可以得到第n个图形的圆圈数量为，
（1）第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有＝55个黑色圆点；
故答案为：15；55；
（2）设第x个图中有210个黑色圆点，可得：，
解得：x＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查图形的规律问题，图形问题可以通过作差发现规律，所以相邻两个的圆圈数量在逐渐增加，所以可以得出规律．
23．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
（1）图4灰砖有 16 块，白砖有 20 块；图n灰砖有 n2 块时，白砖有 （4n+4） 块；
[问题解决]
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【分析】（1）根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，即：12﹣8＝4、16﹣12＝4、20﹣16＝4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为8+4（n﹣1）＝4n+4，灰色瓷砖的块数等于n2；
（2）根据白砖数恰好比灰砖数少1列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，即：12﹣8＝4、16﹣12＝4、20﹣16＝4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为8+4（n﹣1）＝4n+4，灰色瓷砖的块数等于n2；
∴图4中灰砖有16快，白砖有4×（4+1）＝20，
故答案为：16；20；n2；（4n+4）；
（2）存在，理由如下：根据题意得：n2﹣（4n+4）＝1，
解得：n＝﹣1（舍去）或n＝5．
【点评】本题主要考查根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出变化规律的能力，关键在于将图形数字化，即将图形转化为各个图形中白色瓷砖的变化规律，这样可方便求解．
24．（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．
【观察思考】
当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．
【规律总结】
（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加 6 块；
（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为 （6n+3） 块；（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？
【分析】（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，进而可得瓷砖的总数增加；
（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；进而可推导一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝6n+3块；然后作答即可；
（3）令6n+3＝2025，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，
∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），
故答案为：6；
（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；
有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；
有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；
有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；
∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；
故答案为：（6n+3）；
（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，
∴黑色瓷砖有337块．
【点评】本题考查了图形的变化类，列代数式，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．
25．（2023•合肥模拟）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：
​（1）图10中小正方形的数量是 2023 个：图2023的周长是 8100 个单位长度；
（2）若图1中小正方形个数记作 a1，图2中小正方形图个数记作a2…，图n中小正方形个数记作an，则a1+a2+…+an＝ n2+4n 个（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）不难看出第n个图中小正方形的个数为：2n+3，周长为：4n+8，从而可求解；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】解：（1）∵图1中小正方形的个数为：5＝3+2，周长为：2×（3+1）+2×2＝2×4+4；
图2中小正方形的个数为：7＝4+3，周长为：2×（4+1）+2×3＝2×5+6；
图3中小正方形的个数为：9＝5+4，周长为：2×（5+1）+2×4＝2×6+8；
…，
∴图n中小正方形的个数为：n+2+n+1＝2n+3，周长为：2（n+3）+2n+2＝4n+8，
∴图1010中小正方形的数量是：2×1010+3＝2023；
图 2023的周长是：4×2023+8＝8100，
故答案为：2023，8100；
（2）a1+a2+…+an
＝5+7+9+…+（2n+3）
＝
＝n2+4n．
故答案为：n2+4n．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
26．（2023•金安区校级三模）填空：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
……
（1）（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝ a2023﹣b2023 ；
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn ；（其中n为正整数，且n≥2）
（3）利用（2）中的猜想的结论计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1；
【分析】（1）由所列举等式的规律可得答案；
（2）由（1）可得答案；
（3）由（2）可得（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯+22+2+1）＝22024﹣1即可．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
……
所以（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022＝a2023﹣b2023，
故答案为：a2023﹣b2023；
（2）由（1）可得，
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）由（2）可得，（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，
即22023+22022+22021+⋯+22+2+1＝22024﹣1．
【点评】本题考查平方差公式以及数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征以及所列等式所呈现的规律是解决问题的关键．
27．（2023•天长市校级二模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第4个等式： ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式并证明（n为正整数）．
【分析】（1）观察前3个等式找到规律即可，左边式子的分子为1，分母是两个整数的积，之间相差4，且下一个式子的第一个数字是上一个式子的最后一个数，右边裂项成对应的减法；
（2）观察已给的三个等式，找到规律即可解答．
【解答】解：（1）按规律列出第4个等式：，
故答案为：；
（2）．
证明：右边＝
＝
＝．
∴．
【点评】此题考查的是数字变化类的规律问题，掌握分式的加减法法则是解本题的关键．
28．（2023•无为市三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
解决下列问题：
（1）按照以上规律，写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明；
（3）利用上述规律，直接写出结果：＝ 4850 ．
【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，猜想第n个等式，并证明；
（3）利用（2）的结论，将所求的式子化为＝2++3++4++…+98+﹣×97，求和即可．
【解答】解：（1）第6个等式为，
故答案为：；
（2）第n个等式为，
证明：左边＝，
右边＝，
∴左边＝右边，
∴等式成立；
故答案为：；
（3）
＝﹣×97
＝2++3++4++…+98+﹣×97
＝2+3+4+…+98
＝4850；
故答案为：4850．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．
29．（2023•六安三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：1+；
第4个等式：；
…
根据以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】先根据前4个等式找出规律，再写出第5个和第n个等式即可．
【解答】解：（1）第5个等式； ，
（2）第n个等式
证明：左边＝＝＝右边．
∴等式成立
【点评】本题主要考查学生找规律的能力以及分式的运算能力．
30．（2023•花山区二模）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式是＝，
故答案为：＝；
（2）猜想的第n个等式是：＝，
证明：
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
故＝成立．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
31．（2023•无为市四模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）利用所给的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）按照以上规律，第5个等式为：；
故答案为：；
（2）按照以上规律，第n个等式为：＝．证明如下：
等式左边＝
＝
＝
＝，
等式右边＝，
∵等式左边＝等式右边，
∴等式成立．
【点评】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解题的关键是读懂题意，找到已知等式的规律．
32．（2023•合肥三模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：
第3个等式：；第4个等式：
第5个等式：_……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ﹣6+1＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ﹣n+1＝ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题干，分别从分子，分母，整式找出数字的变化规律，再求解；
（2）把（1）中的规律用表示，再从左边进行计算证明．
【解答】解：（1）第6个等式为：﹣6+1＝，
故答案为：﹣6+1＝；
（2）第n个等式为：﹣n+1＝；
证明如下：
左边＝﹣＝＝右边，
所以：﹣n+1＝．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
33．（2023•明光市二模）观察下列关于自然数的等式：
2×4﹣12+1＝8
3×5﹣22+1＝12
4×6﹣32+1＝16
5×7﹣42+1＝20
…
利用等式的规律，解答下列问题：
（1）若等式8×10﹣a2+1＝b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a＝ 7 ，a+b＝ 39 ．
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．
【分析】（1）等式左边第一个因数比幂底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边是第一个因数的4倍．
（2）用n表示幂的底数，第一、二两因数为（n+1）、（n+3），而等式右边则为4（n+1），可得等式．
【解答】解：（1）以上等式的规律是：
等式左边第一个因数比幂底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边是第一个因数的4倍；
∵8×10﹣a2+1＝b，
∴a＝8﹣1＝7，b＝4×8＝32；
则a+b＝39，
所以答案为：7，39．
（2）第n个等式为：（n+1）（n+3）﹣n2+1＝4（n+1）；
∵左边＝n2+3n+n+3﹣n2+1
＝4n+4
＝4（n+1）＝右边
∴等式成立．
【点评】本题主要考查数字变化规律及数字间的联系，并涉及整式的化简运算能力．
34．（2023•蚌埠二模）观察以下等式：
第1个等式：12+32﹣2＝8×1；
第2个等式：32+52﹣2＝8×4；
第3个等式：52+72﹣2＝8×9；
第4个等式：72+92﹣2＝8×16；
第5个等式：92+112﹣2＝8×25；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： 112+132﹣2＝8×36 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （2n﹣1）2+（2n+1）2﹣2＝8n2 （用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行解答即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
【解答】解：（1）第6个等式为：112+132﹣2＝8×36．
故答案为：112+132﹣2＝8×36；
（2）猜想：第n个等式为：（2n﹣1）2+（2n+1）2﹣2＝8n2，
证明：等式左边＝（2n﹣1）2+（2n+1）2﹣2
＝4n2﹣4n+1+4n2+4n+1﹣2
＝8n2
＝右边，
故猜想成立．
故答案为：（2n﹣1）2+（2n+1）2﹣2＝8n2．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
35．（2023•包河区三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： +＝× ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．
【解答】解：（1）有题意可得：，
故答案为：+＝×；
（2），
左边＝，
右边＝•＝，
∴左边＝右边．
【点评】本题考查了数字类变化规律，掌握每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
36．（2023•合肥三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
规律探究：
（1）如图1所示，第8个正方形的边长为 21 ；
（2）如图2所示，相应长方形的周长如表所示．
若按此规律继续作长方形，则x＝ 26 ，y＝ 42 ；
拓展延伸：
（3）按一定规律排列的一列数：101，102，103，105，108，1013，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且x＜y＜z，猜想x、y、z满足的关系式是 xy＝z ．
【分析】（1）由斐波那契数列的定义即可求解；
（2）分析周长的变化规律：可以发现每三项都是后一个数是前两个数的和，从而可得出结论；
（3）发现：前两个数的积等于第三个数，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）写出斐波那契数列的前8个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，即第8个正方形的边长为21；
故答案为：21；
（2）x＝10+16＝26，y＝16+26＝42；
故答案为：26，42；
（3）∵101×102＝103，102×103＝105，103×105＝108，…，
∴若x、y、z表示这列数中的连续三个数且x＜y＜z，猜想x、y、z满足的关系式是：xy＝z．
故答案为：xy＝z．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是：把数列分成每3个一部分，即可找到特点．
37．（2023•宣州区三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ＝+ ；
（2）写出你猜想的第n个等式，并证明你的结论．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行解答即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
【解答】解：（1）第6个等式为：＝+；
故答案为：＝+；
（2）猜想：第n个等式为：＝+，
证明：等式右边＝
＝
＝右边，
故猜想成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
38．（2023•贵池区二模）观察下列关于自然数的等式：
3×1×2＝1×2×3﹣0×1×2，①
3×2×3＝2×3×4﹣1×2×3，②
3×3×4＝3×4×5﹣2×3×4，③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：3×4×5＝ 4×5×6﹣3×4×5 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
（3）根据你发现的规律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100＝ 333300 ．（直接写出结果即可）
【分析】（1）观察前三个等式，观察三个等式规律，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．
（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：3n（n+1）＝n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1），对等式右边进行整理即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：3×4×5＝4×5×6﹣3×4×5；
故答案为：4×5×6﹣3×4×5；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：3×n×（n+1）＝n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）；
等式右边＝（n+1）（n2+2n﹣n2+n）＝3n（n+1）＝左边，
所以猜想正确．
（3）1×2+2×3+3×4+…+99×100
＝×（3×1×2+3×2×3+3×3×4+…+3×99×100）
＝×（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+99×100×101﹣98×99×100）
＝×99×100×101
＝333300，
故答案为：333300．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
39．（2023•烈山区一模）观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝+ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝+ （用含n的等式表示），并证明你的结论．
【分析】（1）分别从分子，分母，三个分母的关系写出第五个等式；
（2）用n表示（1）中找到的规律．
【解答】解：（1）第5个等式为：＝+，
故答案为：＝+；
（2）第n个等式为：＝+，
故答案为：＝+．
【点评】本题考查了数字的变化类，找出变换规律是解题的关键．
40．（2023•淮北一模）观察下列等式：
第1个等式．＝1；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
⋯
请根据上述规律，解答下列问题：
（1）请直接写出第5个等式： ；
（2）猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）利用已知的等式找出规律即可解答；
（2）根据（1）中规律猜想出第n个等式，再进行证明即可．
【解答】解：（1）第1个等式．＝+＝1；
第2个等式：+＝+＝；
第3个等式：+＝+＝
第4个等式：+＝+＝，
∴第5个等式：+＝，
故答案为：；
（2）根据（1）中规律猜想第n个等式为+＝，
证明：+＝+＝＝．
【点评】本题主要考查了数字变类，找准数字与等式的规律是解题的关键．
41．（2023•花山区一模）观察下列等式：
①13+23＝3×（1﹣2+4）
②23+33＝5×（4﹣6+9）
③33+53＝8×（9﹣15+25）
④63+103＝16×（36﹣60+100）
…
（1）请再写出一个符合上述规律的式子： 73+83＝15×（49﹣56+64） ；
（2）请你把发现的规律用字母a、b表示出来，并证明．
【分析】（1）两个数的立方和＝两个数的和×（第一个数的平方﹣两个数的积+第二个数的平方）；
（2）根据（1）中的规律写出等式的形式，把等式左边的式子及右边的式子进行整理即可证明．
【解答】解：（1）由题意得：73+83＝15×（49﹣56+64）；
故答案为：73+83＝15×（49﹣56+64）；
（2）猜想等式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
证明：右边＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，
右边＝a3+b3，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
42．（2023•贵池区二模）观察下列等式：
第1个等式：＝1；
第2个等式：＝3；
第3个等式：＝5；
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ﹣＝9 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ﹣＝2n﹣1（n是正整数） （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据给出的等式归纳变化规律接着写出等式即可；
（2）按（1）总结的规律写出第n个等式即可．
【解答】解：（1）第1个等式：＝＝1；
第2个等式：＝﹣＝3；
第3个等式：＝﹣＝5；
第4个等式：＝﹣＝7；
第5个等式：＝﹣＝9；
…；
故答案为：＝﹣＝9；
（2）由（1）知：第n个等式：﹣＝2n﹣1（n是正整数）；
证明：﹣＝﹣＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
即﹣＝2n﹣1（n是正整数）；
故答案为：﹣＝2n﹣1（n是正整数）．
【点评】本题考查数字变化规律，归纳总结变化规律是解题的关键．
43．（2023•歙县校级模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）由前面5个式子，类比猜想可得到第6个式子；
（2）观察数字与序号的关系，左边分式的分子与序号相差2，分母的第一个因数与序号相等，第二个因数与序号相差1，第三个因数为2的乘方，指数与序号相差1，同理观察右边等式，即可发现规律解决此题．
【解答】解：（1）由前面5个式子分子分母的规律，第6个等式应为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：；
证明：右边＝﹣
＝
＝＝左边，
故等式成立．
故答案为：．
【点评】本题考查对于数字特征规律的推理，数字较多时，可分对应位置去寻找规律，找寻序列号与数字的规律，即可解决此题．
44．（2023•瑶海区一模）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 （3n+1） 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
【分析】（1）根据图表中的规律，从1开始，依次加2，加1，加2，加1……，求值；
（2）根据（1）的规律，列出通式；
（3）利用（2）中的规律列出方程求解．
【解答】解：（1）根据表中的数据得，图形5中有7个菱形，图形6中有9个菱形，
故答案为：7，9；
（2）根据（1）中的规律，第（2n+1）个图形中有（3n+1）个菱形，
故答案为：（3n+1）；
（3）当3n+1＝2023时，
解得：n＝674，
2n+1＝1349，
所以第1349个图形中有2023个菱形．
【点评】本题考查了图形的变化类，找出变化规律是解题的关键．
45．（2023•霍邱县二模）如图是用棋子摆成的图案：
​根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
（1）第4个图中有 22 颗棋子，第5个图中有 32 颗棋子；
（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是 n+2+n2 ．
（3）请求出第多少个图形中棋子的个数是274个．
【分析】（1）观察图形发现图形的规律，然后例用规律写出第4和第5个图中的棋子数即可；
（2）根据发现的规律用通项公式写出来即可；
（3）由题意得：n+2+n2＝274，解出n即可．
【解答】解：（1）观察发现第1个图形有1+2+12＝4颗棋子；
第2个图形有2+2+22＝8颗棋子；
第3个图形有3+2+32＝14颗棋子；
∴第4个图形有4+2+42＝22颗棋子；
第5个图形有5+2+52＝32颗棋子；
故答案为：22，32；
（2）由（1）得：第n个图形中棋子的颗数为n+2+n2，
故答案为：n+2+n2；
（3）由题意得：n+2+n2＝274，
解方程得：x1＝﹣17 （舍去），x2＝16，
答：第16个图形中棋子的个数是274个．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大．
46．（2023•蜀山区校级三模）图形规律．
如图，按此规律摆放，
（1）第6个图中梯形数为 12 ，第7个图中梯形数为 16 ；第8个图中梯形数为 20 ，第9个图中梯形数为 25 ；
（2）第（2n+2）个图中梯形数与第（2n﹣1）个图中梯形数的差为 3n+2 ．
​
【分析】（1）根据图形，查出个数；
（2）找出梯形数的差的规律，再计算结果．
【解答】解：（1）第6个图中梯形数为 12，第7个图中梯形数为 16；第8个图中梯形数为 20，第9个图中梯形数为 25，
故答案为：12，16，20，25；
（2）第（2n+2）个图中梯形数与第（2n+1）个图中梯形数的差（n+1），第（2n+1）个图中梯形数与第2n个图中梯形数的差为（n+1），第2n个图中梯形数与第（2n﹣1）个图中梯形数的差为n，
∴第（2n+2）个图中梯形数与第（2n﹣1）个图中梯形数的差为：n+1+n+1+n＝3n+2．
故答案为：3n+2．
【点评】本题考查了图象形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
47．（2023•芜湖三模）观察与思考：我们知道，那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？
请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：​
（1）尝试：第5个图形可以表示的等式是 13+23+33+43+53＝152 ；
（2）概括：13+23+33+…+n3＝ ；
（3）拓展应用：求的值．
【分析】（1）根据所给的图形与等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，进行总结即可；
（3）利用（2）的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）第5个图形可以表示的等式是：13+23+33+43+53＝152，
故答案为：13+23+33+43+53＝152；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2＝[]2＝，
故答案为：；
（3）
＝
＝1+2+3+…+2023
＝
＝2047276．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
48．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．
​​按照以上规律，解决下列问题：
（1）第4个图案需要花卉 41 盆；
（2）第n个图案需要花卉 [n2+（n+1）2] 盆（用含n的代数式表示）；
（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
【分析】（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，…，据此可求解；
（2）根据（1）进行总结即可；
（3）可设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，结合（2）进行求解即可．
【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，
第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，
第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，
第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，
故答案为：41；
（ 2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；
故答案为：[n2+（n+1）2]；
（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，
由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，
解得：m＝50，
512＝2601，
答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
49．（2023•金安区校级一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．
[观察思考]
第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．
[规律总结]
（1）第5个图形有 12 盆花；
（2）第n个图形中有 （2n+2） 盆花（用含n的代数式表示）；
[问题解决]
（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？
【分析】（1）根据图形中个摆放，找出规律，再求解；
（2）根据（1）中的规律，代入求解；
（3）根据（1）的规律，列不等式求解．
【解答】解：第1个图形有（1+1）×2＝4盆花，
第2个图形有（2+1）×2＝6盆花，
第3个图形有（3+1）×2＝8盆花，
第4个图形有（4+1）×2＝10盆花，
第5个图形有（5+1）×2＝12盆花，
……
第n个图形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，
（1）第5个图形有12盆花，
故答案为：12；
（2）第n个图形有（2n+2）盆花，
故答案：（2n+2）；
（3）2n+2≤2023，
解得：n≤1010.5，
当n＝1010时，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，
所以2023盆花，要求剩余花盆数最少，则可摆出第1010个图形．
【点评】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
50．（2023•定远县校级一模）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．
[观察思考]
第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；
……
以此类推
[规律总结]
（1）第（5）个图形中有 30 张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+……+n＝ ；（用含n的代数式表示）
[问题解决]
（3）根据你的发现计算：101+102+103+……+200．
【分析】（1）观察图形的变化即可得第（5）个图形中正方形纸片张数；
（2）根据上面的发现即可猜想：1+2+3+…+n＝；
（3）根据（2）即可进行计算．
【解答】解：（1）第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；
…，
第（5）个图形中有张正方形纸片5×6＝30张正方形纸片；
故答案为：30；
（2）根据上面的发现猜想：1+2+3+…+n＝；
故答案为：；
（3）101+102+103+……+200
＝（1+2+3+…+200）﹣（1+2+3+…+100）
＝﹣
＝15050．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
51．（2023•安庆二模）设一个两位数可表示为10a+3，当a取不同的值时，的平方如下：
第1个等式：13×13＝169＝（10×1+6）×10×1+9；
第2个等式：23×23＝529＝（10×2+6）×10×2+9；
第3个等式：33×33＝1089＝（10×3+6）×10×3+9；
…
（1）请写出第4个等式： 43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9 ；
（2）根据上述规律，请写出的平方的一般性规律，并予以证明．
【分析】（1）根据题意写出第4个等式即可；
（2）根据规律写出第n个等式，利用完全平方公式和单项式乘多项式展开即可证明．
【解答】解：（1）第4个等式：43×4＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；
故答案为：43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；
（2）的平方的一般性规律为；
∵右边＝（10n+3）2＝（10n）2+60n+9，
左边＝（10n+6）×10n+9＝（10n）2+60n+9，
∴（10n+3）2＝（10n+6）×10n+9成立．
故答案为：43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了完全平方公式．
52．（2023•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；
②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；
③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）由等式a+b＝ab猜想： （a﹣1）（b﹣1）＝1 ，并证明你的猜想；
（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则求解；
（2）利用代入验证法求解．
【解答】解：（1）∵a+b＝ab，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝1．
故答案为：（a﹣1）（b﹣1）＝1．
（2）∵a+b＝ab，a，b都是整数，
所以a＝b＝0或a＝b＝2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，代入验证法是解题的关键．
53．（2023•迎江区校级二模）观察下列一组等式，解答后面的问题：
＝＝﹣1
＝＝﹣
（1）化简：＝ ﹣ ，＝ ﹣ （n为正整数）；
（2）比较大小：﹣ ＜ ﹣（填“＞”，“＜”或“＝”）；
（3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：+++…+＝ ．
【分析】（1）用平方差公式进行分母有理化；
（2）先分子有理化再比较；
（3）先分母有理化再计算．
【解答】解：（1）＝＝．
＝＝．
故答案为：，；
（2）＝＝．
＝＝．
∵＜．
∴＜．
故答案为：＜；
（3）原式＝++•••+
＝（++•••+）
＝
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的大小比较和计算，正确进行分母有理化是求解本题的关键．
54．（2023•安徽模拟）【观察思考】如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点ABCDE把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】
（1）填写下表：
【问题解决】
（2）原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由题意可归纳出五边形ABCDE内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为2n+3；
（2）通过解方程2n+3＝2023可判断此题的结果．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE内点的个数为1时，分割成的三角形的个数为5＝2×1+3，
五边形ABCDE内点的个数为2时，分割成的三角形的个数为7＝2×2+3，
五边形ABCDE内点的个数为3时，分割成的三角形的个数为9＝2×3+3，
∴五边形ABCDE内点的个数为4时，分割成的三角形的个数为2×4+3＝11，
……
∴五边形ABCDE内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为2n+3，
故答案为：11，2n+1；
（2）原五边形能被分割成2023个三角形，
由题意可得方程2n+3＝2023，
解得n＝1010，符合实际，
∴原五边形能被分割成2023个三角形．内部有1010个点．
【点评】本题考查了图形类变化规律问题的解决能力，关键是能根据多边形的相关知识观察、猜想、归纳出该问题的规律．
55．（2023•安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，
第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，
第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，
第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 5×（30+4）+4×26＝6×29+100 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2 （用含n的代数式表示），并证明．
【分析】（1）由已给四个等式的特点，写出第5个等式即可；
（2）观察所给的各等式，猜测变化的项与等式序号的关系，写出第n个等式，再验证即可；
【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝6×29+100；
（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n2+4）+4n2，
因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，
证明：左边＝n[n2+n+4]+4n2+4
＝n3+n2+4n+4n2+4
＝n3+5n2+4n+4，
右边＝n3+4n+n2+4+4n2
＝n3+5n2+4n+4，
∵左边＝右边，
∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及列代数式，有理数运算，整式的运算，发现等式中变化的部分与序号的关系是解题的关键．
56．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：
（1）第6个图案中，黑棋子的个数为 15 ，白棋子的个数为 21 ；
（2）第n个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 3n+3 ；（用含n的式子表示）
（3）当摆放到第 8 个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．
【分析】（1）根据图形查出黑棋子和白棋子的个数即可；
（2）根据图形分别表示各个图案中黑白棋子的变化规律，可得第n个图案的规律；
（3）建立方程和不等式求解即可．
【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；
故答案为：15，21；
（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，
则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，
黑棋子的变化为：
n＝1时，0个；
n＝2时，0+1＝1个；
n＝3时，0+1+2＝3个；
n＝4时，0+1+2+3＝6个；
故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；
故答案为：，3n+3；
（3）＝3n+3，
n2﹣7n﹣6＝0，
解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），
∴＞3n+3，
n＞，
∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，
∴n＝8．
当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．
57．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
（1）写出④x4＝ ；
（2）猜想：xn＝ ；
（3）由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022﹣2023的值．
【分析】（1）观察其分数的分子分母规律，可写出第4个等式；
（2）根据规律写出第n个等式；
（2）根据（2）可得第n个等式的表达式，再利用裂项法求和即可．
【解答】解：（1）观察可知：
x4＝．
故答案为：．
（2）观察等式规律可得：
xn＝＝＝1+．
故答案为：＝＝1+．
（3）由（2）可得xn＝1+＝1+，
x1+x2+x3+…+x2022﹣2023
＝（1+﹣）+（1+﹣）+（1+﹣）+…+（1+﹣）+（1+﹣）﹣2023
＝（1+1+…+1+1）+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）﹣2023
＝2022+1﹣﹣2023
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，用裂项法求和是解本题的关键．
58．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①；
②；
③；
（1）1×2+2×3+3×4＝ 20 ；
（2）1×2+2×3+⋅⋅⋅+n（n+1）＝ n（n+1）（n+2） ；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋅⋅⋅+n（n+1）（n+2）＝ n（n+1）（n+2）（n+3） ．
【分析】（1）根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；
（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的，然后列出算式进行计算即可得解；
（3）根据（2）中规律列算式计算即可．
【解答】解：（1）1×2+2×3+3×4
＝×（1×2×3﹣0×1×2）+×（2×3×4﹣1×2×3）+×（3×4×5﹣2×3×4）
＝×（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）
＝×3×4×5，
＝20，
故答案为：20；
（2）∵1×2+2×3+3×4＝×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝n（n+1）（n+2），
故答案为：n（n+1）（n+2）；
（3）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n×（n+1）×（n+2）
＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+...+[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]
＝n（n+1）（n+2）（n+3），
故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，难度较大，利用类比的思想求解即可，观察出（2）的变化规律是解题的关键．
59．（2023•蚌山区校级模拟）研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律并计算7×9+1＝ 64 ＝（ 8 ）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律： n（n+2）+1＝（n+1）2 ．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：＝ ．
【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．
（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+[1+]＝，利用此规律计算．
【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．
（3）原式＝＝．
故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．
【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+[1+]＝××××××…××＝是解题的关键．
60．（2023•舒城县模拟）用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数；
（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？
【分析】解题注意根据图形发现规律，并用字母表示．然后根据条件代入计算．
【解答】解：（1）
（2）第n个图形棋子的枚数是6+3（n﹣1）＝3n+3个．
（3）设图形有99枚棋子，它是第x个图形．
根据题意得：3+3x＝99 3x＝96
x＝32
所以它是第32个图形形．
故答案为：（1）6，9，12，15，18，21
【点评】此题考查规律问题，观察图形，发现（1）中是6个棋子．后边多一个图形，多3个棋子．根据这一规律即可解决下列问题．
图1
图2
图3
图4
〇的个数
3
9
21

▲的个数
1
4
10

序号
①
②
③
④
⑥
周长
6
10
16
x
y
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6


…
序号
1
2
3
4
5
……
梯形数
1
2
4
6
9
……
？
五边形ABCDE内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
5
7
9

…

图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
图形中的棋子（枚）






图1
图2
图3
图4
〇的个数
3
9
21
45
▲的个数
1
4
10
22
序号
①
②
③
④
⑥
周长
6
10
16
x
y
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6
7
9
…
序号
1
2
3
4
5
……
梯形数
1
2
4
6
9
……
？
五边形ABCDE内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
5
7
9
11
…
2n+3
图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
图形中的棋子（枚）
6
9
12
15
18
21
图形编号
1
2
3
4
5
6
图形中的棋子
6
9
12
15
18
21