2024-2025学年河南省第二实验中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省第二实验中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A. x+1x=2B. 3x3=1C. 2x2−x=1D. xy=4
2.2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程( )
A. 7200(1+x)=9800B. 7200(1+x)2=9800
C. 7200(1+x)+7200(1+x)2=9800D. 7200x2=9800
3.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有( )支队伍参加了比赛．
A. 5B. 6C. 7D. 8
4.设a，b是方程 x2+x−2021=0的两个实数根，则 a2+b2+a+b的值是( )
A. 0B. 2020C. 4040D. 4042
5.函数y=(m−3)xm2−7+2020x−2020是关于x的二次函数，则m的值为( )
A. 3B. 0C. −3D. ±3
6.若方程x2−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
7.把y=x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为( )
A. y=(x−3)2+2B. y=(x−3)2−2C. y=(x+3)2+2D. y=(x+3)2−2
8.已知a>0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=−ax2的图象有可能是( )
A. B. C. D.
9.二次函数y=−x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x=2；②当y≥0时，x<0或x>4：③函数表达式为y=−x2+4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
10.某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y=at2+bt(a<0).如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为( )
A. 2.25sB. 1.25sC. 0.75sD. 0.25s
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个图象过原点的二次函数的解析式：______．
12.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是______．
13.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，对称轴是直线x=−1，则a+b+c=____．
14.若(a2+b2)(a2+b2−2)=8，则a2+b2= ______．
15.已知抛物线y=x2−2x的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且MA=MB，则点M的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
按要求解下列方程：
(1)用配方法解方程：2x2+7x−4=0
(2)用公式法解方程：3x2−1=4x．
17.(本小题8分)
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−5)=m2
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=33，求实数m的值．
19.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−(k+3)x+3k(k为常数)．
(1)求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．
20.(本小题8分)
在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
(1)若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
21.(本小题8分)
有这样一个问题：探究函数y=x2−4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y=x2−4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=x2−4|x|+3的自变量x的取值范围是______．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=x2−4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：
(3)对于上面的函数y=x2−4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x>2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是______．
(4)结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2−4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
22.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒．
(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
(2)经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112？
23.(本小题8分)
如图，抛物线y=12x2+2x−6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求A、B，C三点的坐标；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D.在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】B
【解析】解：设每年增长率都为x，根据题意得，7200(1+x)2=9800，
故选：B
根据题意，可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
3.【答案】C
【解析】解：设有x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
12x(x−1)=21，
解得x=7或−6(舍去)．
故应邀请7支队伍参加比赛．
故选：C．
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=12x(x−1)，即可列方程求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×(队数−1)÷2，进而得出方程是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a，b是方程x2+x−2021=0的两个实数根，
∴a2+a=2021、b2+b=2021，
∴则 a2+b2+a+b=(a2+a)+(b2+b)=2021+2021=4042．
故选：D．
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2021、b2+b=2021、a+b=−1，将其代入则 a2+b2+a+b中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2021、b2+b=2021、a+b=−1是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵函数y=(m−3)xm2−7+2020x−2020是关于x的二次函数，
∴m2−7=2且m−3≠0，
解得m=−3，
故选：C．
根据二次函数的定义：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可，
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．
6.【答案】D
【解析】【分析】
根据根的判别式和已知条件得出△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，①当△=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当△=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
【解答】
解：∵关于x的方程x2−2x+m=0没有实数根，
∴△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，
解得：m>1，
∴m只能为 3，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：由题可得抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，点(0,0)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为(3,2)，所以平移后的抛物线的解析式为y=(x−3)2+2．
故选：A．
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，根据点平移的规律，点(0,0)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为(3,2)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8.【答案】D
【解析】解：A、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a>0，二次函数图象开口向上，则−a>0，则a<0，故选项错误；
B、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a<0，二次函数图象开口向上，则−a>0，则a<0，故选项错误；
C、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a<0，二次函数图象开口向下，则−a<0，则a>0，故选项错误；
D、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a>0，二次函数图象开口向上，则−a<0，则a>0，故选项正确．
故选：D．
根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可．
本题考查的是二次函数和正比例函数的图象，掌握二次函数的性质、正比例函数的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①观察函数图象，可知：抛物线的对称轴为直线x=2，结论①正确；
②∵抛物线开口向下，与x轴交于点(0,0)、(4,0)，
∴当y≥0时，0≤x≤4，结论②错误；
③∵抛物线与x轴交于点(0,0)、(4,0)，
∴二次函数解析式为y=−x(x−4)=−x2+4x，结论③正确；
④观察函数图象，可知：当x≤0时，y随x的增大而增大，结论④正确．
故选：C．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．根据二次函数的性质对①②③④的结论进行判断．
10.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【解答】
解：将(0.5,6)，(1,9)代入y=at2+bt(a<0)得：
6=14a+12b9=a+b，
解得：a=−6b=15，
故抛物线解析式为：y=−6t2+15t，
当t=−b2a=−15−12=54=1.25，此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．
故选：B．
11.【答案】y=x2(答案不唯一)
【解析】解：一个图象过原点的函数的解析式：y=x2，
故答案为：y=x2(答案不唯一)．
根据二次函数的性质，即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】
解：解方程x2−7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系，三角形的周长为4+4+6=14．
故答案为：14．
13.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为(1,0)是解题的关键．根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为(1,0)，由此求出a+b+c的值．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，对称轴是直线x=−1，
∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为(1,0)，
∴a+b+c=0．
故答案为0．
14.【答案】4
【解析】【分析】
先把等式变形为：(a2+b2)2−2(a2+b2)−8=0，再把等式左边分解得到(a2+b2−4)(a2+b2+2)=0，然后根据非负数的性质得到a2+b2=4．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
【解答】
解：(a2+b2)2−2(a2+b2)−8=0，
(a2+b2−4)(a2+b2+2)=0，
所以a2+b2−4=0，
所以a2+b2=4．
故答案为4．
15.【答案】(1,0)或(0,1)
【解析】解：把x=0代入y=x2−2x得x2−2x=0，
解得x=0或x=2，
∴点B坐标为(2,0)，
∵y=x2−2x=(x−1)2−1，
∴点A坐标为(1,−1)，
连接AB，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，
则点C坐标为(1,0)，点E坐标为(1+22,−1+02)即(32,−12)，
∴AC=BC=1，点C满足题意，
直线CE为线段AB的垂直平分线，
设直线CE解析式为y=kx+b，把(1,0)，(32,−12)代入解析式得：
0=k+b−12=32k+b，
解得k=−1b=1，
∴y=−x+1，
∴点D坐标为(0,1)，
∴点M的坐标为(1,0)或(0,1)，
故答案为：(1,0)或(0,1)．
先将抛物线顶点A的坐标求出来，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，直线与CE与坐标轴交点坐标即为所求．
本题考查二次函数的图象上点的特征，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质，通过添加辅助线求解．
16.【答案】解：(1)∵2x2+7x−4=0，
∴2x2+7x=4，
∴x2+72x=2，
∴x2+72x+(74)2=2+4916，
∴(x+74)2=8116，
∴x+74=±94，
∴x1=12，x2=−4；
(2)∵3x2−1=4x，
∴3x2−4x−1=0，
∵a=3，b=−4，c=−1，b2−4ac=16+12=28，
∴x=−b± b2−4ac2a=4± 282×3=2± 73，
∴x1=2− 73，x2=2+ 73．
【解析】(1)在本题中，把常数项−4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方；
(2)根据求根公式即可得到结论．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法、公式法是解本题的关键．
17.【答案】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得(x+7+x)2=10(x+7)+x，
整理得：4x2+17x−21=0，
解得：x1=1，x2=−214(舍去)，
所以，x=1，x+7=8．
答：这个两位数是81．
【解析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”．
18.【答案】解：(1)证明：
∵关于x的一元二次方程(x−2)(x−5)=m2
整理，得x2−7x+10−m2=0
△=49−4(10−m2)
=49−40+4m2
=4m2+9
∵4m2≥0∴4m2+9>0
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵x1+x2=7，x1⋅x2=10−m2，
x12+x22=33
∴(x1+x2)2−2x1x2=33
49−2(10−m2)=33
解得m=± 2．
答：实数m的值为± 2．
【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可证明；
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式的变形即可求解．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是完全平方公式的变形．
19.【答案】解：(1)∵y=x2−(k+3)x+3k，
∴△=[−(k+3)]2−4×3k=k2−6k+9=(k−3)2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当x=0时，y=x2−(k+3)x+3k=3k，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，
∴当3k>0，即k>0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，根据判别式的意义即可证明；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)由方程2(x−1)(x−m−3)=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
20.【答案】解：(1)设条带的宽度为x cm，
根据题意，得(60−2x)(40−x)=60×40−650．
整理，得x2−70x+325=0，
解得x1=5，x2=65(舍去)．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
(2)设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：(100−y−40)(200+20y)−2000=22500．
解得：y1=y2=25．
所以售价为100−25=75(元)．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
【解析】(1)设出条带的宽，利用面积关系即可列出方程求解；
(2)设每件工艺品降价y元出售，则降价x元后可卖出的总件数为(200+20y)，每件获得的利润为(100−y−40)，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润−2000，列出方程，求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
21.【答案】任意实数 ①③ −1【解析】解：(1)∵函数y=x2−4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
(2)由函数y=x2−4|x|+3可知，x>0和x<0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；
(3)由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x>2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
(4)由图象可得，
关于x的方程x2−4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是−1故答案为：−1(1)根据函数解析式可以写出x的取值范围；
(2)根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
(3)根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
(4)根据函数图象，可以写出关于x的方程x2−4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，
则PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，
根据题意得：12×(6−x)×2x=8，
整理得：x2−6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；
(2)设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112，
则PB=(6−y)厘米，BQ=2y厘米，
根据题意得：12×(6−y)×2y=112×6×12，
整理得：y2−6y+6=0，
解得：y1=3− 3，y2=3+ 3．
答：经过(3− 3)秒或(3+ 3)秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，根据三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112，则PB=(6−y)厘米，BQ=2y厘米，根据三角形、矩形的面积公式及△PBQ的面积等于矩形面积的112，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
23.【答案】解：(1)当y=0时，12x2+2x−6=0，
解得：x1=−6，x2=2，
∴A(−6,0)，B(2,0)，
当x=0时，y=−6，
∴C(0,−6)；
(2)∵B(2,0)，C(0,−6)，
设直线BC的表达式为：y=kx+b；
将B(2,0)，C(0,−6)代入得：
2k+b=00+b=−6，
解得：k=3b=−6，
∴直线BC的函数表达式为y=3x−6；
(3)在直线l上存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形；理由如下：
设直线AC的表达式为：y=k′x+b′；
将A(−6,0)，C(0,−6)代入得：
−6k′+b′=00+b′=−6，
解得：k′=−1b′=−6，
故直线AC的表达式为：y=−x−6；
设点D的坐标为(m,−m−6)，其中−6∵B(2,0)，C(0,−6)，
∴BD2=(m−2)2+(m+6)2，BC2=22+62=40，DC2=m2+(−m−6+6)2=2m2，
∵DE/​/BC，
∴当DE=BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图1，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形，

∴BD2=BC2，
∴(m−2)2+(m+6)2=40，
解得：m1=−4，m2=0(舍去)，
∴点D的坐标为(−4,−2)，
∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C，
∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(−6,−8)；
如图2，当CD=CB时，四边形CBED为菱形，

∴CD2=CB2，
∴2m2=40，
解得：m1=−2 5,m2=2 5(舍去)，
∴点D的坐标为(−2 5,2 5−6)，
∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B，
∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(2−2 5,2 5)；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(−6,−8)或(2−2 5,2 5)．
【解析】(1)分别令x=0，y=0即可求出A、B、C三点的坐标；
(2)根据B、C三点的坐标求直线BC的函数表达式即可；
(3)根据直线AC的表达式设点D(m,−m−6)，然后分为四边形BDEC是菱形和四边形CBED是菱形两种情况分别讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．