华东师大版（2024）九年级上册3.公式法免费教学设计及反思

这是一份华东师大版（2024）九年级上册3.公式法免费教学设计及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。


一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
(二)过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.
(三)情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
二、教学重点、难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用.
难点：一元二次方程求根公式法的推导.
三、教学过程
用配方法解方程：2x2-7x+3=0
解：移项，得 2x2-7x=-3
二次项系数化为1，得
配方，得
，，∴ x1=3，x2=
利用配方法解一元二次方程的一般步骤是相同的.
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边
为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数
时，原方程无实数根.
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
移项，得 ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即 ①
∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1) b2-4ac＞0
这时＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
，
(2) b2-4ac=0
这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3) b2-4ac＜0
这时＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
归纳
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例2 用公式法解下列方程：
(1) x2-4x-7=0 (2) 2x2-2x+1=0 (3) 5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x
解：(1) a=1，b=-4，c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即 ，
解：(2) a=2，b=-2 ，c=1.
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
解：(3) 方程化为 5x2-4x-1=0
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值.
a=5，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即 x1=1，x2=.
解：(4) 方程化为 x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程无实数根.
本章引言中的问题，雕像下部的高度x(单位：m)满足方程
x2+2x-4=0
用公式法解这个方程，得
即 x1=-1+，x2=-1-.
结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈-3.24.
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约1.24m.
练习
1.解下列方程：
(1) x2+x-6=0 (2) x2-x-=0 (3) 3x2-6x-2=0
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
即 x1=2，x2=-3.
解：(2) a=1，b=-，c=-.
Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(3) a=3，b=-6，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
(4) 4x2-6x=0 (5) x2+4x+8=4x+11 (6) x(2x-4)=5-8x
解：(4) a=4，b=-6，c=0.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(5) 移项，合并得 x2=3
直接开平方，得 x=
即，.
解：(6)方程化为 2x2+4x-5=0
a=2，b=4，c=-5.
Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
2.求第21.1节中问题1的答案.
x2-75x+350=0
解：a=1，b=-75，c=350.
Δ=b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225＞0
方程有两个不等的实数根
即 x1=5，x2=70(不合题意，要舍去).
因此，切去的正方形的边长为5cm.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式. 同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.